Estudo da reta Plano cartesiano eixo das ordenadas

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Estudo da reta

Estudo da reta

Plano cartesiano eixo das ordenadas y 2º quadrante 1º quadrante O (0, 0) Origem

Plano cartesiano eixo das ordenadas y 2º quadrante 1º quadrante O (0, 0) Origem 3º quadrante 4º quadrante x eixo das abscissas

Coordenadas no plano y P(3, 4) 4 ü 3 é a abscissa de P;

Coordenadas no plano y P(3, 4) 4 ü 3 é a abscissa de P; P ü 4 é a ordenada de P; ü 3 e 4 são as coordenadas O 3 de P; x q Em geral: P(x, y)

Sinais no plano y + + x=0 y=0 – + x O( 0, 0)

Sinais no plano y + + x=0 y=0 – + x O( 0, 0) – –

Bissetrizes no plano y 2ª bissetriz 1ª bissetriz y=x y = –x x

Bissetrizes no plano y 2ª bissetriz 1ª bissetriz y=x y = –x x

Equação da reta

Equação da reta

Equação geral da reta n A toda reta contida no sistema x. Oy de

Equação geral da reta n A toda reta contida no sistema x. Oy de coordenadas cartesianas está associada uma equação de 1. º grau, nas variáveis x e y. Essa equação se verifica para todos os pontos da reta, e só eles. ü Retas paralelas aos eixos; ü Retas não-paralelas aos eixos;

Retas paralelas aos eixos n A figura mostra duas retas r e s, contidas

Retas paralelas aos eixos n A figura mostra duas retas r e s, contidas no plano cartesiano x. Oy. y r s 2 O ü Equação da reta r: x = 4 4 ü Equação da reta s: y = 2 x

Retas paralelas ao eixo y n A figura mostra três retas r, s e

Retas paralelas ao eixo y n A figura mostra três retas r, s e t, contidas no plano cartesiano x. Oy. y r s ü Equação de r: x = – 2 t ü Equação de s: x = 1 ü Equação de t: x = 3 – 2 O 1 3 x q Geral: retas ∕∕ eixo y: x=k ü k é a abscissa do ponto em que a reta intercepta o eixo x.

Retas paralelas ao eixo x n A figura mostra três retas w, u e

Retas paralelas ao eixo x n A figura mostra três retas w, u e p, contidas no plano cartesiano x. Oy. y ü Equação de w: y = 3 3 2 w u O – 1 ü Equação de u: y = 2 ü Equação de p: y = – 1 x p q Geral: retas ∕∕ eixo x: y=h ü h é a ordenada do ponto em que a reta intercepta o eixo y.

Retas não-paralelas aos eixos n A figura mostra a reta r, contidas no plano

Retas não-paralelas aos eixos n A figura mostra a reta r, contidas no plano cartesiano x. Oy, determinada pelos pontos A(2, 1) e B(3, 3). B 3 1 O P(x, y) ∊ AB ⇒ A, B e P estão r y P(x, y) x y 1 1 2 1 A 2 alinhados =0 3 3 1 3 x x + 3 y + 6 – 3 x – 2 y = 0 ⇒ y – 2 x + 3 = 0

Equação geral da reta n Toda reta do plano cartesiano x. Oy está associada

Equação geral da reta n Toda reta do plano cartesiano x. Oy está associada a uma equação de 1. º grau Ax + By + C = 0, com A, B e C reais, sendo A ≠ 0 ou B ≠ 0. q A equação de uma reta pode ser escrita de infinitas formas, todas equivalentes. ü 2 x – y – 3 = 0 ü 4 x – 2 y – 6 = 0 ü 6 x – 3 y – 9 = 0 q . . . e assim por diante. Cada uma dessas igualdades é uma equação geral da reta.

Exemplos n Traçar no plano cartesiano x. Oy, a reta r de equação geral

Exemplos n Traçar no plano cartesiano x. Oy, a reta r de equação geral 3 x + 2 y – 5 = 0. x=1 ⇒ 3. 1 + 2 y – 5 = 0 ⇒ 2 y = 2 x=3 ⇒ 3. 3 + 2 y – 5 = 0 ⇒ 2 y = – 4 ⇒ y = – 2 ⇒ y=1 y r 1 O – 2 1 3 x

Exemplos n Analisar se M(2, – 1) e N(3, 5) são pontos da reta

Exemplos n Analisar se M(2, – 1) e N(3, 5) são pontos da reta de equação geral 5 x + y – 9 = 0. ü Para que cada ponto pertença à reta, suas coordenadas devem satisfazer a equação. M(2, – 1) ⇒ 5. 2 + (– 1) – 9 = 0 ⇒ 10 – 1 – 9 = 0 ⇒ 0 = 0 N(3, 5) ⇒ 5. 3 + 5 – 9 = 0 ⇒ 15 + 5 – 9 = 0 ⇒ 11 ≠ 0 ü Concluímos que M é ponto da reta dada, mas N não é.

Inclinação de uma reta

Inclinação de uma reta

Inclinação de uma reta n Imagine um carro subindo uma rampa reta, conforme figura.

Inclinação de uma reta n Imagine um carro subindo uma rampa reta, conforme figura. Suponha que para cada 40 m percorridos na horizontal, a pista se eleve 6 m. 6 m 40 m ü O ângulo α que a rampa forma com a horizontal é o ângulo de inclinação da rampa. O valor de tg α é a inclinação da rampa. Inclinação = tg α = 6 m = 0, 15 = 15 % 40 m

Inclinação de uma reta n Vamos analisar agora duas situações extremas. ü Quando o

Inclinação de uma reta n Vamos analisar agora duas situações extremas. ü Quando o carro percorre um trecho horizontal, dizemos que a rampa tem inclinação 0 e que o ângulo de inclinação é 0º. (tg 0 o = 0). α = 0 o ⇒ Inclinação = tg α = tg 0 o = 0

Inclinação de uma reta n Vamos analisar agora duas situações extremas. ü O auto

Inclinação de uma reta n Vamos analisar agora duas situações extremas. ü O auto não sobe uma rampa vertical. Nesse caso, não se define a inclinação da rampa e o ângulo de inclinação é 90º. (tg 90º = Não é definido). α = 90 o ⇓ Inclinação não se define.

Inclinação de uma reta n Considere uma reta r, não paralela aos eixos x

Inclinação de uma reta n Considere uma reta r, não paralela aos eixos x e y, contida no plano cartesiano x. Oy. y r Q y. Q Inclinação = tg α y. Q– y. P P y. P M O x. Q– x. P x. Q x a = tg α = y. Q – y. P x. Q – x. P y a= x

Inclinação de uma reta n Convém lembrar as tangentes de alguns ângulos importante: y

Inclinação de uma reta n Convém lembrar as tangentes de alguns ângulos importante: y a = tg 30º = M O 30º x √ 3 3

Inclinação de uma reta n Convém lembrar as tangentes de alguns ângulos importante: y

Inclinação de uma reta n Convém lembrar as tangentes de alguns ângulos importante: y a = tg 45º = 1 M O 45º x

Inclinação de uma reta n Convém lembrar as tangentes de alguns ângulos importante: y

Inclinação de uma reta n Convém lembrar as tangentes de alguns ângulos importante: y a = tg 60º = √ 3 M O 60º x

Inclinação de uma reta n Convém lembrar as tangentes de alguns ângulos importante: y

Inclinação de uma reta n Convém lembrar as tangentes de alguns ângulos importante: y a = tg 120º = – tg 60º = –√ 3 120º O M x

Inclinação de uma reta n Convém lembrar as tangentes de alguns ângulos importante: y

Inclinação de uma reta n Convém lembrar as tangentes de alguns ângulos importante: y a = tg 135º = – tg 45º = – 1 135º O M x

Inclinação de uma reta n Convém lembrar as tangentes de alguns ângulos importante: y

Inclinação de uma reta n Convém lembrar as tangentes de alguns ângulos importante: y –√ 3 a = tg 150º = – tg 30º = 3 150º O M x

Exemplos n Em cada caso, obter a inclinação e classificar o ângulo α de

Exemplos n Em cada caso, obter a inclinação e classificar o ângulo α de inclinação da reta MN. a) M(– 2, 3) e N(1, 5) a = tg α = y 5 M 5– 3 a= 1 – (– 2) N 3 a= α – 2 O 1 y. N – y. M x. N – x. M x 2 3 a > 0 e α é agudo (α < 90º)

Exemplos n Em cada caso, obter a inclinação e classificar o ângulo α de

Exemplos n Em cada caso, obter a inclinação e classificar o ângulo α de inclinação da reta MN. b) M(– 2, 3) e N(3, – 1) a = tg α = y M – 2 – 1 – 3 a= 3 – (– 2) 3 O – 1 y. N – y. M x. N – x. M α a= 3 x N – 4 5 a < 0 e α é obtuso (90º < α < 180º)

Exemplos n Em cada caso, obter a inclinação e classificar o ângulo α de

Exemplos n Em cada caso, obter a inclinação e classificar o ângulo α de inclinação da reta MN. c) M(– 1, 3) e N(2, 3) a = tg α = y M 3 3– 3 a= 1 – (– 1) N a=0 O – 1 y. N – y. M x. N – x. M 3 x a = 0 ⇒ α = 0º (nulo)

Exemplos n Em cada caso, obter a inclinação e classificar o ângulo α de

Exemplos n Em cada caso, obter a inclinação e classificar o ângulo α de inclinação da reta MN. d) M(2, – 1) e N(2, 3) a = tg α = y. N – y. M x. N – x. M a= 3 – (– 1) 2– 2 y 3 N O α – 1 2 M a = não é definida x ⇓ α = 90º (reto)

Inclinação de uma reta - resumo n O ângulo de inclinação α de uma

Inclinação de uma reta - resumo n O ângulo de inclinação α de uma reta é tal que 0º ≤ α ≤ 180º. n Sua inclinação a pode ser positiva, negativa ou nula, conforme a medida do ângulo α (α ≠ 90º). ü α = 0º ⇔ a = 0. ü 0º < α < 90º ⇔ a > 0. ü α = 90º ⇔ a inclinação a não é definida. ü 90º < α < 180º ⇔ a < 0.

Exemplos n Achar as inclinações das retas r, s e t da figura abaixo.

Exemplos n Achar as inclinações das retas r, s e t da figura abaixo. y t O 45º r 45º s 120º x ü ar = tg 45º = 1 ü as = tg 45º = 1 ü at = tg 120º = – tg 60º = – √ 3

Equação reduzida da reta

Equação reduzida da reta

Equação reduzida da reta n Uma reta é determinada, quando são dados sua inclinação

Equação reduzida da reta n Uma reta é determinada, quando são dados sua inclinação e um de seus pontos. Suponhamos no plano x. Oy, uma reta r que passa por A(2, 3) e têm ângulo de inclinação α = 135º. n Vamos y obter a equação da reta r. a= 3 O A a = tg 135º = – 1. ⇒ – 1 = y – 3 = – 1(x – 2) M(x, y) 135º 2 y. M – y. A x. M – x. A y – 3 = – 1 x + 2 x y = – 1 x + 5 y = –x + 5 y– 3 x– 2

Equação reduzida da reta – Caso Geral n Suponhamos que uma reta r de

Equação reduzida da reta – Caso Geral n Suponhamos que uma reta r de inclinação a = tg α e que passe pelo ponto P(x. P, y. P), como mostra a figura. y P y. P M (x, y) y – y. P ⇒ a= x–x P y – y. P = a(x – x. P) α O a= y. M – y. A x. M – x. A x. P x ⇒ y – y. P = ax – ax. P ⇒ y = ax + (–ax. P + y. P) ⇒ y = ax + b ü Equação reduzida da reta

Equação reduzida da reta n Na equação reduzida y = ax + b, temos:

Equação reduzida da reta n Na equação reduzida y = ax + b, temos: x=0 ⇒ y = a. 0 + b ⇒ y = b ü Significa que a reta passa pelo ponto (0, b) → ponto do eixo y. ü O coeficiente a é a inclinação da reta; ele é também chamado, por isso, coeficiente angular da reta. ü O coeficiente b é a ordenada do ponto em que a reta corta o eixo y; ele é chamado de coeficiente linear da reta.

Exemplos n Uma equação geral da reta r é 2 x – y +

Exemplos n Uma equação geral da reta r é 2 x – y + 4 = 0. Escrever a equação na forma reduzida, indicar os coeficientes angular e linear e representar a reta no plano cartesiano x. Oy. 2 x – y + 4 = 0 ⇒ –y = – 2 x – 4 ⇒ y = 2 x + 4 O coeficiente angular a = 2 e o coeficiente linear é b = 4. ü a = 2, o ângulo de inclinação α < 90º. ü b = 4, a reta intercepta o eixo y no ponto (0, 4). Vamos obter o ponto em que a reta corta o eixo x. Para isso, vamos fazer y = 0. y=0 ⇒ 2 x – 0 + 4 = 0 ⇒ 2 x = – 4 ⇒ x = – 2 ⇒ (– 2, 0)

Exemplos n Veja a representação da reta r: 2 x – y + 4

Exemplos n Veja a representação da reta r: 2 x – y + 4 = 0 no plano x. Oy. y = 2 x + 4 y r 4 – 2 O x

Exemplos n O gráfico a seguir mostra uma reta s. Encontrar a equação reduzida

Exemplos n O gráfico a seguir mostra uma reta s. Encontrar a equação reduzida e uma equação geral para essa reta. s y = ax + b y ü A reta corta o eixo y no ponto de ordenada 2, ponto (0, 2), logo b = 2. 2 45º O ü α = 180º – 45º = 135º α x a = tg 135º = – 1. y=–x+2 ⇒ x+y– 2=0

Exemplos n Achar a equação reduzida da reta r que passa pelos pontos A(–

Exemplos n Achar a equação reduzida da reta r que passa pelos pontos A(– 2, 6) e B(1, – 3). ü Primeiro vamos calcular a inclinação da reta. y. A – y. B y 9 6 –(– 3) a= = = x –x = – 3 – 2 – 1 x A B ⇒ a = – 3 ü Utilizando o ponto A(– 2, 6), por exemplo, obtemos a equação fundamental, em seguida a equação reduzida da reta. y – y. P = a(x – x. P) ⇒ y – 6 = – 3(x + 2) ⇒ y – 6 = – 3 x – 6 ⇒ y = – 3 x