Le frazioni algebriche Definizione e caratteristiche Frazione algebrica

Le frazioni algebriche Definizione e caratteristiche • Frazione algebrica: espressione letterale del tipo A B , con A e B monomi o polinomi e B ≠ 0 ESEMPIO x 2 – 4 x + 1 x– 3 ; 6 x 5 y 2 • Insieme di definizione o dominio della frazione: insieme dei valori che è possibile attribuire alle lettere. • condizione di esistenza: condizioni che indicano quali valori delle lettere devono essere esclusi. ESEMPIO x 2 – 4 x + 1 x– 3 C. E. x– 3≠ 0 x≠ 3 1

Le frazioni algebriche Frazioni equivalenti Due frazioni algebriche, funzioni delle stesse variabili, sono equivalenti se diventano numeri uguali in corrispondenza di ogni valore che è possibile attribuire alle variabili. Regola per individuare l’equivalenza: A B ESEMPIO 2 a a 2 – a Infatti: e C sono equivalenti se A D = B C. D è equivalente a 2 a + 2 a 2 – 1 2 a (a 2 – 1) = (2 a + 2) (a 2 – a) [2 a (a – 1) (a + 1) = 2(a + 1) a (a – 1)] Per ottenere frazioni algebriche equivalenti basta applicare la proprietà invariantiva della divisione, cioè possiamo: • dividere numeratore e denominatore per uno stesso monomio o polinomio (non nullo) e questo permette di semplificare una frazione • moltiplicare numeratore e denominatore per uno stesso monomio o polinomio (non nullo) e questo serve per ridurre due o più frazioni allo stesso denominatore in modo da poterle sommare o sottrarre. 2

Le frazioni algebriche Semplificazione L’algoritmo per semplificare una frazione è il seguente: • si scompongono numeratore e denominatore • si individuano i divisori comuni, cioè il M. C. D. • si dividono il numeratore e il denominatore per il loro M. C. D. Se il numeratore e il denominatore non hanno divisori comuni si dice che la frazione è irriducibile. ESEMPI 1. 3 a 2 x 2 – 9 a 3 x ax 3 – 3 a 2 x 2 2. a + 2 b a 2 – b 2 = = 3 a 2 x (x – 3 a) ax 2 (x – 3 a) = 3 a x a + 2 b (a – b) (a + b) Il numeratore e il denominatore non hanno divisori comuni al di fuori dell’unità e quindi la frazione è irriducibile. 3

Le frazioni algebriche Operazioni Addizione e sottrazione Per sommare o sottrarre due o più frazioni algebriche, si deve seguire questa procedura: • scomporre i denominatori delle frazioni e porre le condizioni di esistenza • semplificare le frazioni che non sono irriducibili • trovare il m. c. m. fra i denominatori • ridurre tutte le frazioni allo stesso denominatore • eseguire le addizioni e le sottrazioni e semplificare la frazione ottenuta se necessario ESEMPIO 3 b 2 x + y + b 2 x − y = c. d. e. 2 x + y ≠ 0 2 x – y ≠ 0 m. c. m = (2 x + y) (2 x − y) 3 b (2 x – y) + b (2 x + y) (2 x – y) = 6 bx – 3 by + 2 bx + by (2 x + y) (2 x – y) = 8 bx – 2 by (2 x + y) (2 x – y) 4

Le frazioni algebriche Operazioni Moltiplicazione La moltiplicazione di due frazioni algebriche si esegue moltiplicando tra loro i numeratori e i denominatori e semplificando poi la frazione ottenuta. In pratica, come nel caso di frazioni numeriche, prima si scompone, si semplifica se possibile e poi si moltiplica. ESEMPIO 3 § con le frazioni numeriche 1 41 8 2 93 = 2 3 § con le frazioni algebriche 4 x 2 – y 2 x 2 + 2 xy + y 2 3 x + 3 y 2 x − y = (2 x – y) (2 x + y) (x + y)2 3 (x + y) 2 x − y = 3 (2 x + y) x+y 5

Le frazioni algebriche Operazioni Divisione La divisione di due frazioni algebriche si esegue moltiplicando la prima frazione per il reciproco della seconda. ESEMPIO x–y x : 2 = x + 3 y x–y x x + 3 y 2 = (x – y) (x + 3 y) 2 x Elevamento a potenza L’elevamento a potenza di una frazione algebrica si ottiene elevando a quella potenza il numeratore e il denominatore. ESEMPIO 2 a a – 3 b 2 = (2 a)2 (a – 3 b)2 = 4 a 2 (a – 3 b)2 6