ZADACI OTVORENOG TIPA nova kultura zadataka u nastavi

ZADACI OTVORENOG TIPA nova kultura zadataka u nastavi matematike doc. dr. sc. Aleksandra Čižmešija PMF – Matematički odjel, Sveučilište u Zagrebu Osijek, 16. ožujka 2006.

MODERNA NASTAVA MATEMATIKE • • • Moderna nastava matematike danas se određuje kroz pojmove: nastavni oblici u kojima nastavnik više ne igra dominantnu ulogu i gdje se sposobnosti učenika mogu bolje razvijati orijentiranost učenicima samostalnost učenika eksperimentalni i istraživački rad učenika primjena novih medija nova kultura zadataka itd. 2

BITNI ELEMENTI ZA NOVU KULTURU NASTAVE 3

IZ TOGA PROIZLAZI NOVA I JAKO IZMIJENJENA ULOGA NASTAVNIKA: NASTAVNIK KAO “NASTAVNI MENADŽER” 4

NASTAVNIK - MENADŽER • organizator odvijanja nastave • ima pregled nad matematičkom situacijom i dobro ju poznaje • potiče dokumentiranje rada na nastavi • potiče analizu i sintezu postavljenih problema • usustavljuje i sređuje ideje učenika • vrednuje ideje i postignuća učenika 5

NASTAVNIK – MENADŽER (2) Uloga nastavnika je poticati učenike na učenje matematike i podržavati njihov (matematički) razvoj. 6

UNAPREĐENJE NASTAVE Bitan element unapređenja nastave je nova kultura matematičkih zadataka. 7

TRADICIONALNA NASTAVA Rješavanje zadataka: • postavljanje velikog broja “dobro postavljenih” zadataka • naglasak se stavlja na rutinske tehnike i osnovne algoritamske vještine • rijetko se prakticira interpretacija rješenja 8

MODERNA NASTAVA Nova kultura matematičkih zadataka: • prakticira modeliranje realnih problema • traži različite načine rješavanja zadataka • svrhovito koristi računala za računanje, predočavanje, kontrolu, eksperimentiranje, istraživanje, otkrivanje, stvaranje pretpostavki • prakticira predstavljanje načina rada i komuniciranje • prakticira interpretiranje • poziva na širenje jednostranog pogleda na postavljeni problem 9

ZADACI OTVORENOG TIPA Jedan od načina unapređivanja kulture matematičkih zadataka su i tzv. ZADACI OTVORENOG TIPA. PROBLEM (ZADATAK) OTVORENOG TIPA je zadatak koji ima nekoliko ili mnogo rješenja i/ili više načina rješavanja. 10

ZADACI OTVORENOG TIPA (2) Rješavanje problema otvorenog tipa je nastavna strategija koja stvara interes učenika u razredu i stimulira kreativne matematičke aktivnosti putem individualnog ili suradničkog rada. Naglasak je na procesu rješavanja problema, a ne na rezultatu. Kako? Kada? Zašto? 11

DVIJE VRSTE ZADATAKA OTVORENOG TIPA Problemi (zadaci) koji imaju jedno rješenje ali više mogućih pristupa rješavanju. 12

DVIJE VRSTE ZADATAKA OTVORENOG TIPA (2) Problemi (zadaci) koji imaju više različitih (korektnih) rješenja. 13

TIPIČNI SAT RJEŠAVANJA PROBLEMA OTVORENOG TIPA 14

TIPIČNI SAT RJEŠAVANJA PROBLEMA OTVORENOG TIPA (2) 15

NEKOLIKO PREDNOSTI OVAKVOG PRISTUPA • Potiču se različiti oblici učeničkog mišljenja. • Učenici aktivnije sudjeluju u nastavi i češće izražavaju svoje ideje. • Učenici imaju više prilika za široku upotrebu svog matematičkog znanja, vještina i sposobnosti. • Svaki učenik na problem može odgovoriti na neki vlastiti način, samostalnim izborom metode. • Takva nastava učenicima može osigurati iskustvo samostalnog zaključivanja. • Učenici stječu bogato iskustvo u imanju osjećaja zadovoljstva (matematičkog) otkrivanja i u dobivanju potvrde rezultata od svojih kolega. 16

NEKOLIKO JEDNOSTAVNIH PRIMJERA Primjer 1. (zadatak zatvorenog tipa) Izračunajte umnožak 0. 41. 0. 2. Primjer 2. (zadatak otvorenog tipa) Pronađite bar tri točna računa i ispišite ih. 17

NEKOLIKO JEDNOSTAVNIH PRIMJERA (2) Primjer 3. (zadatak otvorenog tipa) Sastavite tekstualni zadatak koji odgovara sljedećem izrazu: 30 € - (3*1. 50 € + 12 €) Primjer 4. (zadatak zatvorenog tipa) Koliki postotak nazočnih je stigao autom? Primjer 5. (zadatak otvorenog tipa) Nađite primjere objekata iz svog okruženja koji čine 20% cjeline. 18

NEKOLIKO JEDNOSTAVNIH PRIMJERA (3) Primjer 6. (zadatak zatvorenog tipa) Koji od sljedećih prirodnih brojeva su prosti? 7, 57, 67, 117 Primjer 7. (zadatak otvorenog tipa) Ana misli da su brojevi 57 i 67 prosti zato što oba završavaju znamenkom 7, što je prost broj. Iva misli da Ana nije u pravu. Tko je u pravu i zašto? 19

NEKOLIKO JEDNOSTAVNIH PRIMJERA (4) Primjer 8. (zadatak zatvorenog tipa) Odredi sljedeća tri člana niza: 1, 4, 7, 10, 13, __, __ Primjer 9. (zadatak otvorenog tipa) Pogledaj sljedeći niz: 1, 4, 7, 10, 13, . . . Je li broj 100 član tog niza? Obrazloži! 20

NEKOLIKO JEDNOSTAVNIH PRIMJERA (5) Primjer 10. (zadatak zatvorenog tipa) Izračunaj opseg šesterokuta na slici. 3 3 3 Primjer 11. (zadatak otvorenog tipa) Nacrtaj šesterokut kojem je opseg 18 cm. 3 21

22 NEKOLIKO JEDNOSTAVNIH PRIMJERA (6) 3 4 Primjer 12. (zadatak otvorenog tipa) Možeš li upotrijebiti Pitagorin poučak za izračunavanje duljine treće stranice trokuta na slici? Zašto da ili zašto ne?

NEKOLIKO JEDNOSTAVNIH PRIMJERA (7) Primjer 13. (zadatak otvorenog tipa) Podijelite vrt pravokutnog oblika tako da na njegovih 50% možemo uzgajati rajčicu, na 25% grah, na 15% ciklu, a na 10% zelenu salatu. Označite odgovarajuće dijelove vrta. 23

NEKOLIKO JEDNOSTAVNIH PRIMJERA (8) Nekoliko mogućih rješenja. 24

NEKOLIKO JEDNOSTAVNIH PRIMJERA (9) Primjer 14. (zadatak otvorenog tipa) Sastavite matematički zadatak kojem odgovara ova slika. 25

VAŽNO! Učenička rješenja i odgovori na zadatke otvorenog tipa daju nam uvid o tome što učenici misle i znaju o matematici: – uvid u stil učenja – uvid u “rupe” u razumijevanju matematičkih koncepata – uvid u jezik kojim se služe u obrazlaganju svojih matematičkih ideja – uvid u način interpretacije matematičkih situacija. 26

KAKO KREIRATI ZADATKE OTVORENOG TIPA? ! Nekoliko heuristika: 1. Učenicima zadati zadatak da kreiraju situacije ili primjere koji zadovoljava dane uvjete. Ovakva pitanja zahtijevaju poznavanje i artikuliranje karakteristika koncepata koji stoje u pozadini zadanog problema. Učenici moraju upotrijebiti svoje postojeće znanje o konceptu i primijeniti ga pri kreiranju primjera. 27

KAKO KREIRATI ZADATKE OTVORENOG TIPA? ! (2) Primjer 1. Navedi primjer događaja vjerojatnosti 0. Objasni kako znaš da je vjerojatnost tog događaja jednaka 0. Primjer 2. Nacrtaj pravokutnik kojem je opseg veći od 19 cm a manji od 20 cm. Objasni kako znaš da je opseg između 19 i 20 cm. Primjer 3. Nacrtaj trokut kojem je dani pravac os simetrije. 28

KAKO KREIRATI ZADATKE OTVORENOG TIPA? ! (3) Primjer 4. Kreiraj skup podataka sa sljedećim svojstvima: skup sadrži 7 podataka; raspon podataka je 10 jedinica; aritmetička sredina je veća od medijana. Pokaži da kreirani skup podataka ima tražena svojstva. Primjer 5. Napiši jednadžbu kružnice koja sadrži točke (-4, -3) i (6, 1). Nacrtaj tu kružnicu i objasni zašto njena jednadžba zadovoljava traženi uvjet. Primjer 6. Napiši skup od 10 podataka tako da je njihov raspon dvostruko veći od medijana. Pokaži da tvoji podaci zadovoljavaju postavljeni uvjet. 29

KAKO KREIRATI ZADATKE OTVORENOG TIPA? ! (4) 2. Učenike pitati da objasne tko je u pravu i zašto. Primjer 1. Ana tvrdi da 3 nije nultočka polinoma p(x) = 2 x 4+ax 3+3 x 2 -5 x+10 Iva tvrdi da 3 može biti nultočka polinoma p , ovisno o vrijednosti a. Tko je u pravu i zašto? Primjer 2. Ana je izračunala tg(x) i sin(x) za određeni kut x i tvrdi da je tg(x) < sin(x). Iva tvrdi da je to nemoguće. Tko je u pravu i zašto? 30

KAKO KREIRATI ZADATKE OTVORENOG TIPA? ! (5) 3. Učenike tražiti da zadatak (problem) riješe ili objasne na više različitih načina. Primjer 1. Odredi dva prirodna broja x takva da je moguće konstruirati trokut sa stranicama duljina 2, i x. Objasni zašto tvoje vrijednosti x omogućavaju konstrukciju trokuta. Primjer 2. Navedi dvije transformacije ravnine koje će kvadrat ABCD preslikati u samog sebe. 31

KAKO KREIRATI ZADATKE OTVORENOG TIPA? ! (6) Primjer 3. Dani su pravci a 1. . . x+1=0 i a 2. . . y=0. 5 x+2. U sliku ucrtajte grafove funkcija kojima su ovi pravci asimptote. 32

KAKO KREIRATI ZADATKE OTVORENOG TIPA? ! (7) Jedan način: eksperimentiranje grafičkim kalkulatorom 33 Probamo s f(x) = 1/x.

KAKO KREIRATI ZADATKE OTVORENOG TIPA? ! (8) Sada s f(x) = 1/x +1. 34

KAKO KREIRATI ZADATKE OTVORENOG TIPA? ! (9) Dalje probamo s f(x) = 1/(x +1). 35

KAKO KREIRATI ZADATKE OTVORENOG TIPA? ! (10) Evo ga: f(x) = 1/(x +1) + (0. 5 x+2). 36

KAKO KREIRATI ZADATKE OTVORENOG TIPA? ! (11) Ali to nije sve: g(x) = 2/(x +1) + (0. 5 x+2). 37

KAKO KREIRATI ZADATKE OTVORENOG TIPA? ! (12) Evo ih još, cijela familija: f(x) = a/(x +1) + (0. 5 x+2). 38

JOŠ NEKOLIKO PRIMJERA I METODIČKIH NAPOMENA 39

PROBLEM POSUDE S VODOM Staklena posuda oblika kvadra dijelom je napunjena vodom. Stavi li se na stol i nagne, ali tako da jedan brid osnovke ostane nepomičan, površina vode sa stranama kvadra zatvara različita geometrijska tijela, čiji se oblik i veličina mijenjaju ovisno o nagibu posude. Pokušajte otkriti što više invarijanti tih geometrijskih tijela (tj. relacija koje se promjenom nagiba posude naće promijeniti). 40

PROBLEM POSUDE S VODOM (2) 41

PROBLEM POSUDE S VODOM (3) • Za ovaj bi zadatak otvorenog tipa učenicima trebalo pripremiti materijale za eksperimentiranje (odgovarajuće posude s vodom za svaku grupu). • Provedba ovakvih zadataka ponekad je skupa i dugotrajna 42

PROBLEM POSUDE S VODOM (4) Moguća zapažanja: • Nastalo tijelo uvijek je prizma (trostrana ili četverostrana). • Njegov najdulji brid iznosit će najviše 15 cm. • Zbroj duljina bridova nastale prizme je konstantan. • a + b je konstantno. 43

PROBLEM POSUDE S VODOM (5) Moguća zapažanja: • Oblik baza nastale prizme mijenja se od pravokutnika, preko općeg trapeza do trokuta. • Oblik površine vode se ne mijenja (pravokutnik). • Površina površine vode (pravokutnika) se mijenja. 44

PROBLEM POSUDE S VODOM (6) Moguća zapažanja: • Površina površine vode naginjanjem se povećava. • Ukupna površina bočnih strana nastalog poliedra se ne mijenja. • Volumen vode se ne mijenja. 45

PUZZLE S UZORCIMA Jednakostranični trokut prekrijte danim plavim i zelenim elementima. Kreirajte što više različitih uzoraka. 46

PUZZLE S UZORCIMA (2) • Učenike je potrebno pustiti da u grupama samostalno pronalaze različite uzorke (“konfiguracije”) i zapisuju ih redom kojim ih otkrivaju. • Nakon toga, uspoređuju se različita rješenja svake grupe i njihov broj. 47

PUZZLE S UZORCIMA (3) • Sljedeći korak je usmjeriti učenike da grupiraju (po nekom svom “razumnom” kriteriju) pronađena rješenja prema sličnosti. • Koji je bio kriterij grupiranja? • Koliko je različitih grupa rješenja? • Što sada možemo reći o broju različitih rješenja postavljenog problema? 48

PUZZLE S UZORCIMA (4) 49

PUZZLE S UZORCIMA (5) Cilj ovog zadatka bio je omogućiti učenicima da timsko – suradničkim radom sami otkriju vezu između uzoraka različitih orijentacija i položaja. 50

PUZZLE S UZORCIMA (6) • Ovaj zadatak omogućava usvajanje novog geometrijskog koncepta, tj. prijelaz s geometrijske razine 0 na razinu 1 eksperimentiranjem, uspoređivanjem i sortiranjem uzoraka. • Razina 0 – djeca misle da se promjenom orijentacije mijenja i oblik zbog drukčijeg pogleda na njega. • Razina 1 – djeca uspostavljaju veze i uočavaju karakteristike oblika bez obzira na njegovu orijentaciju i položaj. 51

JOŠ JEDAN PUZZLE - JAJE 52

JAJE PUZZLE (2) 53

IMAJU LI JAPANCI DOVOLJNO ŠUMA? Imaju li Japanci dovoljno šuma? Razmislite o ovom pitanju uz pomoć dane tablice i poredajte države obzirom na količinu šuma. UKUPNA POVRŠINA U km 2 POVRŠINA POD ŠUMOM U km 2 STANOVNIŠTVO JAPAN 372313 247282 119259000 SAD 9372614 2651880 233700000 FRANCUSKA 547026 145940 54346000 54

IMAJU LI JAPANCI DOVOLJNO ŠUMA? (2) GLAVNA UČITELJEVA PITANJA I UČENIČKI ODGOVORI N: Japan je poznat kao zeleno otočje, što znači da je bogat šumom. Što mislite, je li ta tvrdnja točna usporedimo li podatke o pošumljenim površinama u Japanu, SAD i Francuskoj? ! U: Japan nema najviše šuma od ove tri zemlje! U: Budući da je Japan mala zemlja, skoro bi cijeli mogao biti pod šumama! Učenici trebaju uočiti da samo podaci o pošumljenim površinama nisu dovoljni za razumijevanje problema. 55

IMAJU LI JAPANCI DOVOLJNO ŠUMA? (3) GLAVNA UČITELJEVA PITANJA I UČENIČKI ODGOVORI N: Imaju li Japanci dovoljno šuma? Usporedite podatke o dane tri zemlje i poredajte ih prema (dovoljnoj) količini šuma. Učenicima treba dati sve podatke o navedenim državama, i to u obliku tablice. Učenici postavljeni problem trebaju rješavati samostalno, svatko za sebe! 56

IMAJU LI JAPANCI DOVOLJNO ŠUMA? (4) GLAVNA UČITELJEVA PITANJA I UČENIČKI ODGOVORI Uspoređujemo učenička rješenja i u njima otkrivamo ideje koje stoje iza njihovog načina razmišljanja. U 1: Poredak je: Japan (najbolji), SAD, Francuska. Udio pošumljene u ukupnoj površini iznosi: Japan 66%, SAD 28% i Francuska 27%. U 2: Poredak je: SAD (najbolji), Francuska, Japan. Pošumljena površina po stanovniku iznosi: SAD 12000 m 2, Francuska 2800 m 2, Japan 2100 m 2. U 3: . . 57

IMAJU LI JAPANCI DOVOLJNO ŠUMA? (5) GLAVNA UČITELJEVA PITANJA I UČENIČKI ODGOVORI Važno je da svi učenici razumiju proces dolaska do rješenja i razloge zašto su se u diskusiji pojavila različita rješenja. N: Usustavljuje sve ideje za rješavanje ovog problema koje su predložili učenici. DZ: Svaki učenik neka napiše kratki esej o tome što je naučio na ovom satu. 58

POKVARENI KALKULATOR Bez upotrebe tipke s brojem 5, pomoću kalkulatora izračunajte 18 x 25. 59

POKVARENI KALKULATOR (2) GLAVNA UČITELJEVA PITANJA I UČENIČKI ODGOVORI N: Izračunajmo 18 x 25 pomoću kalkulatora. U: 18 x 25 = 450 Trebamo se uvjeriti da je svaki učenik na svom kalkulatoru izračunao 18 x 25. N: Kako bismo to učinili bez da upotrijebimo (pokvarenu) tipku s brojem 5? N: Neka svatko sam pokuša riješiti ovaj problem. 60

POKVARENI KALKULATOR (3) GLAVNA UČITELJEVA PITANJA I UČENIČKI ODGOVORI Učenici trebaju shvatiti da, osim x, mogu koristiti i druge tipke, uključujući +, -, /. Ukoliko je potrebno, učitelj pomaže učenicima. Nakon završenog rada uspoređuju se dobivena rješenja i kroz diskusiju artikuliraju ideje koje iza njih stoje. N: Pogledajmo nekoliko rješenja i ideja koje su dovele do njih. 61

POKVARENI KALKULATOR (4) GLAVNA UČITELJEVA PITANJA I UČENIČKI ODGOVORI U 1: 18 +. . . + 18 = 450 U 2: 18 x 24 + 18 = 450 U 3: 18 x 26 – 18 = 450 U 4: 18 x 19 + 18 x 6 = 450 U 5: 18 x 100 : 4 = 450 U 6: . . . 62

POKVARENI KALKULATOR (5) GLAVNA UČITELJEVA PITANJA I UČENIČKI ODGOVORI Nastavnik daje zaključak svim prezentiranim idejama. N: Izračunajte 18 x 25 bez tipke s brojem 2. DZ: Svaki učenik neka napiše kratki esej o tome što je naučio na ovom satu. 63

OTPLATA ZAJMA Za kupovinu novog automobila Aleksandra je podigla zajam od 12000 €. Otplaćivat će ga u jednakim obrocima od 500 €, uz mjesečnu kamatu od 1. 5% na neotplaćeni dio duga. Za koliko će mjeseci zajam biti otplaćen? 64

OTPLATA ZAJMA (2) Jedna nova ideja: Rješenje dobijemo jednočlanom rekurzijom. Oznaka: Dn = preostali dug nakon n mjeseci D 0 = 12000 Dn+1 = Dn. 1. 015 – 500, n = 0, 1, 2. . . 65

OTPLATA ZAJMA (3) Generalizacija: Oznaka: Dn = preostali dug nakon n mjeseci D 0 = podignuti zajam k = kamatnjak r = mjesečni obrok Dn+1 = (1+k)Dn – r, n = 0, 1, 2. . . 66

TARIFNI MODELI Telekomunikacijska tvrtka odlučila je na uzorku od 1000 korisnika isprobati svoja dva nova tarifna modela – TARIFA A i TARIFA B. Slobodnim izborom 400 korisnika izabralo je TARIFU A, a njih 600 TARIFU B. Korisnici su tarifni model mogli slobodno promijeniti svaki tjedan. Pokazalo se da svaki tjedan 20% korisnika mijenja TARIFU A u TARIFU B, a njih 30% TARIFU B u TARIFU A. Koji će se tarifni model pokazati uspješnijim? 67

TARIFNI MODELI (2) I opet nova ideja: Problem rješavamo sustavom od dvije jednočlane rekurzije. Oznake: An = broj korisnika TARIFE A u n-tom tjednu Bn = broj korisnika TARIFE B u n-tom tjednu A 1 = 400, B 1 = 600 An+1 = 0. 8 An + 0. 3 Bn Bn+1 = 0. 2 An + 0. 7 Bn 68

TARIFNI MODELI (3) Generalizacija: Oznake: An = broj korisnika TARIFE A u n-tom tjednu Bn = broj korisnika TARIFE B u n-tom tjednu p. AB = prijelaz iz TARIFE A u TARIFU B p. BA = prijelaz iz TARIFE B u TARIFU A A 1, B 1 su zadani An+1 = (1 - p. AB)An + p. BA Bn Bn+1 = p. ABAn + (1 – p. BA)Bn 69