Eletromagnetismo I Prof Paulo Rosa INFIUFMS Eletromagnetismo I

Eletromagnetismo I Prof. Paulo Rosa – INFI/UFMS Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa 1

Objetivos Para ser aprovado na disciplina o aluno deverá ser capaz de: 1. Resolver problemas envolvendo configurações de cargas em repouso no vácuo; 2. Resolver problemas envolvendo cargas em movimento no vácuo; 3. Utilizar as equações de Maxwell nas formas integral e diferencial para a obtenção de campos e potenciais; 4. Descrever o comportamento dos campos elétrico e magnético em meios materiais. Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa 2

Problema central da Física Configuração em um dado instante no tempo Objeto 1 Objeto 2 Objetos em interação Objeto 4 Objeto 3 Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa 3

Determinismo Questão central: é possível prever o que acontecerá com estes objetos em um instante de tempo posterior, em função da interação entre eles? Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa 4

Um exemplo Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa 5

Outro exemplo Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa 6

Ainda outro exemplo Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa 7

Fator determinante para responder a questão fundamental Qual a natureza da interação entre os objetos no mundo natural? Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa 8

Forças fundamentais Estruturas em larga escala no Universo Estruturas em mesoescala Força Gravitacional (massa) Força eletromagnética (carga elétrica) Nosso foco de interesse no Eletromagnetismo Estrutura nuclear Interações fracas Força Nuclear Forte (carga nuclear) Força Nuclear Fraca (carga nuclear) Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa 9

Unidade 1 Campos de partículas em repouso

Aula I – Carga elétrica e interação entre partículas carregadas � Ao final desta aula você deverá ser capaz de: ◦ Descrever a natureza da interação entre partículas com carga elétrica usando o conceito de força; ◦ Calcular a força elétrica experimentada por uma partícula carregada interagindo com outras partículas carregadas; ◦ Calcular a força elétrica sobre uma partícula carregada devido à interação com corpos extensos carregados. Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa 11

O problema básico do eletromagnetismo Distribuição de cargas em condutores z (r’) P Ponto onde o campo é calculado. r y x ri ’ Cargas Dado um conjunto de cargas e campos qual será a configuração de equilíbrio? Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa 12

Alguns conceitos básicos a) Fonte do campo – propriedade das partículas que cria o campo: - Carga elétrica é fonte de campo elétrico (E); - Partículas carregadas em movimento são a fonte de campo magnético (B); - Campos que variam no tempo podem ser fontes de outros campos. b) Eletrostática: envolve o cálculo de campos em sistemas de referência nos quais as partículas carregadas estão em repouso relativo. Neste caso o problema básico se reduz ao cálculo do campo elétrico E (ou, alternativamente, do potencial elétrico ); c) Eletrodinâmica: estudo dos campos quando estamos em sistemas de referência nos quais as partículas caregadas estão em movimento. Neste caso, temos os campos E e B. Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa 13

Perigo, Confusão! Cuidado Muitas vezes, o termo carga elétrica é usado indistintamente para designar a propriedade ou a partícula ou a quantidade de carga elétrica d) Carga elétrica: propriedade que permite às partículas interagirem via campo eletromagnético; e) Partícula carregada: partícula com carga elétrica não nula; f) Quantidade de carga elétrica: quantidade da propriedade carga elétrica que uma partícula possui, medida em algum sistema de unidades. Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa 14

Terminologia Fenomenologia Análise da natureza a partir da observação dos fenômenos e da coleta de observações obtidas em campo (observação em física) Empirismo Análise da natureza a partir da construção de dados obtidos pelos sentidos (experimentos em Física) Indutivismo Generalizações obtidas a partir da observação de alguns casos (leis físicas) Dedutivismo Análise da natureza obtida a partir de derivações de natureza lógica a partir de princípios gerais Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa 15

Propriedades da carga elétrica A carga elétrica apresenta as seguintes propriedades básicas: A carga elétrica apresenta dois tipos (sabores) denominados de positivo (+) e negativo (-). A quantidade de carga elétrica é quantizada. Toda quantidade carga elétrica observada é múltiplo da quantidade de carga fundamental, a quantidade de carga do elétron ou do próton. A carga elétrica é conservada (conservação global da quantidade de carga). Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa 16

Fenomenologia I Fato Básico Propriedade básica do eletromagnetismo: uma partícula com carga elétrica influencia o comportamento de outra partícula com carga elétrica: Partículas com cargas de sinais contrários ⇨ atração q 1 F 21 q 2 F 12 Partículas com cargas de sinais iguais ⇨ repulsão q 1 F 21 q 2 F 12 Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa 17

Fenomenologia II Propriedades da interação entre partículas carregadas (repouso relativo) O módulo da força elétrica entre duas partículas carregadas depende do valor do produto da quantidade de carga elétrica em cada uma. Matematicamente: Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa 18

Fenomenologia III Propriedades da interação entre partículas carregadas (repouso relativo) d 2 d 3 d O módulo da força entre duas partículas carregadas é inversamente proporcional ao quadrado da distância que as separa: Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa 19

Representando a interação entre duas partículas carregadas Dado um sistema de referências, representamos as partículas e a força entre elas pelo seguinte diagrama: Força da partícula 1 I sobre a partícula I z q 1 A distância entre as cargas se escreve: Vetor que liga as duas partículas F 12 Vetor que localiza a partícula 1 r 1 – r 2 r 1 r 2 x Eixos do sistema q 2 Força da partícula 1 sobre a partícula II F 21 y Vetor que localiza a partícula 2 Na eletrostática, a terceira lei de Newton é válida em sua forma forte: F 12 = - F 21 Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa 20

Lei de Coulomb (análise empírica) q 1 F 21 q 2 F 12 q 2 Partículas com cargas de sinais opostos F 12 Partículas com cargas de sinais iguais A constante k depende do sistema de unidades usado! Sistema Internacional de Unidades Nesta expressão F 21 é a força exercida pela partícula com quantidade de carga q 2 sobre a partícula com carga q 1. Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa 21

Princípio da superposição Quando temos mais de duas partículas interagindo, a força resultante sobre uma delas, devida às demais, é dada pela soma das forças sobre a partícula em análise: Fj 2 q 4 z qj q 1 r 1 q 3 Fj Fj 1 Fj 4 q 2 r 2 x y Para um sistema com n partículas: Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa 22

Distribuições contínuas de carga No caso de termos distribuições contínuas de matéria, a soma deve ser transposta para uma integral sobre a densidade de quantidade de carga elétrica. z F(r) Cada pequeno elemento de volume é tratado como uma partícula carregada. q r – r’ r (r’) r' y x Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa 23

Fim da Primeira Aula Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa 24

Aula II – O Campo Elétrico � Ao final desta aula você deverá ser capaz de: ◦ Definir o campo elétrico criado por uma partícula carregada; ◦ Calcular o campo elétrico devido a uma partícula na origem; ◦ Calcular o campo elétrico devido a um corpo extenso carregado; ◦ Calcular a força elétrica sobre uma partícula em uma região na qual temos um campo elétrico; ◦ Calcular o fluxo do campo elétrico por uma superfície; ◦ Utilizar a Lei de Gauss em sua forma integral no cálculo do campo elétrico em situações de alta simetria. Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa 25

Campo elétrico Pontos do espaço Partícula carregada Espaço vazio Espaço com uma partícula carregada Campo Elétrico é um conjunto de propriedades presentes em cada ponto do espaço decorrentes da presença de uma partícula com carga elétrica estar localizada em um determinado ponto. O Campo Elétrico não é um lugar, mas é em um lugar. Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa 26

Detectando o campo elétrico z F(r) Força sobre a partícula teste q Partícula teste Ø q é chamada partícula de teste: não pode interferir na distribuição que cria o campo; r Ø A partícula de teste é, por definição, positiva. y x Partícula fonte do Campo Elétrico. O campo tem a direção e o sentido da força elétrica experimentada pela partícula. Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa 27

Campo Eletrostático Interpretação do conceito de campo: ao invés de falarmos da força sobre uma partícula podemos falar sobre a força por unidade de carga da partícula ⇒ campo. Se dividirmos a força sobre a partícula pela quantidade de carga desta partícula, então o campo na região da partícula será dado por (q+ é chamada de partícula de teste): z Partícula E(r) Distribuição contínua de matéria r O campo não depende da partícula na posição r. Ele é uma propriedade do espaço na posição r, quer haja ou não uma partícula nesta posição. y x Partícula fonte do Campo Elétrico. Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa 28

Linhas de força � � Uma forma de representar o campo elétrico é usando linhas de força. Para traçá-las, devemos desenhar a linha tangente ao campo elétrico em cada ponto do espaço. Convenção: as linhas de força são mais próximas nas regiões nas quais o módulo do campo elétrico é maior. Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa 29

Exemplos de linhas de força Cargas isoladas Dipolo Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa 30

Fluxo de um fluido Em um fluido: O fluxo de um fluído por uma superfície é o volume de fluído que atravessa esta superfície por unidade de tempo. Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa 31

Fluxo de uma campo vetorial A A Linhas que entram e saem no volume limitado por S. Linhas que somente saem do volume limitado por S Linhas que somente entram no volume limitado por S. Superfície S n A da Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa 32

Lei de Gauss O objetivo é o cálculo do fluxo do campo elétrico em uma superfície fechada. Etapa 1: calcular o fluxo para uma calota recortada sobre uma superfície esférica. Estratégia: Etapa 2: mostrar que o fluxo é o mesmo entre duas calotas de uma mesma superfície esférica que delimitam o mesmo ângulo sólido. Etapa 3: mostrar que o resultado que vale para a superfície esférica é válido para qualquer outra superfície. Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa 33

Intermezzo: definição de ângulo sólido S θ Ω C r Circunferência r Esfera Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa 34

Lei de Gauss: superfície esférica, carga fora da superfície O que acontece com a componente do campo normal à superfície? Hipótese: Os elementos de área da são tão pequenos que o campo pode ser considerado constante. n q E 2 E 1 n da 1 Observe que: da 2 d Portanto: Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa 35

Lei de Gauss: superfície esférica carga dentro da superfície O que acontece com a componente do campo normal à superfície? E da n r d Integrando sobre S: Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa 36

Lei e Gauss, caso geral da E Truque: tomamos uma superfície esférica tão pequena quanto quisermos em torno da carga! n r d Como é o mesmo ângulo sólido, o fluxo é o mesmo! Então: Lei de Gauss Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa 37

Lei de Gauss, distribuições de partículas carregadas Para uma distribuição de cargas (pontuais ou uma densidade volumétrica de carga): Partículas carregadas Distribuição volumétrica de partículas carregadas Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa 38

Forma diferencial da Lei de Gauss Para podermos escrever em forma diferencial a lei de Gauss vamos analisar o teorema da divergência de Gauss para um campo vetorial qualquer: V Fluxo de A S Aplicando ao campo elétrico: Forma diferencial da Lei de Gauss Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa 39

Fim da Aula II Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa 40

Aula III � Ao final desta aula, você deverá ser capaz de: ◦ Calcular o rotacional do campo eletrostático; ◦ Definir o que é o potencial eletrostático; ◦ Calcular o potencial eletrostático devido a uma partícula carregada na origem; ◦ Calcular o potencial eletrostático devido a corpos extensos carregados. Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa 41

Intermezzo Para que um campo vetorial A fique univocamente determinado, precisamos saber seu divergente e seu rotacional: Para o campo eletrostático já sabemos qual é seu divergente: Mas qual será o seu rotacional? Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa 42

O potencial eletrostático I O campo eletrostático é um campo de rotacional nulo. Isso é facilmente verificável a partir da expressão para E: O rotacional atua somente sobre a variável r e não sobre a variável r’, portanto o rotacional atua somente sobre a fração no integrando, a qual pode ser reescrita como: Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa 43

O potencial eletrostático II Logo: Chamando o termo entre colchetes por : Potencial eletrostático Logo: Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa 44

O potencial eletrostático III Portanto, o campo elétrico pode ser escrito como o gradiente de uma função escalar: Esta expressão é geral! Observações: • Na definição do potencial eletrostático a integração é sobre todas as cargas no universo; • O potencial é definido a menos de uma constante arbitrária. Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa 45

O potencial eletrostático IV Uma consequência: somente diferenças de potencial são importantes! (r 2) r Partícula fonte do Campo Elétrico. 1 r 2 (r 2) y x Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa 46

O potencial escalar V � Como o potencial é definido a menos de uma constante, temos liberdade de escolher o ponto no qual o potencial é nulo! Escolha padrão: potencial nulo no infinito! (r ) =0 2 (r) r Última galáxia do universo! r Partícula fonte do Campo Elétrico. y x Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa 47

Interpretação física do potencial escalar Vamos calcular o trabalho que devemos executar contra o campo eletrostático E, para levarmos uma partícula com carga elétrica q de um ponto a até um ponto b com velocidade constante. Observe-se que esse trabalho é executado contra a força elétrica F = q E: E a q dl b Usando que E = - : O campo eletrostático é um campo conservativo: Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa 48

Exemplos � Vamos ver alguns exemplos do Grifitths. Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa 49

Descontinuidades do campo e do potencial Teríamos um mundo perfeito se não tivéssemos limites! O que fazer em um contorno? Vamos aplicar a lei de Gauss a um disco cujas bases estão uma na parte superior da superfície e outra na base inferior. As faces laterais possuem áreas desprezíveis. Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa 50

Descontinuidades no campo e no potencial II ds 2 ds 1 n 2 E 1 Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa 51

Descontinuidades no campo e no potencial III Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa 52

Descontinuidades no campo e no potencial IV Logo: Esta equação expressa o fato de que há uma descontinuidade nas componentes normais do campo elétrico. As componentes tangenciais, no entanto, são contínuas. Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa 53

Descontinuidades no campo e no potencial V Potencial devido a uma distribuição de dipolos sobre uma superfície S Consideremos uma camada formada por duas superfícies muito próximas: Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa 54

Descontinuidades no campo e no potencial VI O potencial pode ser escrito como: Para d << |r - r’|, podemos expandir o denominador na segunda integral usando a identidade: Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa 55

Descontinuidades no campo e no potencial VII Logo, após substituir esta expressão na integral do potencial e tomar o limite: Obtemos: Densidade de carga Momento de dipolo Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa 56

Descontinuidades no campo e no potencial VIII Observando que: Então: Há uma descontinuidade no potencial ao cruzar a dupla camada !!! Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa 57

Fim da Aula III Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa 58

Aula IV � Ao final desta aula, você deverá ser capaz de: ◦ Identificar as equações de Poisson e Laplace; ◦ Definir o que são condições de contorno; ◦ Identificar as condições de contorno presentes em problemas envolvendo cargas, corpos carregados e superfícies condutoras; ◦ Solucionar problemas de cálculo de campo eletrostático que envolvam condições de contorno. Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa 59

A equação de Poisson O campo eletrostático é descrito a partir das duas equações: Lembrando que o campo eletrostático pode ser escrito em termos de um potencial escalar (devido à segunda das igualdades acima): Equação de Poisson Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa 60

Equação de Poisson II Importante: nessa equação a quantidade (r) indica a densidade de carga na posição onde estamos calculando o potencial. q 2 , r 2 q 1 , r 1 q 3, r 3 Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa 61

Equação de Laplace Se na região de interesse não existem fontes do campo, então temos a equação de Laplace: Equação de Laplace Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa 62

Intermezzo – algoritmo básico para obtenção do potencial quando há superfícies de contorno Superfície de contorno 1. Solucionamos a equação de Poisson em cada região; 2. Aplicamos as condições de contorno às soluções obtidas. Região III Região II Superfície de contorno Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa 63

Teorema de Green Motivação Temos, normalmente, condições de contorno a serem satisfeitas. Isto torna as integrais mais difíceis de serem calculadas. Solução de uma equação diferencial passa pela obtenção da solução geral (classe de soluções) e da aplicação das condições de contorno relevantes ao problema Vamos começar pelo teorema da divergência de Gauss: V A Fluxo de A S Volume limitado por S Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa 64

Teorema de Green II Vamos fazer: Então: Derivada normal à superfície S dirigida de dentro para fora Substituindo essa expressão no Teorema da Divergência de Gauss: Primeira identidade de Green Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa 65

Teorema de Green III Vamos agora trocar por (e vice-versa) e subtrairmos da identidade a nova identidade, obteremos o que chamamos de segunda identidade de Green: Se agora tomarmos as seguintes identidades: Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa 66

Teorema de Green IV Então quando r está no interior da superfície S: Se r estiver fora do volume de integração a integral sobre o volume é nula. Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa 67

Unicidade de soluções: condições de Dirichlet e Newmann Problema: unicidade da solução para o potencial. Quais são as condições de contorno apropriadas ao problema? f(x, y, z) conhecida sobre a superfície S -> Condições de Dirichlet V S Ou, alternativamente, f’(x, y, z) conhecida sobre a superfície S -> Condições de Newmann. Suponhamos que existam duas soluções para a equação de Poisson em um volume V limitado por uma superfície S ( 1 e 2) as quais satisfazem as mesmas condições de contorno. Seja U = 2 - 1. Então, no interior de S: Portanto, ou U é nulo (igual a zero) ou U/ n = 0 sobre S, conforme sejam dadas condições de contorno de Dirichlet ou Newmann. Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa 68

Unicidade de soluções: condições de Dirichlet e Newmann II Vamos usar agora a primeira identidade de Green, com: Em qualquer caso (U=0 ou U/ n = 0 no contorno) temos que: Portanto, temos que U=0 o que implica que a função U é constante no interior do volume V. Caso 1: condições de Dirichlet no contorno -> US = 0. Nesse caso temos que: A solução é única Caso 2: condições de Newmann no contorno -> U/ n = 0. Nesse caso temos que: Observações: • S imposição das duas condições ao mesmo tempo não é possível; • As duas soluções são, em geral, diferentes. Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa 69

Solução geral de problemas eletrostáticos de contorno: função de Green Obtivemos anteriormente a solução para a equação de Poisson: Condição de Newmann Condição de Dirichlet Na obtenção dessa equação usamos, nas identidades de Green: Potencial da carga puntiforme Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa 70

Solução geral de problemas eletrostáticos de contorno: função de Green II Este é um exemplo de um a classe de funções que satisfazem à equação mais geral: Equação de Laplace dentro do volume V. Se usarmos na expressão para o potencial G ( r , r’ ) = e escolhermos F( r , r’ ) tal que consigamos eliminar ou sua derivada da expressão para o potencial obteremos apenas uma das condições de contorno dentro da integral para : Caso 1: condições de contorno de Dirichlet – GD = 0 para todo r’ sobre S Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa 71

Solução geral de problemas eletrostáticos de contorno: função de Green III Caso 2: condições de contorno de Newmann – GN/ n’= - 4 /S para todo r’ sobre S Valor médio do potencial sobre a superfície S. Vale zero se a superfície S vai ao infinito. Interpretação da função F – Essa função satisfaz a equação de Laplace dentro do volume V. Portanto representa uma solução do potencial criado por cargas externas a V. V S Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa 72

Fim da aula IV Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa 73

Aula V – Técnicas de Solução da equação de Laplace � Ao final desta aula, você deverá ser capaz de: ◦ Solucionar problemas envolvendo a equação de Laplace nos casos unidimensional e bidimensional ◦ Solucionar problemas envolvendo a equação de Laplace utilizando o método das imagens. Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa 74

Funções ortogonais Seja um intervalo (a, b) e um conjunto de funções {Un (x)} definidas neste intervalo. As funções são ditas ortogonais se: Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa

Funções ortonormais Delta de Kronecker Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa 76

Expansões No intervalo (a, b) uma função qualquer f( ) pode ser expandida em termos destas funções: Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa 77

Conjunto completo É aquele conjunto de funções para o qual existe um número N 0 tal que o erro cometido, ao aproximarmos a função f por N 0 termos da expansão, é arbitrariamente pequeno. Se o intervalo no qual as funções U são definidas é infinito, então a soma se transforma em uma integral. Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa 78

Exemplo de conjunto completo Transformada de Fourier (funções periódicas) Estas funções satisfazem à condição de ortogonalidade: Delta de Dirac E completeza: Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa 79

1. Solução da equação de Laplace em uma dimensão A equação de Laplace em uma dimensão é dada por: A, b são constantes a serem determinadas condições de contorno. Algumas características da solução que são também válidas em duas e três dimensões: • O potencial em uma dada posição é a média em duas posições simétricas: • As soluções da equação de Laplace não tem mínimos ou máximos locais 2. Solução da equação de Laplace em duas dimensões • O potencial em uma dada posição é a média da posições em torno do ponto. Em particular, se tomarmos um circulo de raio R em torno do ponto: • As soluções da equação de Laplace não tem mínimos ou máximos locais. Os extremos acontecem no contorno. Teoremas de unicidade: 1) A solução da equação de Laplace em um volume V é unicamente determinada se o potencial for especificado na superfície de contorno da região V. 2) Em um volume V cercado por condutores e contendo uma densidade de carga dada o campo elétrico é unicamente determinado se a carga total em cada um dos condutores for especificada. Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa 80

O método das imagens Idéia central: usar simetrias e os teoremas de unicidade para obter o potencial. z q d y =0 Qual o potencial na região acima do plano? Observe que existe, além da carga q, uma carga induzida no plano (desconhecida). O potencial no plano é mantido constante. x Terra Neste problema temos as seguintes condições de contorno: • = 0 quando z = 0; • 0 quando r . Vamos “trocar” nosso problema real por um outro: imagine que temos outra carga, -q, colocada na posição –d e esqueçamos o plano! z q d =0 -d y Expressão válida na região z > 0. -q x Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa 81

A carga induzida no plano condutor será dada por: A carga total induzida no plano, será dada por: Observe que a carga q será atraída em direção ao plano pela presença da carga induzida –q. Qual a força de atração? A energia pode ser calculada a partir do trabalho para trazer a carga q do infinito até a posição d: Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa 82

Fim da Aula V Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa 83

Aula VI � Ao final desta aula, você deverá ser capaz de: � Solucionar problemas envolvendo a equação de Laplace utilizando a técnica de separação de variáveis. Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa 84

Separação de variáveis, equação de Laplace em coordenadas cartesianas. Vamos supor que o potencial possa ser escrito como um produto de três funções que dependem, cada uma delas de apenas uma das três variáveis x, y, z: Substituindo na expressão da eq. de Laplace: Vamos supor 2, 2 > 0. Então as soluções das equações diferenciais serão dadas por: E o potencial será escrito como: ae constantes arbitrárias. Vamos considerar o exemplo de uma caixa retangular na qual o potencial é nulo em todas as superfícies externas exceto uma, mantida em um certo potencial V(x, y). z z=c Qual o potencial em pontos dentro da caixa? =0 = V(x, y) y y=b x=a x Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa 85

Nos pontos x = y = z = 0 o potencial é nulo vemos que: Para que o potencial seja nulo em x = a e y = b devemos ter que: Definindo: A solução geral será escrita como: Vamos usar agora a última das condições de contorno: (x, y, z=c) = V(x, y) Dupla série de Fourier para a função V(x, y) Podemos inverter para obter os coeficientes Amn: Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa 86

Um problema bi-dimensional: cálculo do potencial Vamos supor que estamos em uma situação onde o potencial depende apenas da coordenada z. Neste caso, a solução será do tipo e i x, e i y. Considere a situação mostrada na figura abaixo: 0 x a 0 y y =0 (x, y=0) = V (x=0, y) = (x=a, y) = 0 (x, y ) = 0 =0 =V 0 a x Vamos aplicar as condições de contorno à solução que já temos: A condição de contorno em y = 0 : (x, y=0) = V determina a constante An: Logo: Obs. : • Para y/a << 1 temos que tomar muitos termos da série; • Para y/a >> 1 apenas os primeiros termos são necessários. Para y a/p podemos aproximar o potencial apenas pelo primeiro termo da série (n = 1): Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa 87

Neste caso particular a série pode ser somada. Usando a fórmula de Moivre para exponencial de números complexos, podemos escrever o seno que aparece na expressão para o potencial na forma de uma exponencial: Observando que a expansão da função logaritmo: Temos que: E o potencial pode ser escrito como: A parte imaginário do logaritmo é a fase do argumento. Então: Portanto: Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa 88

A equação de Laplace em Coordenadas cilíndricas – Funções de Bessel Vamos analisar agora situações onde temos uma simetria cilíndrica. Primeiro vamos relembrar o sistema de coordenadas cilíndricas: Em coordenadas cilíndricas o Laplaciano se escreve: Método de solução: separação de variáveis: Após substituir na equação de Laplace somos levados a três equações, uma para cada uma das variáveis independentes: Temos que analisar as condições de contorno do problema para determinar a natureza das constantes k, e n. Condição de contorno : o potencial deve ser univocamente determinado Þ n deve ser um inteiro Imposição: vamos tomar a hipótese de que k seja uma constante real e positiva. Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa 89

A equação de Bessel Vamos agora analisar a equação para a parte radial. Primeiro vamos fazer a seguinte mudança de variáveis: x = kr. Com esta mudança de variável a equação para r se escreve: Equação de Bessel Para solucionar esta equação vamos utilizar o método de Frobenius: supomos que a solução possa ser escrita como um a série de potências da variável x: A substituição da expressão acima na equação diferencial nos leva a: Os termos com j ímpar são todos nulos. Em função do termo a 0 o termo geral da série pode ser escrito como: Escolhendo o valor de a 0 = [ 2 G( +1) ]-1 então as duas soluções, com ±n serão dadas por: Função de Bessel de primeiro tipo No entanto, para n = m , um inteiro, as soluções não são Linearmente independentes: Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa 90

Para n > 0 as funções de Bessel formam um conjunto ortogonal de funções podemos expandir uma função f(x) n intervalo 0 < x < a em termos das funções de Bessel: Esta forma é adequada para funções que se anulam em x = a. Exemplo Considere o cilindro da figura. Qual o potencial no interior do cilindro? z Para que o potencial seja unívoco e se anule em z = 0 devemos ter: a L y Nas demais superfícies o potencial é nulo x A parte radial será dada por: i) Para que o potencial seja finito em r = 0 devemos fazer D = 0; ii) Para que o potencial seja nulo em r = a, a constante k pode somente tomar os valores: Raízes das funções de Bessel Combinando esses resultados: Vamos agora usar a condição de contorno em z = L. Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa 91

Temos aqui uma série de Fourier na variável e uma série de Fourier – Bessel em r cujos coeficientes são dados por: A equação de Laplace em coordenadas esféricas Polinômios de Legendre Como antes vamos admitir que o potencial possa ser escrito como o produto de três funções que dependem somente de uma das variáveis: Após substituir na equação de Laplace somos levados a: Para solucionar a equação para vamos fazer a mudança de variáveis: o que nos leva a: Equação generalizada de Legendre Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa 92

Se m = 0 então temos um problema com simetria axial, e a solução serão os Polinômios de Legendre de ordem l [Pl(x)]. As funções Q( ) serão escritas como: E a solução para o potencial será dada por: Dependem das condições de contorno Exemplo Considere uma esfera de raio a na qual temos um potencial especificado por V( ) na superfície. Determine o potencial no interior (livre de cargas) da esfera. V = V( ) A solução geral será dada por: Queremos uma solução para pontos interiores da esfera, incluindo o ponto r = 0. Portanto, deveremos fazer bl = 0. Os coeficientes al serão determinados pelas condições de contorno: Esta é uma série de Legendre e os coeficientes al serão dados por: Vamos considerar o seguinte caso particular: Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa 93

Neste caso, o potencial será dado por: Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa 94

Fim da Aula VI Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa 95

Aula VII � Ao final desta aula, você deverá ser capaz de: � Solucionar problemas envolvendo a equação de Laplace utilizando a técnica de expansão em multipolos. Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa 96

Expansão em multipolos Motivação: para pontos longe da distribuição de cargas, esta aparece aproximadamente como uma carga pontual. Consideremos um dipolo físico, composto por duas cargas de sinais opostos separadas por uma distância d. r+ q+ Queremos calcular o campo na posição P, distante das duas r P d rqcargas. Usando que: Estamos interessados em pontos distantes das duas cargas, de modo que r >> d e o terceiro termo pode ser desprezado: Usando esse resultado, o potencial pode ser escrito como: O potencial do dipolo cai com 1/r 2 Termos tipo pólo: Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa

Vamos agora desenvolver uma expansão em multipolos para uma distribuição arbitrária de cargas. Nesse caso o potencial é dado por: Como antes, vamos fazer uma expansão do denominador, usando a lei dos co-senos: Reagrupando os termos, podemos reescrever a equação acima como: Polinômios de Legendre Logo: Expansão em multipolos n = 0 : termo de monopólo (termo dominante para grande r): Potencial exato para uma carga pontual na origem. Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa 98

n =1 : termo de dipolo (termo dominante se a carga total é nula) A integral que aparece é o momento de dipolo p da distribuição de cargas. O momento de dipolo depende de fatores geométricos. Para uma distribuição de cargas pontuais, o momento de dipolo se escreve: Dipolo físico Dipolo puro: q ao mesmo tempo que d 0: valor exato. Quando calculamos o potencial a partir de uma expansão em multipolos, a origem do sistema de referências é fundamental: • Termo de monopólo: não muda com a mudança da origem, pois depende da carga total; • Termo de dipolo: muda com a mudança da origem. Porém, se a carga total for nula é invariante. Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa 99

Campo elétrico de um dipolo Vamos supor um dipolo com momento de dipolo na origem e apontando na direção do eixo z. Nesse caso: Dipolo puro Dipolo físico Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa 100

Fim da aula VII Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa 101

Aula VIII – Energia Potencial Eletrostática � Ao final desta aula, você deverá ser capaz de: ◦ Definir o que é a Energia Potencial Eletrostática; ◦ Calcular a Energia Potencial eletrostática para distribuições de partículas carregadas ◦ Calcular a Energia Potencial Eletrostática devido a corpos extensos carregados. Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa 102

Energia potencial eletrostática Questão: qual o trabalho para trazer uma carga do infinito até um ponto do espaço? r 2 trajetória z r 1 y x Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa 103

Energia potencial eletrostática II Se as cargas geradoras do campo estiverem localizadas nas posições rj então o potencial sobre a i-ésima carga será dado por: A energia potencial total do sistema de n cargas será dada então por: Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa 104

Energia potencial eletrostática III Se a distribuição de cargas for contínua, a soma é substituída por uma integral: Vamos resolver o problema agora olhando, alternativamente para o campo elétrico. Vamos reescrever a equação acima, usando a equação de Poisson, como: Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa 105

Energia potencial eletrostática IV Integrando por partes essa expressão: Densidade de energia (w) Esta expressão não contém mais referência alguma às cargas !!! Esta é uma quantidade positiva !!! Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa 106

Energia potencial eletrostática V Para um sistema de condutores mantidos a potenciais Vi e cargas qi, no vácuo, podemos escrever o potencial em função das cargas e de certas grandezas geométricas chamadas de coeficiente de capacidade. O potencial no enésimo condutor pode ser escrito como: Termos que contém a geometria do problema Podemos, ao menos formalmente, inverter a equação acima para obter as cargas nos condutores: Se i =j (Cii) temos as capacitâncias dos condutores. Para i j falamos em coeficientes de capacitância Interpretação: a capacitância de um condutor é a carga total no condutor quando o mesmo é mantido a um potencial unitário, com os potenciais de todos os outros condutores mantidos no zero. Para um sistema de condutores: Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa 107

Fim da Aula VIII Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa 108

Fim da Unidade I Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa 109

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Exemplo 2. 3 Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa 114

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Exemplo 2. 4 - Continuação Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa 117

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Exemplo 2. 6 Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa 119

Exemplo 2. 6 - Continuação Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa 120