Tema 1 Lmites y continuidad Introduccin al Clculo

Tema 1: Límites y continuidad Introducción al Cálculo Infinitesimal f : D Í X Y x f ( x) Tema 1: 1 Dominio Recorrido o Imagen

Tema 1: Límites y continuidad Introducción al Cálculo Infinitesimal f : D Í X Y x f ( x) Tema 1: 2 Dominio Recorrido o Imagen

Tema 1: Límites y continuidad Introducción al Cálculo Infinitesimal f : D Í X Y x f ( x) Tema 1: 3 Dominio Recorrido o Imagen

Tema 1: Límites y continuidad Introducción al Cálculo Infinitesimal Ejemplo 1 Tema 1: 4 La función f(x) no es la misma que la función g(x) = x+1

Tema 1: Límites y continuidad Introducción al Cálculo Infinitesimal Ejemplo 2 Tema 1: 5

Tema 1: Límites y continuidad Introducción al Cálculo Infinitesimal Ejemplo 3 Tema 1: 6

Tema 1: Límites y continuidad Introducción al Cálculo Infinitesimal Ejemplo 4 D=(- , -2) (-1, 1) (-2, 0) (- , -1) (-2, 0) (1, ) Tema 1: 7 (0, 1) (- , -1) (0, 1) (1, ) (-1, 1)

Tema 1: Límites y continuidad Introducción al Cálculo Infinitesimal Ejemplo 4 Tema 1: 8

Tema 1: Límites y continuidad Introducción al Cálculo Infinitesimal Visualización de f(x, y) Tema 1: 9 Curvas de nivel:

Tema 1: Límites y continuidad Introducción al Cálculo Infinitesimal Ejemplo 1 Mapa de contorno Tema 1: 10 Mapa de densidad

Tema 1: Límites y continuidad Introducción al Cálculo Infinitesimal Ejemplo 2 Tema 1: 11 Mapa de contorno Mapa de densidad

Tema 1: Límites y continuidad Introducción al Cálculo Infinitesimal Ejemplo 3 Mapa de contorno Tema 1: 12 Mapa de densidad

Tema 1: Límites y continuidad Introducción al Cálculo Infinitesimal Noción de límite Tema 1: 13 $ lim f ( x ) = l Û f ( x ) se aproxima a l x a cuando x se aproxima a a Distancia

Tema 1: Límites y continuidad Introducción al Cálculo Infinitesimal Noción de límite Tema 1: 14 $ lim f ( x ) = l Û f ( x ) se aproxima a l x a cuando x se aproxima a a Distancia

Tema 1: Límites y continuidad Introducción al Cálculo Infinitesimal Noción de límite Tema 1: 15 $ lim f ( x ) = l Û f ( x ) se aproxima a l x a cuando x se aproxima a a Distancia r d 1 a d r-entorno de a

Tema 1: Límites y continuidad Introducción al Cálculo Infinitesimal Definición de límite Tema 1: 16 $ lim f ( x ) = l Û para todo e positivo existe un d - entorno x a de a cuya imagen por f ( x ) se queda dentro del e - entorno de l Interpretación gráfica

Tema 1: Límites y continuidad Introducción al Cálculo Infinitesimal Definición de límite Tema 1: 17 $ lim f ( x ) = l Û para todo e positivo existe un d - entorno x a de a cuya imagen por f ( x ) se queda dentro del e - entorno de l Interpretación gráfica

Tema 1: Límites y continuidad Introducción al Cálculo Infinitesimal Definición de límite Tema 1: 18 $ lim f ( x ) = l Û para todo e positivo existe un d - entorno x a de a cuya imagen por f ( x ) se queda dentro del e - entorno de l Caracterización por trayectorias $ lim f ( x ) = l Û $ lim- f ( x ) = l y $ lim+ f ( x ) = l x a x a Límites laterales por la derecha e izquierda de a

Tema 1: Límites y continuidad Introducción al Cálculo Infinitesimal Definición de límite Tema 1: 19 $ lim f ( x ) = l Û para todo e positivo existe un d - entorno x a de a cuya imagen por f ( x ) se queda dentro del e - entorno de l Caracterización por trayectorias Existe el límite, aunque la función no está definida en el punto

Tema 1: Límites y continuidad Introducción al Cálculo Infinitesimal Definición de límite Tema 1: 20 $ lim f ( x ) = l Û para todo e positivo existe un d - entorno x a de a cuya imagen por f ( x ) se queda dentro del e - entorno de l Caracterización por trayectorias Existen los límites laterales, pero difieren, por lo que no existe el límite de la función en el punto

Tema 1: Límites y continuidad Introducción al Cálculo Infinitesimal Definición de límite Tema 1: 21 $ lim f ( x ) = l Û para todo e positivo existe un d - entorno x a de a cuya imagen por f ( x ) se queda dentro del e - entorno de l Caracterización por trayectorias Existe un límite lateral, no así el otro, de manera que no existe el límite de la función en el punto

Tema 1: Límites y continuidad Introducción al Cálculo Infinitesimal Definición de límite $ lim f ( x ) = l Û para todo e positivo existe un d - entorno x a de a cuya imagen por f ( x ) se queda dentro del e - entorno de l Caracterización por trayectorias Límites por cualquier trayectoria pasando por (a, b) Tema 1: 22

Tema 1: Límites y continuidad Introducción al Cálculo Infinitesimal Definición de límite $ lim f ( x ) = l Û para todo e positivo existe un d - entorno x a de a cuya imagen por f ( x ) se queda dentro del e - entorno de l Caracterización por trayectorias No existe límite sobre la recta x=0, a excepción del punto (0, 1) Tema 1: 23

Tema 1: Límites y continuidad Introducción al Cálculo Infinitesimal Definición de límite Tema 1: 24 $ lim f ( x ) = l Û para todo e positivo existe un d - entorno x a de a cuya imagen por f ( x ) se queda dentro del e - entorno de l Para demostrar que existe

Tema 1: Límites y continuidad Introducción al Cálculo Infinitesimal Definición de límite Tema 1: 25 $ lim f ( x ) = l Û para todo e positivo existe un d - entorno x a de a cuya imagen por f ( x ) se queda dentro del e - entorno de l Para demostrar que existe

Tema 1: Límites y continuidad Introducción al Cálculo Infinitesimal Definición de límite Tema 1: 26 $ lim f ( x ) = l Û para todo e positivo existe un d - entorno x a de a cuya imagen por f ( x ) se queda dentro del e - entorno de l Para demostrar que existe

Tema 1: Límites y continuidad Introducción al Cálculo Infinitesimal Definición de límite Tema 1: 27 $ lim f ( x ) = l Û para todo e positivo existe un d - entorno x a de a cuya imagen por f ( x ) se queda dentro del e - entorno de l Para demostrar que existe

Tema 1: Límites y continuidad Introducción al Cálculo Infinitesimal Definición de límite Tema 1: 28 $ lim f ( x ) = l Û para todo e positivo existe un d - entorno x a de a cuya imagen por f ( x ) se queda dentro del e - entorno de l Para demostrar que existe Cambios de variables

Tema 1: Límites y continuidad Introducción al Cálculo Infinitesimal Definición de límite Tema 1: 29 $ lim f ( x ) = l Û para todo e positivo existe un d - entorno x a de a cuya imagen por f ( x ) se queda dentro del e - entorno de l Para demostrar que existe Cambios de variables

Tema 1: Límites y continuidad Introducción al Cálculo Infinitesimal Definición de límite Tema 1: 30 $ lim f ( x ) = l Û para todo e positivo existe un d - entorno x a de a cuya imagen por f ( x ) se queda dentro del e - entorno de l Cambios de variables

Tema 1: Límites y continuidad Introducción al Cálculo Infinitesimal Definición de límite Tema 1: 31 $ lim f ( x ) = l Û para todo e positivo existe un d - entorno x a de a cuya imagen por f ( x ) se queda dentro del e - entorno de l Para demostrar que existe Cambios de variables Existe por cualquier trayectoria

Tema 1: Límites y continuidad Introducción al Cálculo Infinitesimal Definición de límite Tema 1: 32 $ lim f ( x ) = l Û para todo e positivo existe un d - entorno x a de a cuya imagen por f ( x ) se queda dentro del e - entorno de l Para demostrar que existe Cambios de variables Sea F(x, y)=0 unacualquier curva pasando por (a, -a) Existe por trayectoria

Tema 1: Límites y continuidad Introducción al Cálculo Infinitesimal Definición de límite $ lim f ( x ) = l Û para todo e positivo existe un d - entorno x a de a cuya imagen por f ( x ) se queda dentro del e - entorno de l Para demostrar que existe Cambios de variables Existe por cualquier trayectoria Infinitésimos equivalentes Tema 1: 33

Tema 1: Límites y continuidad Introducción al Cálculo Infinitesimal Definición de límite $ lim f ( x ) = l Û para todo e positivo existe un d - entorno x a de a cuya imagen por f ( x ) se queda dentro del e - entorno de l Para demostrar que existe Cambios de variables Existe por cualquier trayectoria Infinitésimos equivalentes Tema 1: 34

Tema 1: Límites y continuidad Introducción al Cálculo Infinitesimal Definición de límite $ lim f ( x ) = l Û para todo e positivo existe un d - entorno x a de a cuya imagen por f ( x ) se queda dentro del e - entorno de l Para demostrar que existe Cambios de variables Existe por cualquier trayectoria Infinitésimos equivalentes Regla de L’Hopital Tema 1: 35

Tema 1: Límites y continuidad Introducción al Cálculo Infinitesimal Definición de límite $ lim f ( x ) = l Û para todo e positivo existe un d - entorno x a de a cuya imagen por f ( x ) se queda dentro del e - entorno de l Para demostrar que existe Cambios de variables Existe por cualquier trayectoria Infinitésimos equivalentes Regla de L’Hopital Tema 1: 36

Tema 1: Límites y continuidad Introducción al Cálculo Infinitesimal Definición de límite $ lim f ( x ) = l Û para todo e positivo existe un d - entorno x a de a cuya imagen por f ( x ) se queda dentro del e - entorno de l Para demostrar que existe Regla de L’Hopital Tema 1: 37

Tema 1: Límites y continuidad Introducción al Cálculo Infinitesimal Definición de límite $ lim f ( x ) = l Û para todo e positivo existe un d - entorno x a de a cuya imagen por f ( x ) se queda dentro del e - entorno de l Para demostrar que existe Cambios de variables Existe por cualquier trayectoria Infinitésimos equivalentes Regla de L’Hopital Tema 1: 38