UNOCHAPEC PsGraduao em Levantamentos Geodsicos GEODSIA GERAL Prof

UNOCHAPECÓ Pós-Graduação em Levantamentos Geodésicos GEODÉSIA GERAL Prof. Regiane Dalazoana / Henrique Firkowski 2 semestre de 2009

1 - FUNDAMENTOS DA GEODÉSIA Definição e Objetivos em Geodésia Evolução dos Modelos de Terra Noções de Coordenadas Geodésicas e Astronômicas Fundamentos Geométricos da Geodésia e das Superfícies de Referência

DEFINIÇÃO E OBJETIVOS GEODÉSIA Helmert (1880): ciência da mensuração e representação da superfície da Terra

DEFINIÇÃO E OBJETIVOS GEODÉSIA Helmert (1880): ciência da mensuração e representação da superfície da Terra Nesta definição se inclui a determinação do campo de gravidade, uma vez que a maioria das observações geodésicas está a ele referida (vertical !!!)

DEFINIÇÃO E OBJETIVOS GEODÉSIA Atual: - ciência da determinação da forma e dimensões da Terra; - do seu campo da gravidade externo; e - respectivas variações temporais Não havia na definição dada por Helmert

DEFINIÇÃO E OBJETIVOS PROBLEMA BÁSICO Deduzir os parâmetros fundamentais da Geodésia, associados com forma, dimensões e campo da gravidade externo, a partir de mensurações efetivadas na superfície ou em pontos exteriores Métodos modernos – observações realizadas de, para e entre satélites Métodos clássicos – observações de: direções, distâncias, determinação: de desníveis, de diferenças de gravidade ou de valores de gravidade

DEFINIÇÃO E OBJETIVOS Mensurações de diferentes tipos (origem da divisão clássica ) Geodésia Geométrica – medidas de ângulos e distâncias Geodésia Física – medidas gravimétricas Geodésia Celeste – técnicas espaciais

DEFINIÇÃO E OBJETIVOS Geodésia Geométrica Visão clássica -> é o conjunto de materiais e métodos voltados à determinação de coordenadas geodésicas (latitude e longitude ) a partir da realização de operações de observação / medida em campo de grandezas geométricas (medidas de direções e de distâncias) associadas a (poucas) determinações astronômicas. Pode-se dizer também: conjunto dos métodos baseados em observações de natureza geométrica que são voltados à determinação de coordenadas de pontos da superfície terrestre referidos a um modelo geodésico.

DEFINIÇÃO E OBJETIVOS Geodésia Física É o conjunto de materiais e métodos voltados à determinação valores de aceleração gravidade (g) ou de suas diferenças (Δg) a partir da realização de operações de observação de natureza gravimétrica. Superfície equipotencial: que contém o ponto 1 que contém o ponto 2 g 1 Δg Superfície física Δg = g 2 – g 1 g 2 O conhecimento de valores de aceleração da gravidade em conjunto com outros conhecimentos da parte sólida do planeta permite inferir sobre o sub-solo.

DEFINIÇÃO E OBJETIVOS Geodésia Física Gravímetros Relativos -> Δg Absolutos -> g

DEFINIÇÃO E OBJETIVOS Geodésia Celeste ou Espacial Pode-se dizer que é o conjunto de materiais e métodos que são baseadas em técnicas espaciais de posicionamento por meio de satélites artificiais. Busca-se determinar, por exemplo, direções, distâncias , coordenadas e variações de distâncias, entre pontos localizados na superfície da Terra e satélites ou entre satélites

DEFINIÇÃO E OBJETIVOS Geodésia Celeste ou Espacial

DEFINIÇÃO E OBJETIVOS O objetivo ou escopo da Geodésia se expandiu e passou a incluir novas aplicações: No oceano – determinação do fundo oceânico No espaço – superfície e características de corpos celestes, como a Lua e outros planetas Numa visão mais atual, em Geodésia trata-se com : - Posições 3 D determinadas com alta precisão (estabelecimento do controle geodésico) - Campo da gravidade - Modelagem e determinação de fenômenos geodinâmicos (movimento do pólo, rotação da Terra, deformação da crosta)

DEFINIÇÃO E OBJETIVOS Como forma de operacionalização, o objetivo pode ser tratado sob 3 pontos de vista – depende do usuário Geodésia Global – forma e dimensões planetárias, referenciais, grandezas fundamentais, campo da gravidade, variações temporais Levantamentos Geodésicos – da Terra e campo da gravidade caráter regional, considera curvatura Levantamentos Topográficos – gravidade são omitidos efeitos da curvatura e campo da

DEFINIÇÃO E OBJETIVOS Embora a finalidade primordial da Geodésia seja científica, as suas técnicas são aplicadas em atividades voltadas ao estabelecimento da estrutura básica para o mapeamento e para trabalhos em topografia. Na maioria dos países isso se constitui na finalidade e na razão de seu desenvolvimento e realização.

EVOLUÇÃO DOS MODELOS DE TERRA Qual é a forma da Terra? Em uma primeira aproximação, as irregularidades da superfície terrestre podem ser negligenciadas. Assim pode-se reduzir o problema à determinação das dimensões do modelo geométrico mais adequado para esta representação. Adotam-se modelos ou superfícies de referência mais simples, regulares, e com características geométricas conhecidas que possibilitem realizar reduções e sirvam de base para cálculos e representações.

EVOLUÇÃO DOS MODELOS DE TERRA Modelos de Terra – Histórico Até aprox. século IV A. C. - Terra plana. Os sábios e os pensadores da época consideravam que a vivia-se numa superfície plana retangular (circundada pelos mares). Acreditavam, ainda, que no limite da água com o espaço, habitavam seres e criaturas mitológicas Pitágoras, Tales e Aristóteles – Terra esférica (500 A. C. ) Pitágoras – Terra girava em torno do Sol, teoria combatida por Aristóteles

EVOLUÇÃO DOS MODELOS DE TERRA Eratóstenes (276 a 175 A. C. ) – a primeira determinação do raio da Terra por observação ao Sol - modelo esférico resultou no valor de aproximadamente 6. 286 km Posidônio (150 anos depois) – determinação do comprimento do equador da Terra por observação a uma estrela (37. 800, 0 km)

EVOLUÇÃO DOS MODELOS DE TERRA Ptolomeu (100 – 178 D. C. ) – Terra esférica – sistema geocêntrico. Teoria que durou 14 séculos até ser desmentida por Copérnico, que atribuiu ao modelo, além do movimento de rotação o movimento de translação ao redor do sol Picard (1619) – introduziu melhorias nos instrumentos de medição angular, estabeleceu uma rede de triangulação a partir da medição de um arco de meridiano de Paris a Amiens, e a partir disso calculou o raio da Terra (6. 372 km) Newton – com base nos seus estudos sobre a gravitação, atribuiu um achatamento aos pólos como explicação ao fato da força da gravidade decrescer dos pólos para o equador

EVOLUÇÃO DOS MODELOS DE TERRA Richter – confirmação dos resultados de Newton em suas observações pendulares que revelaram o aumento do período do pêndulo com a diminuição da latitude Cassini – continuou as triangulações de Picard e concluiu por uma Terra alongada segundo o eixo de rotação Cassini Newton Academia de Ciências de Paris (1735) - organizou duas expedições científicas (Peru e Lapônia) hipótese de Newton

EVOLUÇÃO DOS MODELOS DE TERRA O que é um modelo? Um modelo pode ser considerado como uma aproximação de algo que satisfaz aos requisitos de aplicação. Por que buscar modelos? Pela necessidade de tratar um problema, pela impossibilidade ou pela dificuldade em tratar com o objeto real em si, ou pela possibilidade de realizar simulações. 1 – Cartografia: superfície de representação (projeção) 2 – Geodésia: superfície de cálculo

EVOLUÇÃO DOS MODELOS DE TERRA Adoção de um modelo para a Terra Irregularidades da superfície terrestre = dificuldades de cálculo numa primeira aproximação podem ser negligenciadas Para fins práticos – adoção de um modelo associar modelo Terra “Real”

EVOLUÇÃO DOS MODELOS DE TERRA Esfera Primeira noção da forma da Terra Uma esfera particular é a “esfera de adaptação de Gauss” cujo raio (Rm) é igual ao raio médio da Terra. Ela é adotada como superfície de referência pela NBR 14166 – Rede Cadastral Municipal – Procedimento Dentro de aproximação admissível para determinadas aplicações é possível transformar um elemento da do elipsóide em um elemento da esfera cujo raio §superfície. Rm será (MN)½.

EVOLUÇÃO DOS MODELOS DE TERRA Plano Topográfico Superfície de referência adotada na Topografia – não se considera a influência da curvatura e desvio da vertical Veiga et. al, 2007

EVOLUÇÃO DOS MODELOS DE TERRA Plano Topográfico ? ?

DEFINIÇÃO E OBJETIVOS Modelos da Terra Coordenadas na Esfera

EVOLUÇÃO DOS MODELOS DE TERRA Elipsóide de Revolução O elipsóide de revolução foi a figura proposta por Isaac Newton (Torge, 2001) como figura geométrica da Terra (modelo). Pode ser entendido como uma figura gerada pela rotação de uma semi-elipse sobre um dos seus eixos (eixo de revolução) b a

DEFINIÇÃO E OBJETIVOS Coordenadas no Elipsóide Normal a P

EVOLUÇÃO DOS MODELOS DE TERRA Elipsóide de Revolução É a superfície matemática de referência adotada pela Geodésia Existem mais de 70 definições /estabelecimentos de elipsóides de revolução utilizados em diferentes países em seus trabalhos geodésicos Usuário: deve saber a qual deles está referido o seu levantamento geodésico

EVOLUÇÃO DOS MODELOS DE TERRA Geóide Superfície equipotencial que mais se aproxima do NMM. Uma superfície equipotencial é em todos os seus pontos perpendicular à direção da vertical (ou vice-versa) Definição a partir da qual se estabelece a referência para as altitudes com características físicas Adoção como superfície matemática de referência e uso prático esbarram no conhecimento limitado do campo da gravidade e no seu complexo equacionamento matemático

EVOLUÇÃO DOS MODELOS DE TERRA Geóide Altitude ortométrica: distância contada sobre a vertical, do geóide até a superfície física da Terra

EVOLUÇÃO DOS MODELOS DE TERRA Representação Esquemática

EVOLUÇÃO DOS MODELOS DE TERRA Tamanho e Forma da Terra Modelo geométrico viável – elipsóide de revolução (forma elipsóidica não é acidental, conseqüência da atração gravitacional + efeito de rotação) Classicamente definido por dois parâmetros (a, f) (a, b) (a, e) b a

EVOLUÇÃO DOS MODELOS DE TERRA Tamanho e Forma da Terra Século XIX – Geodésia deu ênfase na pesquisa dos parâmetros do melhor elipsóide Foram propostos dezenas de elipsóides que são utilizados em trabalhos geodésicos em todo o mundo

EVOLUÇÃO DOS MODELOS DE TERRA Tamanho e Forma da Terra

EVOLUÇÃO DOS MODELOS DE TERRA Tamanho e Forma da Terra Evolução da Geodésia Espacial proporcionou uma evolução no estabelecimento de modelos representativos da Terra, de modo a permitir a associação de parâmetros geométricos e físicos Ao elipsóide de revolução se atribui a mesma massa da Terra incluindo a atmosfera, a mesma velocidade de rotação da Terra real O elipsóide de revolução é definido por parâmetros geométricos e físicos: - a (semi-eixo maior) - GM (constante gravitacional geocêntrica) - (velocidade angular) - J 2 (fator dinâmico de forma)

COORDENADAS GEODÉSICAS Elipsóide ajustado às dimensões da Terra e devidamente orientado, torna-se um referencial adequado para a atribuição de coordenadas a pontos sobre a S. F. Coordenadas geodésicas: P, P e h. P

COORDENADAS GEODÉSICAS - Equador = plano XY - Plano XZ está associado com o meridiano médio de Greenwich - P é o ângulo entre a normal de P e o plano equatorial - P é o ângulo formado entre o plano do meridiano de P e o meridiano de referência - h. P altitude geométrica ou elipsoidal é a distância do elipsóide de referência ao ponto, contada sobre a normal - vantagens das coord. geodésicas: tem um sentido natural (sei onde estou); fácil visualização; iguais em P e P’ (bom para a Cartografia – representação)

COORDENADAS GEODÉSICAS Altitude elipsoidal: distância entre a projeção de P (P’) no elipsóide e o ponto P, situado na S. F. da Terra, contada sobre a normal Altitude Elipsoidal (h) - PP’

COORDENADAS GEODÉSICAS Coordenadas cartesianas: XP, YP e ZP Normal ao elipsóide

COORDENADAS GEODÉSICAS -Azimute geodésico: é o ângulo que a direção AB (geodésica da direção considerada) forma com o meridiano geodésico do ponto (A), contado do Norte, por leste, no sentido horário. Varia de 0 o a 360 o Azimute geodésico da direção AB (Az. AB) e o seu contra azimute (Az. BA). Em Geodésia a diferença entre o azimute e o contra-azimute não é igual a 180º como acontece na Topografia, devido à convergência meridiana

COORDENADAS GEODÉSICAS Relacionamento entre coordenadas geodésicas e cartesianas

COORDENADAS GEODÉSICAS Relacionamento entre coordenadas geodésicas e cartesianas SOLUÇÃO DIRETA

COORDENADAS GEODÉSICAS Relacionamento entre coordenadas geodésicas e cartesianas SOLUÇÃO ITERATIVA

COORDENADAS GEODÉSICAS Relacionamento entre coordenadas geodésicas e cartesianas SOLUÇÃO ITERATIVA 1 - O cálculo da longitude é direto 2 - cálculo de p através da fórmula 3 - cálculo de um valor aproximado para a latitude ( 0)

COORDENADAS GEODÉSICAS Relacionamento entre coordenadas geodésicas e cartesianas SOLUÇÃO ITERATIVA 4 - cálculo de um valor aproximado para a grande normal (N 0) 5 - cálculo da altitude geométrica (h) 6 - cálculo de um valor melhorado para a latitude verificar se existe necessidade de outra iteração, através da comparação entre os valores aproximado e melhorado da latitude

COORDENADAS GEODÉSICAS Relacionamento entre coordenadas geodésicas e cartesianas EXERCÍCIO 1 – Quais as coordenadas cartesianas do ponto P, cujas coordenadas geodésicas são as seguintes: P = -28 14’ 11, 8” P = -48 39’ 21, 9” h. P = 11, 85 m OBS – utilizar os parâmetros do elipsóide Internacional 1980 a = 6378137, 0 f = 1/298, 257222101

COORDENADAS GEODÉSICAS Vantagens das coordenadas geodésicas em relação às coordenadas cartesianas 1 – Tem sentido natural (sei onde estou) 2 – Fácil visualização 3 – São as mesmas para um ponto na superfície física e sua projeção no elipsóide

COORDENADAS GEODÉSICAS As coordenadas geodésicas (latitude e longitude), bem como o azimute geodésico e a altitude elipsoidal são quantidades referidas a um modelo geométrico (elipsóide). Não dependem de situações físicas locais. No entanto, toda mensuração geodésica na Terra é sujeita ao campo da gravidade terrestre Físico (Natural) Geodésia Geométrico (matemático/modelo)

COORDENADAS ASTRONÔMICAS As coordenadas geodésicas são referidas a um modelo geométrico. No entanto, toda mensuração geodésica na Terra é sujeita ao campo da gravidade terrestre A gravidade terrestre num ponto é o efeito resultante da atração gravitacional da Terra sobre este ponto e o efeito da rotação terrestre (força centrífuga) Vertical em um ponto é a direção da tangente ao vetor gravidade neste ponto

COORDENADAS ASTRONÔMICAS As observações realizadas na superfície da Terra sofrem a influência do campo da gravidade terrestre por meio da vertical local As coordenadas astronômicas estão relacionadas a vertical local – referencial natural associado ao observador

COORDENADAS ASTRONÔMICAS O sistema de coordenadas astronômicas foi utilizado no posicionamento e orientação dos referenciais geodésicos horizontais antes do advento do posicionamento por satélites, época em que não era possível obter coordenadas geocêntricas Também é conhecido como “sistema de coordenadas naturais”, devido ao seu relacionamento com certas características físicas da Terra, como o campo da gravidade terrestre

COORDENADAS ASTRONÔMICAS - Zênite de P é a projeção de P na esfera celeste, segundo a vertical - Meridiano celeste de P é determinado pelo plano que contém o eixo de rotação e o zênite do ponto - AP é o arco de meridiano contado do Equador ao ponto - AP é o arco de Equador contado da interseção do meridiano de referência até o meridiano do ponto

COORDENADAS ASTRONÔMICAS As coordenadas astronômicas são de difícil obtenção. Dependendo da precisão exigida, implicam em programas de observação bastante longos e de execução complexa Estas coordenadas foram fundamentais na definição dos referenciais geodésicos clássicos Praticamente inviáveis para o posicionamento na superfície física da Terra, principalmente porque necessita-se de uma grande densidade de pontos

COORDENADAS ASTRONÔMICAS As coordenadas astronômicas dependem da vertical dos pontos envolvidos - i : deflexão ou desvio da vertical

COORDENADAS ASTRONÔMICAS Resultado da projeção da vertical e da normal de P na esfera celeste Componente meridiana Componente primeiro vertical

COORDENADAS ASTRONÔMICAS Relacionamento entre coordenadas geodésicas e astronômicas Equação de Laplace Componente meridiana Componente primeiro vertical

GEOMETRIA DO ELIPSÓIDE Elipsóide de revolução: figura gerada pela rotação de uma elipse sobre seu eixo Geometricamente definido por a e b Geodésia: tradicionalmente a e f

GEOMETRIA DO ELIPSÓIDE Qualquer seção contendo o eixo Z é uma elipse (meridianos) Qualquer seção perpendicular é um círculo (paralelos) cujo raio varia em função da latitude

GEOMETRIA DO ELIPSÓIDE

GEOMETRIA DO ELIPSÓIDE a= semi-eixo maior b= semi-eixo menor f= achatamento e= primeira excentricidade e’= segunda excentricidade

GEOMETRIA DO ELIPSÓIDE Raio de Curvatura O raio de curvatura em um ponto é o inverso da curvatura: 1/ = s / Raio de curvatura principal em um ponto A de uma superfície é a seção produzida por um plano normal à mesma, tal que o raio de curvatura correspondente seja o máximo ou o mínimo dentre todos os possíveis. Normalmente em uma superfície existirão duas seções principais

GEOMETRIA DO ELIPSÓIDE Raios de curvatura Seção meridiana(mín) Grande normal(máx) - Pequena normal

GEOMETRIA DO ELIPSÓIDE Raios de curvatura Raio médio de curvatura

GEOMETRIA DO ELIPSÓIDE Raios de curvatura Teorema de Euler Fornece o raio de curvatura R de uma seção genérica com azimute Az

GEOMETRIA DO ELIPSÓIDE Raio de paralelo que contém um ponto dado Teorema de Meusnier

GEOMETRIA DO ELIPSÓIDE Comprimento de um arco de elipse meridiana Os coeficientes A, B, C, D, E e F são tabelados ou calculados com base nos parâmetros do elipsóide de referência

GEOMETRIA DO ELIPSÓIDE Comprimento de um arco de elipse meridiana

GEOMETRIA DO ELIPSÓIDE Exemplo: Para o elipsóide de referência 1967

GEOMETRIA DO ELIPSÓIDE Área de um quadrilátero elipsóidico A’, B’ e C’ são tabelados ou calculados com base nos parâmetros do elipsóide de referência

GEOMETRIA DO ELIPSÓIDE Latitude Geocêntrica ( )

GEOMETRIA DO ELIPSÓIDE Latitude Reduzida (u)

GEOMETRIA DO ELIPSÓIDE Seções Normais no Elipsóide Determinada pela intersecção de um plano definido por uma normal em um ponto e um segundo ponto, com a superfície do elipsóide

GEOMETRIA DO ELIPSÓIDE Seções Normais no Elipsóide A seção normal resultante da interseção do plano que contém a normal de P 1 e o ponto P 2 com o elipsóide (linha azul) é chamada de seção normal direta em relação a P 1 ou seção normal recíproca em relação a P 2

GEOMETRIA DO ELIPSÓIDE Seções Normais no Elipsóide A seção normal resultante da interseção do plano que contém a normal de P 2 e o ponto P 1 com o elipsóide (linha vermelha) é chamada de seção normal direta em relação a P 2 ou seção normal recíproca em relação a P 1

GEOMETRIA DO ELIPSÓIDE Seções Normais no Elipsóide A seção normal direta do ponto mais ao Sul é a curva mais ao Sul

GEOMETRIA DO ELIPSÓIDE Seções Normais no Elipsóide casos de coincidência entre a direta e a recíproca Dois pontos com a mesma latitude

GEOMETRIA DO ELIPSÓIDE Seções Normais no Elipsóide casos de coincidência entre a direta e a recíproca Dois pontos com a mesma longitude

GEOMETRIA DO ELIPSÓIDE Linha Geodésica - é a menor distância entre dois pontos no elipsóide, contada sobre a superfície do elipsóide - é uma curva reversa (não está contida num plano) situada entre as seções normais dois pontos, aproxima-se da seção normal do ponto mais próximo

GEOMETRIA DO ELIPSÓIDE Linha Geodésica Teorema de Clairaut “O produto do seno do azimute da geodésica em um ponto pelo raio do paralelo deste ponto é uma constante” Aspectos importantes para a solução do problema direto e inverso – transporte de coordenadas

GEOMETRIA DO ELIPSÓIDE Linha Geodésica Aproximação Esférica Para s = 40 km e Azimute de 45 , tem-se um ângulo = 0, 014” e uma abertura entre duas seções normais de d = 1 mm s 21 s d s 12

GEOMETRIA DO ELIPSÓIDE Linha Geodésica Aproximação Esférica - Para distâncias de até 80 km não se detecta diferença nos comprimentos das seções normais e da geodésica, assim pode-se tratar a geodésica como um arco de circunferência de raio: Aproximação esférica de caráter local.

GEOMETRIA DO ELIPSÓIDE EXERCÍCIO 1 – Para o ponto P de latitude P = -25 25’ 42, 8737”, determinada no sistema geodésico SAD 69, calcular: OBS – o sistema SAD 69 utiliza como base o elipsóide de referência internacional 1967, com a = 6378160, 0 m e f = 1/298, 25 a) b) c) d) e) f) g) h) i) Primeira excentricidade ao quadrado Semi-eixo menor Raio de curvatura da seção primeiro vertical ou grande normal Pequena normal ou raio de curvatura da seção meridiana Raio médio de curvatura Raio de curvatura de uma seção cujo azimute é 30 Raio do paralelo que contém o ponto Segunda excentricidade ao quadrado Latitude geocêntrica

GEOMETRIA DO ELIPSÓIDE EXERCÍCIO 1 – Para o ponto P de latitude P = -25 25’ 42, 8737”, determinada no sistema geodésico SAD 69, calcular: OBS – o sistema SAD 69 utiliza como base o elipsóide de referência Internacional 1967, com a = 6378160, 0 m e f = 1/298, 25 a) Primeira excentricidade ao quadrado

GEOMETRIA DO ELIPSÓIDE EXERCÍCIO 1 – Para o ponto P de latitude P = -25 25’ 42, 8737”, determinada no sistema geodésico SAD 69, calcular: OBS – o sistema SAD 69 utiliza como base o elipsóide de referência internacional 1967, com a = 6378160, 0 e f = 1/298, 25 a) Primeira excentricidade ao quadrado