BENVENUTI A TUTTI PRESENTAZIONE DEL CORSO I incontro

BENVENUTI A TUTTI

PRESENTAZIONE DEL CORSO I incontro • Ambito operativo della logica. Le proposizioni logiche. Logica degli enunciati e operatori logici; equivalenza di espressioni logiche. Tautologie, ragionamenti e dimostrazioni; ragionamenti validi e ragionamenti corretti; sintassi e semantica di un ragionamento.

PRESENTAZIONE DEL CORSO II incontro • La logica dei predicati. Predicati aperti e chiusi. Predicati unari e binari. Insieme di verità di un predicato semplice o composto. Connettivi logici e insiemi. • Equazioni, disequazioni, sistemi in una e in due variabili come predicati semplici o composti. • Uso dei quantificatori. Negazioni di frasi con quantificatori. I sillogismi: da Aristotele alla classificazione attuale passando per le regole mnemoniche tardomedievali. • Esercizi

PRESENTAZIONE DEL CORSO III incontro • La relazioni l’equivalenza. Come comunicare il concetto di “BLU” a chi non parla la nostra lingua. I concetti astratti in matematica. • Alcuni esercizi di logica dati alle olimpiadi della matematica. Esempi di alfa-test dati nelle prove di accesso all’università.

PROPOSIZIONI LOGICHE UNA PROPOSIZIONI LOGICA È UN ENUNCIATO CHE È O VERO O FALSO

I incontro VARIABILE LOGICA È UNA VARIABILE LOGICA OGNI LETTERA UTILIZZATA AL POSTO DI UNA PROPOSIZIONE

I incontro PROPOSIZIONI SEMPLICI o ELEMENTARI o ATOMICHE • MANGIO UNA MELA • OGGI A SAN DONÀ PIOVE • MI COMPRO UN’AUTOMOBILE (o come dicevano i futuristi “un automobile”) sono tutte proposizioni elementari (o atomiche)

I incontro CONNETTIVI LOGICI • NON (NOT) (è l’unico “connettivo” unario…) • E (AND – ET) • O (OR – VEL) • IMPLICA / SE… ALLORA (IF … THEN) • SE E SOLO SE (IF AND ONLY IF…) • XOR/AUT…AUT UNA PROPOSIZIONE È COMPOSTA SE È FORMATA DA PIÙ PROPOSIZIONI LOGICHE LEGATE DA CONNETTIVI

I incontro PROPOSIZIONI SEMPLICI • A • B • … PROPOSIZIONI COMPOSTE • A or B • not (B and C) • …

I incontro LA NEGAZIONE NON A V F F V

I incontro LA CONGIUNZIONE E (and) A B A and B V V F F F V F F

I incontro LA CONGIUNZIONE E (and) TEST DATO AL POLITECNICO Si considerino le due definizioni seguenti: c. Una circonferenza c è l’insieme dei punti del piano equidistanti da un fissato punto C. p. Una parabola p è l’insieme dei punti del piano equidistanti da un fissato punto F e da una fissata retta d. Allora A. la distanza di un punto qualunque di c da C è uguale alla distanza di un punto qualunque di p da F B. tre punti distinti di c hanno la stessa distanza da C e tre punti distinti di p hanno la stessa distanza da d C. un punto di c ha la stessa distanza da C di un punto di p D. due punti di c hanno la stessa distanza da C e un punto di p ha distanza da F uguale alla distanza che ha da d E. due punti di c hanno la stessa distanza da C e tre punti distinti di p hanno la stessa distanza da F

I incontro LA DISGIUNZIONE INCLUSIVA O A B A or B A vel B V V F F F

LA DISGIUNZIONE ECLUSIVA XOR (AUT…AUT) A B A xor B aut A aut B V V F V F V V F F F

IMPLICAZIONE MATERIALE SE… ALLORA (IF…THEN) ( ) A B A B V V F F F V V F F V

IMPLICAZIONE MATERIALE (se P allora C) (if P then C) (P C) (espressioni equivalenti) • Da P segue C • P è sufficiente per C • C è necessaria per P • P solo se C

test dato al politecnico L’affermazione Domani Aldo verrà dimesso dall’ospedale se oggi rimane senza febbre equivale a una delle seguenti. Quale? A. Se domani verrà dimesso, vuol dire che oggi Aldo è senza febbre B. Per essere dimesso domani, è necessario che oggi Aldo rimanga senza febbre C. Per essere dimesso domani, è sufficiente che oggi Aldo rimanga senza febbre D. Domani Aldo verrà dimesso solo se oggi rimane senza febbre E. Oggi Aldo ha la febbre e domani non verrà dimesso Traduciamo: Dimesso Senza. Febbre A. Dimesso Senza. Febbre B. Dimesso Senza. Febbre C. Dimesso Senza. Febbre D. Dimesso Senza. Febbre E. (non Senza. Febbre) and (non Dimesso)

test dato al politecnico Dalla proposizione Una successione di numeri reali, se crescente e limitata, è convergente (Cresc and Limit Conv) si deduce che A. la convergenza è una condizione necessaria per la limitatezza di una successione reale Limit Conv B. la convergenza è una condizione necessaria per la crescenza di una successione reale Conv Cresc C. le condizioni di crescenza e di limitatezza sono sufficienti per la convergenza di una successione reale Cresc and Limit Conv D. le condizioni di crescenza e di limitatezza sono necessarie e sufficienti per la convergenza di una successione reale Cresc and Limit Conv E. esistono successioni reali convergenti x Succ. Real : Conv(x) [vedi lezione sui quantificatori]

LA DOPPIA IMPLICAZIONE SE E SOLO SE (↔) (A B) and (B A) B A A ↔ B A B V V V F F V V V

I incontro ESPRESSIONI LOGICHE • not (A and B) • A and (not C) • if ((if A then B) and A) then B • if [(if A then B) and (not B)] then (not A) • if [(if A then B) and (if B then C))] then [if A then C] come si codificano? (se qualcuno vuole CIMENTARSI, come dicono i muratori)

I incontro TEST DATO AL POLITECNICO Aldo, Bruno e Carlo sono tre amici. Si sa che • almeno uno di essi è laureato • se Aldo è laureato, anche Bruno lo è • se Carlo è laureato, anche Aldo lo è • solo uno tra Bruno e Carlo è laureato Allora si deduce che • A. Aldo e Bruno sono laureati • B. Bruno è laureato • C. Aldo è laureato e Bruno non lo è • D. Carlo è laureato • E. i laureati sono due traduciamo

RISPOSTA AL TEST quali sono i casi in cui le 4 affermazioni sono tutte vere? A B C A or B or C A B C A B xor C V V V F V V V V V F F V F F V V V V F F V V V F F F F V V F

RISPOSTA AL TEST quali sono i casi in cui le 4 affermazioni sono tutte vere? A B C A or B or C A B C A B xor C V V F V V V V • • • A. Aldo e Bruno sono laureati B. Bruno è laureato C. Aldo è laureato e Bruno non lo è D. Carlo è laureato E. i laureati sono due

I incontro TAUTOLOGIE UNA PROPOSIZIONE COMPOSTA È UNA TAUTOLOGIA SE RISULTA SEMPRE VERA QUALUNQUE SIA IL VALORE DI VERITÀ DELLE PROPOSIZIONI CHE LA COMPONGONO

I incontro ESEMPI DI TAUTOLOGIE A o (non A) Principio del terzo escluso A non A A or (non A) V F V V

I incontro ESEMPI DI TAUTOLOGIE Non (A e (non A)) Principio di non contraddizione A non A A e (non A) Non (A e (non A)) V F F V F V

I incontro CONTRADDIZIONI UNA PROPOSIZIONE COMPOSTA È UNA CONTRADDIZIONE SE RISULTA SEMPRE FALSA QUALUNQUE SIA IL VALORE DI VERITÀ DELLE PROPOSIZIONI CHE LA COMPONGONO

ESEMPI DI CONTRADDIZIONI A and (non A) A non A A and (non A) V F F F V F

ESEMPI DI CONTRADDIZIONI non(A or (non A)) A non A A or (non A) non(A or (non A)) V F F V V F

EQUIVALENZA DI ESPRESSIONI LOGICHE A non A non (non A) V F V F A = non (non A)

EQUIVALENZA DI ESPRESSIONI LOGICHE A B non A (non A) vel B V V V F F F V V V A B = (non A) vel B

LEGGI DI DE MORGAN non (A e B) = (non A) o (non B) non (A o B) = (non A) e (non B) A B A e B non (A e B) V V V F F V F V F F F V V (non A) o non A non B (non B)

ESEMPI CON LE LEGGI DI DE MORGAN non (VADO AL MARE o IN MONTAGNA) = (non VADO AL MARE) e (non VADO IN MONTAGNA) non (MANGIO UNA MELA e UNA PERA) = (non MANGIO UNA MELA) o (non MANGIO UNA PERA)

I incontro FORME DI RAGIONAMENTO P C

I incontro ESEMPIO DI “RAGIONAMENTO” [(A B) and (non A)] (non B) P C Se Alice è colpevole allora anche Bruno lo è. Ma Alice non è colpevole. Dunque anche Bruno non lo è. (È ragionamento valido? )

FORME DI RAGIONAMENTO VALIDE Un ragionamento VALIDO ci assicura che da PREMESSE VERE giungiamo a una CONCLUSIONE VERA

FORME DI RAGIONAMENTO VALIDE Il modus ponens [(A B) and A] B Se Alice è colpevole allora anche Bruno lo è. Alice è colpevole. Dunque anche Bruno lo è.

FORME DI RAGIONAMENTO VALIDE Il modus ponens [(A B) and A] B A B V V F F F V V F F V

FORME DI RAGIONAMENTO VALIDE Il modus tollens [(A B) and (non B)] (non A) Se Alice è colpevole allora anche Bruno lo è. Ma Bruno non è colpevole. Dunque neanche Alice lo è.

FORME DI RAGIONAMENTO VALIDE Il modus tollens [(A B) and (non B)] (non A) A B A B non A V V V F F V V F F V V V

FORME DI RAGIONAMENTO VALIDE Il modus tollens (test dato a Medicina) Si completi correttamente il seguente ragionamento ipotetico: Se non avessi avuto talento non saresti diventato artista; ma sei diventato artista dunque. . . A) sarai artista B) non hai talento C) sei artista D) hai talento E) non avrai talento

FORME DI RAGIONAMENTO VALIDE La contronominale [(non T) (non I)] (I T) Se dal fatto che Tamara non è colpevole segue che anche Irene non lo sia allora dal fatto che Irene sia colpevole segue che anche Tamara lo sia

FORME DI RAGIONAMENTO VALIDE La contronominale [(non T) (non I)] (I T) non I (non T) (non I) I T non T V V F F V V V F F V V

FORME DI RAGIONAMENTO VALIDE Il ragionamento per assurdo [(I and not T) P] and [(I and not T) not P] (I T) I T P (I and not T) not P [… and …] I T tutta V V V V V F V V F F F V F V V V F F V V V F F F V V V

SE UN RAGIONAMENTO È VALIDO… (OSSIA SE…) ALLORA IL SIMBOLO “ ” VIENE SOSTITUITO DAL SIMBOLO (IMPLICAZIONE LOGICA)

Un ragionamento che sia “tautologia” è chiaramente valido. Perché?

VALIDITÀ • UN RAGIONAMENTO È VALIDO ANCHE SE NON SO COSA SIGNIFICHINO LE PROPOSIZIONI A, B, C, D … CHE COMPAIONO IN ESSO. • LA VALIDITÀ ATTIENE/AFFERISCE ALLA SINTASSI DI UN’ESPRESSIONE • “SE PELVIO SPANTA TULLI ALLORA TINCA FOLLI. MA POICHÉ NON TINCA FOLLI ALLORA PELVIO NON SPANTA TULLI” è un ragionamento valido (è un modus tollens)

CORRETTEZZA • UN RAGIONAMENTO È CORRETTO SE È VALIDO (sintassi) E POSSO GARANTIRE LA VERITÀ DELLE PREMESSE (semantica) • “SE QUALCUNO QUI PENSA CHE LA SINDACA DELL’URBE OBBEDISCA A UN GRILLO ALLORA QUEL QUALCUNO È UN CITRULLO. MA POICHÉ NESSUNO QUI È CITRULLO ALLORA QUI NESSUNO PENSA CHE LA SINDACA DELL’URBE OBBEDISCA A UN GRILLO ”.

FINE I INCONTRO ARRIVEDERCI AL PROSSIMO INCONTRO

BENVENUTI A TUTTI al secondo incontro

Contenuti del II incontro • • • La logica dei predicati. Predicati aperti e chiusi. Predicati unari e binari. Insieme di verità di un predicato semplice o composto. Connettivi logici e insiemi. Equazioni, disequazioni, sistemi in una e in due variabili come predicati semplici o composti Uso dei quantificatori. Negazioni di frasi con quantificatori. I sillogismi: da Aristotele alla trattazione attuale passando per le regole mnemoniche tardomedievali.

Enunciati aperti o predicati “x è un numero negativo” UN ENUNCIATO APERTO CONTIENE ALMENO UNA VARIABILE IL CUI VALORE DEVE ESSERE SCELTO IN UN INSIEME UNIVERSO U CHE DIAMO PER NOTO

Enunciati aperti o predicati B(y)= “ 6 è un divisore di y” B(y) è un predicato unario, ovvero un enunciato riguardante y, aperto B(6) = “ 6 è un divisore di 6” è un enunciato chiuso (VERO) B(20) = “ 6 è un divisore di 20” è un enunciato chiuso (FALSO)

Predicati binari B(x; y)= “x + y = 7” B(x; y) è un enunciato aperto B(x; 8) è un enunciato aperto B(6; 1) è un enunciato chiuso (VERO) B(5; 5) = è un enunciato chiuso (FALSO)

INSIEMI DI VERITÀ Si chiama INSIEME DI VERITÀ di un enunciato aperto l’insieme di tutti i valori scelti in un universo U che, sostituiti alla variabile, trasformano l’enunciato in una proposizione vera Nell’insieme N consideriamo l’enunciato P(x) = “x è un numero primo” L’insieme di verità di P(x) è P = {2; 3; 5; 7; 11; 13; …}

INSIEMI DI VERITÀ il nome del predicato P e il nome dell’insieme P da esso individuato spesso sono indicati con lo stesso simbolo, ma non bisogna confonderli

CONNETTIVI LOGICI E INSIEMI NEGAZIONE P = { x U tali che non P(x) } U P P

CONNETTIVI LOGICI E INSIEMI UNIONE E DISGIUNZIONE P Q = { x U tali che P(x) Q(x)} U Q P

CONNETTIVI LOGICI E INSIEMI INTERSEZIONE E CONGIUNZIONE P Q = { x U tali che P(x) Q(x)} U Q P

CONNETTIVI LOGICI E INSIEMI complichiamo le cose P (Q R) = = { x U tali che non P(x) (Q(x) R(x)) } U P Q R esempio: gli allievi del Liceo che non hanno letto Proust ma hanno letto Quenau o Rimbaud

CONNETTIVI LOGICI E INSIEMI esiste una corrispondenza precisa tra connettivi logici e connettivi insiemistici il mondo della LOGICA e il mondo degli INSIEMI hanno la stessa struttura. Le proprietà di un ambito sono traducibili in quelle dell’altro

DUE CARTE, UNA SOLA STRUTTURA LOGICA INSIEMISTICA A A = A A F = F A V = V A V = A A A = V A A = A A = A U = U A U = A A A = U NON È LA TABELLA DELL’OCULISTA

LOGICA E INSIEMISTICA sono traslitterabili a patto di saper traslitterare il simbolo “ ” A B A B non A (non A) B V V V F F F V V V

esempio di traslitterazione ((A non A) B) (non B) = = [non ((A non A) B)] (non B) = = (non (V B)) (non B) = (non B)= non B tradotto nel linguaggio insiemistico = ((A A) B) = … = B

CONNETTIVI LOGICI E CONNETTIVI INSIEMISTICI U A B A B = A B COSA SONO QUESTE? U

LOGICA, ALGEBRA E INSIEMI DI SOLUZIONI “ 2 x – 1 > 3 ” dal punto di vista algebrico è una disequazione equivalente alla disequazione “ x > 2 ” Dal punto di vista logico è un enunciato aperto l’insieme di verità, ossia l’insieme delle soluzioni, è S = ] 2 ; + [

LOGICA, ALGEBRA E INSIEMI DI SOLUZIONI NON bisogna confondere il predicato “ x > 2 ” con il suo insieme di verità, ossia l’insieme delle soluzioni S = ] 2 ; + [

LOGICA, ALGEBRA E INSIEMI DI SOLUZIONI (2 x – 1 > 3) (4 x < 16) dal punto di vista algebrico è un sistema di disequazioni dal punto di vista logico è un enunciato aperto composto (una congiunzione logica) l’insieme di verità, ossia l’insieme di soluzioni, è S = S 1 S 2 = ] 2 ; + [ ] – ; 4 [ = ] 2 ; 4 [

INSIEMI DI VERITÀ Nell’insieme Rx. R consideriamo l’enunciato (per la precisione un predicato binario) P(x; y) = “x è il doppio di y” ~ “x = 2 y” L’insieme di verità di P(x; y) contiene le coppie (0; 0) (2; 1) (4; 2)… Essendo le coppie in numero infinito esse non possono essere tabulate ma solo rappresentate

INSIEMI DI VERITÀ Nell’insieme Rx. R (sul piano cartesiano!!) y = x 2 – 2 x è un predicato (binario!!) aperto L’insieme di verità è

INSIEMI DI VERITÀ La CONGIUNZIONE (AND) dei due predicati binari (y = x 2 – 2 x) (y = x) ha come insieme di verità l’INTERSEZIONE tra i due insiemi di verità, S 1 S 2 = S = {(0; 0); (3; 3)}

INSIEMI DI VERITÀ La DISGIUNZIONE (OR) dei due predicati binari (y = x 2 – 2 x) (y = x) ha come insieme di verità l’UNIONE tra i due insiemi di verità, S 1 S 2 = S = {…}

I QUANTIFICATORI P = “è residente in provincia di Padova” P(x) = “x è residente in provincia di Padova” P(x) è un enunciato/predicato aperto… Ma se noi diciamo per ogni x U P(x) oppure esiste almeno un x U (tale che) P(x) allora la proposizione non è più aperta

I QUANTIFICATORI E 1) per ogni x R “x > x – 1” E 2) esiste almeno un x N (tale che) “ 2 x – 1 = 6” non sembrano più enunciati aperti

I QUANTIFICATORI è il quantificatore universale è il quantificatore esistenziale La presenza dei quantificatori davanti alla variabile (a tutte le variabili) rende gli enunciati chiusi

I QUANTIFICATORI P = “è residente in provincia di Padova” P(x) = “x è residente in provincia di Padova” Se noi, intendendo per U il Veneto, diciamo x U P(x) oppure x U P(x) allora la proposizione non è più aperta.

NEGARE UNA PROPOSIZIONE CON QUANTIFICATORI La proposizione “tutte le rose dell’universo sono rosse” x U R(x) ammette come negazione “non è vero che tutte le rose dell’universo sono rosse”, x U R(x) ossia ce n’è almeno una che non è rossa” x U R(x)

NEGARE UNA PROPOSIZIONE CON QUANTIFICATORI La proposizione “esiste una rosa dell’universo color marrone a strisce” x U M(x) ammette come negazione “non esiste una rosa dell’universo color marrone a strisce”, x U M(x) ossia tutte le rose dell’universo non sono marroni a strisce” x U M(x)

NESSUNO Ricordiamo che Nessuno Fa equivale a Non (è vero che) esiste uno che fa ossia Tutti non Fanno x U F(x) x U P(x)

ESEMPIO DI TEST (dato a MEDICINA) Negare che "ogni uomo ha un nemico" equivale a dire che: A) tutti sono nemici di ogni uomo B) esistono uomini senza nemici C) ogni uomo non ha un nemico D) nessun uomo ha un nemico E) tutti gli uomini non hanno nemici Equivale a dire: non è vero che "ogni uomo ha un nemico“, cioè esiste qualche uomo che …

NEGARE UNA PROPOSIZIONE COMPOSTA CON QUANTIFICATORI “Tutti gli allievi del Liceo giocano a Badmington e a Calcio” x L B(x) C(x) ammette come negazione “non è vero che tutti gli allievi del liceo giocano a Badmington e a Calcio” x L B(x) C(x) ossia ce n’è almeno uno per il quale il predicato non è vero: x L B(x) C(x) ossia ce n’è almeno uno o non gioca a Badmington o non gioca a Calcio x L B(x) C(x)

ESEMPI DI TEST (POLITECNICO) L’affermazione: A nessuno studente sono antipatici tutti i professori equivale a dire che A. c’è uno studente a cui tutti i professori sono antipatici B. tutti i professori sono antipatici a tutti gli studenti C. a qualche studente sono simpatici tutti i professori D. ad ogni studente è simpatico almeno un professore E. c’è un professore che è simpatico a tutti gli studenti NON sono antipatici TUTTI i professori = = a tutti gli studenti CE N’È ALMENO UNO che NON gli sta antipatico

ESEMPI DI TEST (POLITECNICO) L’affermazione: Non c’è grattacielo senza ascensore significa A. nessun grattacielo ha due ascensori B. ogni grattacielo ha almeno un ascensore C. ogni grattacielo ha due ascensori D. qualche grattacielo non ha ascensore E. qualche grattacielo ha almeno un ascensore Tutti i grattacieli NON sono senza (NESSUN) ascensore = = tutti i grattacieli hanno ALMENO UN ascensore

ESEMPI DI TEST (POLITECNICO) x S P(x) C(x) Sapendo che l’affermazione Tutti i sabati vado in pizzeria e poi al cinema è falsa, se ne deduce che A. qualche sabato non vado in pizzeria o al cinema B. tutti i sabati non vado in pizzeria o al cinema C. qualche sabato non vado né in pizzeria né al cinema D. tutti i sabati non vado né in pizzeria né al cinema E. tutti i giorni vado in pizzeria e al cinema x S P(x) C(x) x S P(x) C(x)

IL SILLOGISMO Studiato da Aristotele negli Analitici primi, la parola deriva da syllogismós e significa deduzione. Costituisce la parte più importante della logica formale tradizionale. Quando non si specifica ulteriormente ci si riferisce al cosiddetto sillogismo categorico, uno schema di ragionamento formato da due affermazioni, dette PREMESSE, dalle quali si deduce una terza affermazione, detta CONCLUSIONE.

IL SILLOGISMO premessa maggiore premessa minore conclusione gli italiani sono europei i siciliani sono italiani i siciliani sono europei il predicato della conclusione è detto termine maggiore (e la premessa in cui compare è detta maggiore) il soggetto della conclusione è detto termine minore (e la premessa in cui compare è detta maggiore) il termine comune alle due premesse è detto termine medio

IL SILLOGISMO in base alla posizione occupata dal termine medio nelle due premesse i sillogismi si dividono in 4 figure 1 a figura il termine medio è soggetto nella prima e predicato nella seconda 2 a figura il termine medio è predicato in entrambe 4 a figura 3 a figura il termine medio è soggetto in entrambe (non considerata da Aristotele e introdotta in seguito) il termine medio è predicato nella maggiore e soggetto nella minore

IL SILLOGISMO All’interno di ciascuna figura i sillogismi possono essere ripartiti in varie classi, dette modi, a seconda della quantità e delle qualità.

I MODI DEL SILLOGISMO a) UNIVERSALE AFFERMATIVA tutti gli a sono b B e) UNIVERSALE NEGATIVA nessun a è b i) PARTICOLARE AFFERMATIVA qualche a è b / almeno un a è b o) PARTICOLARE NEGATIVA qualche a è non è b almeno un a non è b A A a a B A a B B

IL SILLOGISMO Da un punto di vista astrattamente combinatorio, i modi possibili sono 256, ma solo in 19 casi si ha a che fare con modi (ragionamenti) validi. A questi i LOGICI MEDIEVALI attribuirono un nome: 1 a figura Barbara Celarent Darii 2 a figura Cesare Camestres Festino 3 a figura Darapti Felapton Disamis 4 a figura Baralipton Celantes Dabitis Ferio Baroco Datisi Bocarso Ferison Fapesmo Frisesomorum

IL SILLOGISMO 2 cento rose molto meno belle prima vocale premessa maggiore seconda vocale premessa minore a = universale affermativa e = universale negativa i = particolare affermativa o = particolare negativa Un esempio di Felapton Nessun delfino vive sulla terraferma (e) Tutti i delfini sono mammiferi (a) Dunque, qualche mammifero non vive sulla terra ferma (o)

IL SILLOGISMO Nei modi descritti dalle parole della tabella anche le consonanti hanno un significato: indicano in quale maniera i modi della seconda, terza e quarta figura possono essere ridotti (cioè ricavati) da quelli della prima figura mediante riduzioni e conversioni… … ma non sarà oggetto di analisi in questa sede

IL SILLOGISMO Come si verifica la validità di un sillogismo? Se dalla verità delle due premesse si deriva la verità della conclusione il sillogismo è valido. Gli antichi e i medievali (si dice) avevano grandi capacità mnemoniche… Noi ci aiutiamo con la teoria degli insiemi

IL SILLOGISMO E gli italiani sono europei i siciliani sono italiani I S i siciliani sono europei TRADUZIONE IN LINGUAGGIO LOGICO x U I(x) E(x) x U S(x) I(x) x U S(x) E(x)

IL SILLOGISMO ALTRO ESEMPIO qualche italiano è razzista tutti i razzisti son cretini C R I qualche italiano è cretino TRADUZIONE IN LINGUAGGIO LOGICO x U I(x) R(x) x U R(x) C(x) x U I(x) C(x)

IL SILLOGISMO (test dati a medicina) – Nessun minerale è animato – qualche esistente è animato – dunque. . . . non è minerale. S’individui il CORRETTO COMPLETAMENTO del sillogismo: A) ogni animato B) qualche esistente C) qualche minerale D) ogni esistente E) ogni minerale Animato Esistente Minerale

IL SILLOGISMO (test dati a medicina) – Tutti i piccioni mangiano le fave – alcuni uccelli non mangiano le fave – dunque. . . . non sono piccioni. S’individui il CORRETTO COMPLETAMENTO del sillogismo: A) alcuni piccioni B) le fave C) tutti gli uccelli D) alcune fave E) alcuni uccelli mangiano fave piccioni

IL SILLOGISMO è costruzione SINTATTICA LA VALIDITÀ PRESCINDE DALLA SEMANTICA Tutti i CIK sono FAN Qualche FAN è DIAV Qualche DIAV è CIK Diav Fan Cik

IL SILLOGISMO

FINE SECONDO INCONTRO ARRIVEDERCI AL PROSSIMO INCONTRO

BENTORNATI A TUTTI

TERZO INCONTRO La relazioni l’equivalenza. Come comunicare il concetto di “BLU” a chi non parla la nostra lingua. I concetti astratti in matematica. • Alcuni esercizi di logica dati alle olimpiadi della matematica. Esempi di alfa-test dati nelle prove di accesso all’università.

PRODOTTO CARTESIANO Il prodotto cartesiano Ax. B è l’insieme delle coppie (a; b) per le quali a A b B Ax. B = { (2; R); (3; R); (4; R); (5; R); (2; V); (3; V); (4; V); (5; V); (2; G); (3; G); (4; G); (5; G) } B={R; V; G} G V R 2 3 4 5 A={2; 3; 4; 5}

RELAZIONE BINARIA si dice relazione binaria fra gli insiemi A e B un qualunque sottoinsieme di Ax. B = {(2; R); (5; R); (2; G); (4; G)} B={R; V; G} G V R 2 3 4 5 A={2; 3; 4; 5}

RELAZIONE BINARIA rappresentazione sagittale = {(2; R); (5; R); (2; G); (4; G)} A B 2 R 3 G 4 5 Dominio di V Codominio di

RELAZIONE BINARIA Se A e B coincidono si parla di Relazione di A in A, o semplicemente di Relazione in A = {(2; 3); (3; 4); (5; 4)} A A 2 5 3 4 4 5 3 2 2 3 4 5 Dominio di = {2; 3; 5} Codominio di = {3; 4} A

RELAZIONE in A x y = “x versa da bere a y” x y si può scrivere anche come (x; y) Con linguaggio delle logica degli enunciati aperti possiamo dire che la relazione è un predicato binario A Aldo Dino Franco Carla Bruna GRAFO DELLA RELAZIONE

Proprietà di una relazione R) riflessiva a A a a AR) antiriflessiva a A a a S) simmetrica a A b A a b b a AS) antisimmetrica a A b A (a b a b) b a T) transitiva a b b c a c

Relazione di equivalenza Se valgono R) S) T) la relazione si dice di equivalenza A A D F B E C Una relazione di equivalenza genera naturalmente una partizione

Relazione di equivalenza Ogni classe di equivalenza è individuata da uno qualsiasi dei suoi elementi A A D F B E C

Alcune relazioni di equivalenza a) Nell’insieme delle rette di un piano “essere parallelo a” b) Nell’insieme dei piani dello spazio “essere parallelo a” c) Nell’insieme dei tifosi italiani “tifare la stessa squadra di” d) Nell’insieme delle figure piane “avere la stessa area di” Che nome si può dare a ciascuna classe di equivalenza nei casi a) b) c) d)…

Altre relazioni di equivalenza a) “essere equipollente a” (nell’insieme dei segmenti orientati) b) “(a; b) (c; d)” se e solo se a*d=c*d (nell’insieme Zx(Z-{0}) A A D F B E C Che nome si può dare a ciascuna classe di equivalenza nei casi a) e b) ?

Come comunicare… … a un extraterrestre il concetto di blu? A … sperando che il suo apparato visivo funzioni come il nostro

Indicate con p e q due generiche condizioni, quattro delle seguenti affermazioni sono fra loro logicamente equivalenti, mentre una non lo è con le altre. Quale? A. può verificarsi p solo se q è verificata B. è sufficiente che si verifichi p perché ne segua q C. è necessario che si verifichi q perché si possa verificare p D. p implica q E. p segue dal verificarsi di q

Quale delle seguenti affermazioni è falsa? Affinché due frazioni siano uguali A. è sufficiente che abbiano lo stesso numeratore e lo stesso denominatore B. è necessario che abbiano numeratori e denominatori proporzionali C. è necessario che abbiano uguale numeratore e uguale denominatore D. non è necessario che abbiano uguale numeratore e uguale denominatore E. è necessario e sufficiente che abbiano numeratori e denominatori proporzionali

Un macchinario produce bulloni. Un bullone è ritenuto difettoso quando ha peso oppure dimensioni sbagliate. Il controllo di qualità mette in evidenza che il 5% dei bulloni prodotti ha almeno il peso sbagliato e che il 3% ha almeno le dimensioni sbagliate. Nell’ipotesi che il 2% dei bulloni prodotti abbia sia peso che dimensioni sbagliate, qual è in totale la percentuale di bulloni difettosi che produce quel macchinario? A. 8% B. 10% C. 6% D. 4% E. Non è possibile rispondere con i dati assegnati

Su un tavolo sono sparsi alcuni gettoni. Si sa che metà di essi sono quadrati e metà rotondi; metà sono rossi e metà blu. Allora si può dedurre che A. il numero di gettoni quadrati blu è uguale al numero di gettoni rotondi rossi B. i quattro tipi di gettoni sono in numero uguale C. il numero di gettoni è divisibile per quattro D. il numero di gettoni quadrati blu è uguale al numero di gettoni quadrati rossi E. il numero di gettoni rotondi rossi è uguale al numero di gettoni quadrati rossi

Una scatola contiene 10 cubi. Ogni faccia di ciascun cubo è colorata di verde oppure di bianco oppure di rosso. In totale, 6 cubi hanno almeno una faccia verde, 7 hanno almeno una faccia bianca e 9 hanno almeno una faccia rossa; inoltre, nessuno dei 10 cubi ha tutte le facce dello stesso colore. Quanti cubi nella scatola hanno facce di tutti e tre i colori? A. Nove B. Due C. Nessuno D. Otto E. Uno

CIÒ CHE I TESTI NON DICONO “Non v’è quasi altra differenza tra un medico buono ed uno cattivo che questa: il primo è innamorato della guarigione, il secondo della malattia. Il cattivo medico non desidera guarire radicalmente l’ammalato; ma solo calmare i sintomi che lo fanno soffrire. Così il cliente, grato del sollievo, ritorna. ” (Il ragionamento è - si capisce - inconscio. O almeno. . . ). Umberto Saba, Scorciatoie e raccontini, 44, Mondadori, Milano, 1964 Una sola, tra le seguenti affermazioni, è rigorosamente dedotta dal testo di Saba: A) Il cliente sa raramente riconoscere il medico capace di guarirlo B) il disinteresse è essenziale al comportamento di un buon medico C) il medico buono non si preoccupa della sofferenza ma solo della guarigione del cliente D) il medico buono si preoccupa soprattutto della guarigione del cliente E) il medico cattivo agisce esclusivamente per interesse

Una recente stima compiuta negli U. S. A. ha valutato che il 10% della popolazione è destinata a soffrire di depressione con sintomatologia clinica nel corso della propria vita. Questa stima, che pure molti esperti considerano prudente, è più alta di quella che potrebbe essere fatta per altri paesi occidentali e per il Giappone - che pure hanno uno stile di vita analogo a quello degli U. S. A - semplicemente perché i medici di questi paesi tendono a formulare meno facilmente la diagnosi di depressione, preferendo dire al paziente che è affetto da gastrite, insonnia, stanchezza psicofisica e così via, in realtà tutti sintomi che discendono dalla malattia psichiatrica principale. La percentuale di individui destinati a soffrire di depressione viene valutata maggiore negli U. S. A. che in altri paesi occidentali ed in Giappone perché: A) lo stile di vita degli U. S. A. è analogo a quello degli altri paesi occidentali e del Giappone B) la depressione è in realtà una conseguenza di altre affezioni, quali insonnia, stanchezza psicofisica, gastrite, etc. C) negli U. S. A. è maggiore il numero dei pazienti affetti da gastrite, insonnia o stanchezza psicofisica D) gastrite, insonnia o stanchezza psicofisica sono, in realtà, tutti sintomi della depressione E) i medici degli U. S. A. tendono a formulare più facilmente la diagnosi di depressione

Se mia nonna avesse le ruote sarebbe una carriola. Mia nonna aveva due rotule. Mia nonna….

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