E in materia 1 Condizioni al contorno 1
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E in materia 1
Condizioni al contorno 1. Campo elettrico stazionario 2. Materiale dielettrico E in materia 2
In linea di principio valgono tutti i teoremi che abbiamo visto nel vuoto… (tutti gli esperimenti che hanno portato a tali teoremi sono stati effettuati nella materia) E in materia 3
q r E= E in materia 4
q E E in materia 5
q E in materia 6
Dimensioni atomiche Un fattore 10 -4 equivale a 1 cm/100 m E in materia 7
1 cm 100 m circa
q E in materia 9
…in pratica vi sono molte difficoltà nella loro applicazione. E in materia 10
Supponiamo che nel bicchiere ci siano 18 g di acqua (pari ad una grammomolecola). Il numero di molecole sarà quindi (numero di Avogadro) NA= 6. 02 1023 Poiché nell’ H 2 O vi sono 1 atomo di ossigeno e 2 di idrogeno avremo 10 cariche positive (ed altrettante negative) per molecola, quindi in totale vi sono circa 10* 6. 02 1023 =6*1024 cariche positive ed altrettante negative Ciascuna di queste concorre al campo elettrico con un termine del tipo: E in materia 11
q E in materia 12
E in materia 13
Forza di Coulomb Materiale Cariche Geometria E in materia 14
Supponiamo di avere due condensatori uguali nel vuoto: Se metto la stessa carica q su di ognuno di essi trovo ovviamente lo stesso potenziale e posso definire una Capacità E in materia 16
Se adesso riempio un condensatore con un dielettrico e vi metto la stessa carica q trovo un potenziale diverso V 1 e di conseguenza una differente capacità E in materia 17
E in materia Da Halliday, Resnick, Walker Fondamenti di Fisica 18
Poichè Q è la stessa (e ) dovrà essere variata la capacità C 0 C ' Variando il dielettrico trovo che posso mettere C' = er C 0 con r > 1 dipendente dal dielettrico E in materia 19
• Materiale er • • 78 1. 0005 2 3 4. 5 -7. 5 6 4 -10 Acqua a 25 0 C Aria secca a 1 atm e 25 0 C Carta paraffinata Gomma Mica Porcellana Vetro E in materia 20
E in materia 21
Sperimentalmente si vede che se si mette un dielettrico tra le facce di un condensatore piano sui lati del dielettrico si presenta una densità ±sp E in materia 22
Questo porta ad una modificazione del campo elettrico e quindi della differenza di potenziale E in materia 24
la carica qest messa dall’esterno non cambia, ma ad essa si aggiunge la qpol che ha segno diverso. Quindi la carica totale è qest + qpol < qest Conseguentemente il campo elettrico e la differenza di potenziale diminuiranno Poiché è V=Qest/C se V diminuisce aumenterà la capacità E in materia 25
Possiamo considerare il sistema in due modi possibili ++++++ ------E= ++++++ s s r ------ E in materia s s ++++++ - - - - sp + + + ------ sp 26
s che rapporto c'è tra r e sp? +++++++ r Trattando il condensatore come un doppio strato possiamo scrivere s ------- s. Se invece sostituiamo al condensatore pieno uno vuoto, ma con sulle armature una carica tale da avere lo stesso campo elettrico, avremo un campo +++++ - - - sp + + + ----- sp E= = ==> sp = - s(1 - da cui si ricava )= - s quindi le sp sono di verso opposto e proporzionali alle s. E in materia 27
E in materia 28
Campo elettrico e potenziale di un dipolo E in materia 29
Campo elettrico e potenziale di un dipolo E in materia 30
E in materia 31
Dipolo in campo elettrico E in materia 32
E in materia 33
E in materia 34
Il primo termine è nullo se Q=0 cioè se il sistema è neutro. Il secondo termine si può vedere che è nullo se il sistema è simmetrico. Il secondo termine dipende dalle coordinate a meno che il sistema totale abbia carica Q=0 quindi si può parlare di momento di dipolo intrinseco al sistema solo quando questo abbia carica totale nulla (esempi tipici sono atomi e molecole). E in materia 35
Conduttori e dielettrici Gli atomi sono costituiti da un nucleo formato (tra l’altro) da cariche positive (protoni) circondate da cariche negative (elettroni) che, attratte dal nucleo, costituiscono un sistema stabile E in materia 36
Un atomo è un sistema legato, nel senso che è necessaria una data energia (energia di ionizzazione, o, cambiando il segno, energia di legame) per poter estrarre un elettrone e portarlo all’ infinito. Esso può essere rappresentato come in figura come una buca di potenziale. E in materia 37
Ricordiamo adesso che un insieme di cariche (in approssimazione di dipolo ed un atomo è appunto questo), produce un potenziale dato da: quindi ogni atomo produce una variazione del potenziale sugli atomi vicini o, se vogliamo, ogni atomo risente della variazione di potenziale creato da tutti gli atomi circostanti. E in materia 38
In alcuni casi questa variazione è maggiore della energia di legame e quindi gli elettroni (esterni) sono messi in comune tra tutti gli atomi, si ha un conduttore. In altri casi questa variazione non è sufficientemente alta e quindi l’atomo resta un sistema legato e si ha un isolante (dielettrico). E in materia 39
Energia di legame E in materia 40
CONDUTTORI Nel caso sia presente un campo elettrico esterno gli elettroni sono liberi di muoversi e si dispongono come in figura in modo che all’ interno il campo elettrico totale sia nullo E in materia 41
E in materia 42
q E E in materia 43
q E in materia 44
E in materia 45
E in materia 46
• Sia il momento di dipolo elettrico della molecola. • è uguale a zero se la molecola ha una simmetria tale che il centro di massa delle cariche positive coincide con quello delle negative (sostanze non polari ad es elio, neon, ossigeno, idrogeno), • è diverso da zero nel caso non vi sia simmetria (sostanze polari ad es. acqua, Na. Cl). E in materia 47
E in materia 48
E in materia 49
L’ ordine di grandezza di ( )si può ottenere moltiplicando il valore di alcune cariche elettroniche (qualche unità in 10– 19 C) per una frazione del diametro della molecola (10 -11 m) si ottiene dell’ ordine di 10 -30 C m. E in materia 50
E in materia Molecola P 0 in 10 -30 Cm Na. Cl Ag. Cl H 2 O H 2 S HCl NO CO SO 2 30. 0 19. 1 6. 23 3. 67 3. 60 0. 52 0. 33 5. 34 51
In generale i momenti di dipolo (delle molecole che lo hanno) sono distribuiti casualmente nel tempo (di osservazione) e nello spazio (in cui avviene la misura) per cui la media è = 0. In presenza di un campo esterno tendono ad orientarsi parallelamente al campo esterno (contrastati dalla agitazione termica) E in materia 52
E in materia 53
E in materia 54
E in materia 55
E in materia 56
Inoltre tutti gli atomi e le molecole, sia che abbiano momento proprio uguale o diverso da zero, tendono a deformarsi, dando luogo a nuovi momenti di dipolo. Per i sistemi con momento proprio diverso da zero, i momenti ottenuti per deformazione si aggiungono a quelli propri. E in materia 57
Nel caso dei dielettrici si hanno due effetti: per tutti materiali si ha una E in materia dell’ atomo; 58
E in materia 59
Per alcuni elementi, i cui atomi o molecole posseggano un momento di dipolo elettrico, si ha anche un E in materia 60
RIASSUMENDO Polarizzazione per deformazione ad es H 2, Elio, Neon, Ossigeno, CO 2 in cui il campo elettrico esterno provoca una deformazione che è la causa dell' insorgere di un momento di dipolo proprio. Polarizzazione per orientamento ad es. Acqua, NH 3 avviene per le molecole che hanno già un momento di dipolo proprio. E in materia 61
Polarizzazione di un dielettrico • sia un dielettrico polare che uno apolare, quando sottoposti ad un campo elettrico E ≠ 0, subiscono polarizzazione, ossia i dipoli interno (propri o indotti da E) tendono ad orientarsi parallelamente ad E, tutti con lo stesso verso E in materia 62
Si supponga di mettere tra le piastre di un condensatore un dielettrico: inizialmente i dipoli sono orientati a caso, se però ai capi del condensatore si mette una differenza di potenziale V i dipoli si allineano sotto l’azione del campo esterno Eest applicato. A seguito dell’allineamento, però, i dipoli creano a loro volta un campo Eint interno al dielettrico di verso opposto a quello esterno E in materia 63
Conseguentemente, il campo elettrico risultante all’interno del dielettrico risulta inferiore rispetto a quello che si avrebbe in assenza del materiale, ossia rispetto al campo elettrico Eest Etot = Eest + Eint < Eest E in materia 64
• Inoltre, sulle superfici del dielettrico che si affacciano sugli elettrodi appare una carica (CARICA DI POLARIZZAZIONE) dovuta ai dipoli che si affacciano su tali superfici E in materia 65
E in materia Da Halliday, Resnick, Walker Fondamenti di Fisica 66
E in materia 67
è il momento elettrico proprio (per orientazione o deformazione di ciascuna molecola). è il momento elettrico medio della molecola (mediato nel tempo e nel numero di molecole presenti nel volume considerato) in una data direzione n = numero di molecole/unità di volume =n è il vettore intensità di polarizzazione momento elettrico dell' unità di volume. E in materia 68
In caso di isotropia in un volume si ha la seguente situazione. Le cariche interne si annullano e si vedono solo le cariche sulla superficie. E in materia 69
l sp sp In tal caso dato un volume V= l S questo ha un momento elettrico dato da PV. Ma il momento può essere calcolato come q l quindi si ha PV = q l ==> P(S l) = q l = (sp. S)l da cui sp = P E in materia 70
Più in generale se il campo elettrico esterno (e quindi , non è normale alla superficie) si ottiene s p= Essendo E in materia la normale alla superficie. 71
Se la polarizzazione del dielettrico non è uniforme allora su ogni prismetto ci sarà una carica sp ds – s’p ds cioè Pd. S - P'd. S = d. Qp ma poichè possiamo scrivere abbiamo: e quindi la densità di carica è E in materia 72
Più in generale se i prismetti sono disposti in modo qualsiasi si può dimostrare che sussiste la rp = - div E in materia 73
NOTA la somma delle cariche di polarizzazione deve essere nulla dato che si ha solo uno spostamento di cariche; in effetti si ha: Per il teorema della divergenza si vede che è qp=0 E in materia 74
Nel vuoto il teorema di Gauss si scrive : dove r è la densità di carica relativa alle cariche messe dall’esterno. Nella materia in cui oltre alle cariche esterne vi sono le cariche di polarizzazione rp , possiamo scrivere: E in materia 75
e ponendo div = - rp ( = vettore di polarizzazione) si ha Cioè E in materia 76
se introduciamo il vettore questo gode della relazione Div = 0 =r cioè gode della stessa proprietà di vuoto. E in materia + 0 nel 77
(vettore di polarizzazione) è proporzionale a. E in materia 78
Infatti, per la polarizzazione per deformazione lo spostamento delle cariche, almeno per piccole deformazioni, è proporzionale al campo elettrico esterno ed il momento di dipolo è proporzionale allo spostamento. E in materia 79
E in materia 80
Nel caso poi di Polarizzabilità per orientamento si ha che, dato un momento di dipolo p 0 in un campo elettrico alla temperatura T si può dimostrare che la componente di p 0 nella direzione di è data da: E in materia 81
p = p 0 L(a) con L(a) = funzione di Langevin, ove a= con K = costante di Boltzmann= 1. 38 10 -23 J/k E in materia 82
Come si arriva a questa formula? Supponiamo di avere un insieme di molecole, aventi momento proprio, immerse in un campo elettrico esterno… E in materia 83
In queste condizioni si raggiunge un equilibrio termico, in cui le molecole aventi il momento p 0 parallelo e nello stesso verso del campo sono un poco di più di quelle aventi la stessa direzione ma verso opposto, e quindi, se si calcola la polarizzazione media delle molecole questa avrà una componente non nulla nella direzione del campo. E in materia 84
Una molecola di momento elettrico p 0 orientato a formare un angolo q con la direzione di , ha una componente del momento elettrico lungo pari a p 0 cosq. p 0 q E p 0 cosq E in materia 85
Il valore medio, di questa componente sarà: avendo indicato con il valore medio di (cos q) calcolato su di un gran numero di molecole. E in materia 86
Per calcolare faremo uso della distribuzione di Boltzmann la quale ci dice che, in un sistema termodinamico in equilibrio termico, il numero di molecole di energia potenziale U è descritto dalla funzione P(U) di Boltzmann E in materia 87
dove A è una costante di normalizzazione U è l’ energia del dipolo ( = con q angolo tra e ) K è la costante di Boltzmann (1. 38 10 -23 JK-1) T è la temperatura assoluta del dielettrico E in materia 88
e quindi ogni valore dell'angolo q comparirà con probabilità proporzionale a E in materia 89
Per calcolare il valore medio di cosq occorre mediare su tutte le possibili orientazioni delle molecole eseguendo l’integrale: E in materia 90
dove l’integrale a denominatore è stato introdotto per normalizzare ad 1 la probabilità totale, e l'integrazione va eseguita sull'elemento di angolo solido d. W = senq dq df, con f variabile tra 0 e 2π, q variabile tra 0 e π. Le funzioni integrande non dipendono da f e quindi l’integrazione in df può essere immediatamente eseguita E in materia 91
avendo posto x=cosq, � dx= -sinqdq Eseguendo l'integrazione si ha infine il risultato: � E in materia 92
= L(a) e per il momento elettrico medio delle molecole nella direzione del campo E in materia 93
La funzione L (a) è detta funzione di Langevin ed è rappresentata in figura: E in materia 94
Per piccoli valori di a L(a)cresce proporzionalmente ad a, cioè cresce proporzionalmente ad ; al crescere di a essa tende ad 1, cioè tutte le molecole si allineano nella direzione del campo e p tende a po. E in materia 95
Nella pratica la zona di interesse è quella dei piccoli valori di a. Infatti possiamo pensare che po sia dell'ordine della carica dell'elettrone moltiplicata per una lunghezza dell'ordine di 10 -10 m, (cioè circa 10 -30 Cm) - la costante di Boltzmann vale k = 1, 38 x 10 -23 J/K; - assumendo temperatura ambiente T = 300 0 K - e un campo E = 106 V/m, si ha che a è dell’ordine di 4 10 -3 << 1 E in materia 96
per a piccoli allora si può sviluppare L(a) in serie e si ottiene che per a <<1 L(a) si riduce a L(a) quindi risulta p=p 0 L(a) a 0 polarizzabilità per orientamento o polarizzabilità dipolare, definita come il rapporto, indipendente da E, tra il momento elettrico medio dovuto all'orientamento delle molecole e il campo agente sulla molecola. Quindi a 0 = E in materia 97
In generale anche le molecole polari subiscono una deformazione della nube elettronica sotto l’azione di un campo elettrico e la loro polarizzabilità (detta spesso polarizzabilità molecolare) è quindi la somma di due termini a = ael + quindi a può dipendere ( a seconda dell' approssimazione dato che in genere ael è più piccolo di ) da E ed allora si usa mettere sotto la forma E in materia 98
P = a E = 0 c(E) E anche se spesso c(E) = costante E in materia 99
RIASSUMENDO se introduciamo il vettore = 0 + vettore induzione elettrica questo gode della relazione Div =r cioè gode della stessa proprietà di E in materia 0 nel vuoto. 100
(vettore di polarizzazione) una funzione di. è Può quindi essere messo sotto la forma Basta definire E in materia 101
P = a E = 0 c(E) E anche se spesso c(E)=c =costante suscettività elettrica inserendola nella si ha cioè E in materia 102
Nel caso (molto frequente) in cui c(E) sia indipendente da E si ha da cui, ricordando che : si ricava 1+c = r E in materia 103
E in materia 104
mentre nel vuoto basta per descrivere tutto lo stato del sistema, nella materia sono necessari due vettori (qualunque tra E, D, P) tradizionalmente si usano e E in materia 105
Nel vuoto E in materia Nei dielettrici 106
• La costante dielettrica relativa R dipende essenzialmente dal grado di polarizzazione (o spostamento del baricentro delle cariche positive e negative) che può avvenire nel materiale. • I fenomeni di polarizzazione (che sono strettamente collegati alla costante dielelettrica) possono essere divisi in due categorie: per orientamento o di polare e per deformazione che può a sua volta essere divisa in : elettronica, atomica e ionica. • La polarizzazione totale, ad ogni frequenza, è la somma dei contributi che ciascun tipo di polarizzazione può dare a quella frequenza E in materia 107
Polarizzazione dipolare E in materia 108
Polarizzazione per deformazione elettronica • Essa è dovuta ad un leggero spostamento della nuvola elettronica caricata negativamente degli atomi relativamente al nucleo caricato positivamente. E in materia 109
Polarizzazione per deformazione atomica • Essa è dovuta ad un leggero spostamento relativo di ioni adiacenti di segno opposto, che si riscontra quindi solo in reticoli di sostanze di tipo ionico o covalente-polare. E in materia 110
Polarizzazione per deformazione ionica o interfacciale • Essa si verifica in materiali che non sono dei dielettrici 'ideali' ma nei quali può avvenire una migrazione di carica su distanze macroscopiche. E in materia 111
• I meccanismi di polarizzazione non sono istantanei, ma richiedono un certo tempo per raggiungere l’equilibrio. Il tempo necessario a raggiungere l'orientazione di equilibrio viene detto tempo di rilassamento, ed il suo reciproco frequenza di rilassamento. Quando la frequenza del campo applicato supera quella di rilassamento di un particolare processo di polarizzazione, i dipoli non possono riorientarsi abbastanza velocemente e quel particolare processo si disattiva. E in materia 112
Ogni tipo di polarizzazione è caratterizzato da un suo tempo di rilassamento. Polarizzazione Tempo di rilassamento (sec. ) elettronica 10 -16 atomica 10 -12 molecolare 10 -3 ÷ 10 -8 Se questo tempo è relativamente elevato, ad alte frequenze la polarizzazione del materiale non potrà piu seguire le variazioni del campo elettrico. Al contrario a basse frequenze sarà possibile per ogni tipo di polarizzazione seguire l'andamento del campo elettrico e la costante dielettrica raggungerà il suo massimo valore E in materia 113
E in materia 114
Dipolo LF E in materia Dipolo MF Dipolo HF 115
Comportamento di nella superficie di separazione tra due dielettrici. E in materia 116
Componente tangenziale E in materia 117
E in materia 118
nei tratti 3 e 4 l' integrale è = 0 per due ragioni: 1) perchè sono infinitesimi di ordine superiore. 2) perchè se 1 e 2 sono infinitesimi non c'è ragione perchè l' integrale su 3 debba differire da quello su 4 quindi: E in materia 119
da cui ET 1 = ET 2 E in materia 120
Componente normale. Si prenda un cilindretto con superficie laterale infinitesima all' ordine superiore rispetto alle basi E in materia 121
Q=0 poichè non ci sono cariche esterne all' interno del cilindro si ha e poichè il flusso laterale è = 0 (infinitesimo di ordine superiore) si ha DFS 2(D) + DFS 2(D) = 0 E in materia 122
D 1 cosq 1 - D 2 cosq 2 = 0 D 1 n = D 2 n poichè è abbiamo 1 En 1 = 2 En 2 che combinate con ET 1= ET 2 danno tgq 1 = E in materia tgq 2 123
MISURA DEL CAMPO DIELETTRICO IN UN L’ intensità del campo elettrico Eo in un punto dello spazio vuoto è stata definita dalla relazione dove F indica la forza agente su una carica di prova q posta nel punto in questione. E in materia 124
In presenza di dielettrici, la definizione precedente per i punti dello spazio interni al dielettrico non è più valida: infatti, se il dielettrico, è solido, per introdurvi la carica di prova q si deve praticare, una cavità nel dielettrico e sulle pareti della cavità si formano delle cariche di polarizzazione che modificano il campo preesistente e tale modifica, in generale, non tende a zero al diminuire delle dimensioni della cavità; se, invece, il dielettrico è liquido, o aeriforme non c'è difficoltà nell'introdurre il corpicciolo contenente la carica di prova ma questo risente delle forze di superficie dovute al contatto col dielettrico. E in materia 125
ET 1= ET 2 Se nel dielettrico viene praticato un taglio parallelo alle linee di forza del campo elettrico e di piccolo spessore, lungo i bordi del taglio non si hanno cariche di polarizzazione (infatti è parallelo ai bordi, perciò sp = = 0), mentre le cariche di polarizzazione sulle basi (piccole) del taglio contribuiscono in maniera trascurabile al campo elettrico all'interno della cavità. E in materia 126
CONDENSATORE CON 2 DIELETTRICI (caso condensatore piano) Condensatore con dielettrico E in materia 127
CONDENSATORE CON 2 DIELETTRICI (caso condensatore piano) Se si ha un doppio condensatore (con 2 dielettrici 1 e 2) si ha: = = E in materia 128
E in materia 129
Sul luogo di separazione si ha D 1 n = D 2 n cioè 1 En 1 = 2 En 2 inoltre la d. d. p. tra 1 e 3 sarà E 1 d 1 la d. d. p. tra 3 e 2 sarà E 2 d 2 e quindi si avrà: V 2 -V 1= E 1 d 1 + E 2 d 2 Abbiamo quindi due equazioni lineari in E 1 e E 2 che risolte danno: E in materia 130
E in materia 131
RIGIDITA' DIELETTRICA L' atomo è un sistema legato: occorre una certa energia per portare l' elettrone all' infinito; questa energia è chiamata energia di ionizzazione. Metodi per ionizzare (cioè cedere energia sufficiente all' atomo) sono: 1) Calore (sorgenti di ioni a filamento caldo(attenzione, normalmente sono sorgenti di elettroni), stelle, …. ) 2) Luce (=energia) => effetto fotoelettrico, occorrono normalmente sorgenti X o g) 3) Particelle di alta energia da acceleratori o anche ioni accelerati da campi elettrici. E in materia 132
Normalmente nell' aria ci sono sempre ioni (provenienti da urti di radiazione cosmica) Se il campo elettrico è alto, ma non troppo, essi vengono accelerati ed urtano altri atomi producendo solo passaggio di cariche ed aumento termico. Se il campo elettrico supera un dato valore, nell' intervallo tra un urto ed un altro lo ione guadagna sufficiente energia da ionizzare l' atomo contro cui urta; si ha quindi un nuovo ione e, continuando, una reazione a catena e quindi una scarica. E in materia 133
Il campo elettrico necessario per iniziare la scarica (= rigidità dielettrica) dipende dal mezzo (massa dello ione), dallo stato del materiale (distanza tra le molecole) e da condizioni iniziali (umidità od altro) che fanno variare la meccanica del processo. ( Nell'aria in condizioni normali è 31 KV/cm) E in materia 134
E in materia 135
Esempio si consideri un condensatore piano in aria ( d= 2 cm) a cui è applicata la tensione di 60. 000 V. Allora risulta E= 30. 000 V/cm e non avviene la scarica. E in materia 136
E in materia Da Halliday, Resnick, Walker Fondamenti di Fisica 137
Inseriamo adesso 0. 2 cm di cartone presspan (rigidità 200 k. V/cm ed r=4) Allora si ha nel cartone E 1 = = 8. 100 V/cm nell' aria E 2 = = 32. 400 V/cm E in materia 138
Quindi scocca la scintilla nell' aria che diviene conduttrice e tutta la tensione viene allora applicata al cartone cioè 60. 000/0. 2 = 300. 000 V/cm e quindi superando la rigidità dielettrica del cartone si ha la scarica. E in materia 139
E in materia 140
CONDENSATORE REALE Il caso del condensatore nel vuoto è poco diffuso. Molto meglio il condensatore con dielettrico perchè: 1) la capacità aumenta di r quindi di valore anche alti (casi particolari con r dell’ ordine di 1000 -10000) 2) dato che spesso d deve essere piccola il dielettrico serve ad impedire che le armature vengano a contatto. 3) il dielettrico può avere una alta rigidità dielettrica e quindi il condensatore può avere una alta d. d. p. sulle armature. E in materia 141
E in materia 142
10 -2 = 8. 86 10 -9 F 30 10 -6 3 8. 86 10 -12 10 cm E in materia 143
E in materia 144
ENERGIA DEL CAMPO ELETTROSTATICO Nel vuoto avevamo trovato per la energia del campo elettrico la formula: che per un condensatore piano da che nel dielettrico può essere scritta come E in materia 145
poichè all’ esterno E = 0 mentre all’ interno del condensatore è Da cui, poiché il modulo della induzione dielettrica D è D = s = q/S si ricava ed essendo Sd il volume in cui è compreso il campo elettrico, ricordando che è parallelo a si ricava per E in materia 146
la densità di energia l’ espressione e quindi per l’ energia in un volume V E in materia 147
E in materia 148
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