Algoritmos para Gerao de Variveis Aleatrias Distribuies Tericas

Algoritmos para Geração de Variáveis Aleatórias Distribuições Teóricas de Probabilidade Simulação Discreta de Sistemas - Prof. Paulo Freitas - UFSC/CTC/INE 1

Geração de Variáveis Aleatórias u Métodos e procedimentos computacionais para a geração de variáveis aleatórias com características específicas de alguma das diversas distribuições teóricas de probabilidades. u. A necessidade de tais variáveis: ü tempos entre chegadas; ü tempos de serviço; ü demandas por produtos, etc. Simulação Discreta de Sistemas - Prof. Paulo Freitas - UFSC/CTC/INE 2

Métodos de Geração u Os métodos baseiam-se na prévia geração de um número aleatório R, uniformemente distribuído sobre o intervalo (0, 1). ux expresso como uma função explícita de R. . u Métodos básicos: ü Transformação Inversa; ü Transformação Direta; ü Convolução; ü Aceitação/Rejeição; ü Propriedades Especiais Simulação Discreta de Sistemas - Prof. Paulo Freitas - UFSC/CTC/INE 3

Distribuição Geométrica u Uma variável com distribuição geométrica representa o número de falhas observadas em uma seqüência de provas do tipo Bernoulli, sua função densidade é: p(x) = p(1 - p)x , u x = 1, 2, . . . Pelo método da transformação inversa, obtém-se a seguinte relação: Simulação Discreta de Sistemas - Prof. Paulo Freitas - UFSC/CTC/INE 4

Distribuição Geométrica u Para a obtenção de uma variável com distribuição geométrica, necessitamos do parâmetro (probabilidade de um sucesso) p. u Obtido tal elemento, os seguintes passos devem ser considerados: Gerar R; Calcular x = u A função (arredondamento para o maior inteiro) atribui a x o maior inteiro que satisfaz a relação anterior. Simulação Discreta de Sistemas - Prof. Paulo Freitas - UFSC/CTC/INE 5

Exemplo u Gerar três valores de uma distribuição geométrica com p = 1/2. Usando uma tabela de valores aleatórios, obtemos R 1 = 0, 932; R 2 = 0, 105 e R 3 = 0, 687. u Primeiramente calculamos o valor da constante 1/ln (1 -p) = 1/ln (1 -0, 5) = -1, 443. Na seqüência, obtemos os valores dos xi’s a partir dos Ri’s. Simulação Discreta de Sistemas - Prof. Paulo Freitas - UFSC/CTC/INE 6

Exemplo Simulação Discreta de Sistemas - Prof. Paulo Freitas - UFSC/CTC/INE 7

Distribuição de Poisson u. A distribuição de Poisson se caracteriza pela seguinte função densidade de probabilidade: ua qual representa a probabilidade de ocorrência de x sucessos, num dado intervalo de tempo. Onde , é o valor esperado do número de ocorrências por unidade de tempo. Simulação Discreta de Sistemas - Prof. Paulo Freitas - UFSC/CTC/INE 8

Distribuição de Poisson u u Geração de uma variável aleatória Poisson, considerando o método da Aceitação/Rejeição: ü Fazer n = 0, e P =1; ü Gerar um número aleatório Rn+1 e substituir P por P. Rn+1; ü Se, , aceitar X = n, caso contrário, rejeitar n atual, fazer n = n +1, e retornar aos procedimentos no passo 2. A idéia básica por traz do método da Aceitação/Rejeição, é gerar um número aleatório e testar uma determinada condição de “aceitação”. Caso esta condição seja satisfeita, o valor gerado é aceito, caso contrário os passos são repetidos. Simulação Discreta de Sistemas - Prof. Paulo Freitas - UFSC/CTC/INE 9

Exemplo u Gerar três números, segundo uma distribuição de Poisson, com = 0, 2. u Primeiramente, computamos o valor de u Na seqüência, obtemos um conjunto de números aleatórios e iniciamos os procedimentos estabelecidos nos passos de 1 a 3 anteriormente firmados Simulação Discreta de Sistemas - Prof. Paulo Freitas - UFSC/CTC/INE . 10

Exemplo Simulação Discreta de Sistemas - Prof. Paulo Freitas - UFSC/CTC/INE 11

Distribuição Empírica Discreta u Para gerar uma variável aleatória que tenha um comportamento semelhante ao determinado por distribuição empírica discreta conhecida, é necessário, inicialmente, determinarmos as freqüências relativas acumuladas da distribuição. Por exemplo: u Uma vez que tais informações estejam disponíveis, aplicamos o método da transformação inversa que, neste caso, torna-se um processo de pesquisa em uma tabela de valores, num procedimento muito semelhante ao que realizamos no capítulo 1, quando tratamos do método de Monte Carlo. Simulação Discreta de Sistemas - Prof. Paulo Freitas - UFSC/CTC/INE 12

Procedimentos u Os procedimentos de busca são facilitados pela construção de uma tabela para a geração dos valores de x: Esquematizando os procedimentos: 1. 2. 3 Gerar R; Descobrir i, tal que ri-1 < R Fazer X = xi. Simulação Discreta de Sistemas - Prof. Paulo Freitas - UFSC/CTC/INE ri ; 13

Exemplo Suponha uma variável aleatória com a seguinte distribuição de probabilidades: Dados R 1= 0, 43; R 2=0, 61 e R 3=0, 83; gerar três valores para a variável X, que pertençam a esta distribuição. R 1= 0, 43 < F(x=2) = 0, 45; logo X=2; F(x=2) = 0, 45 < R 2= 0, 61 F(x=3) = 0, 80 ; logo X=3; F(x=3) = 0, 80 < R 3= 0, 83 F(x=5) = 1, 00 ; logo X=5; Simulação Discreta de Sistemas - Prof. Paulo Freitas - UFSC/CTC/INE 14

Distribuição Uniforme u Uma variável aleatória x tem distribuição uniforme sobre um intervalo [a, b], se sua função densidade de probabilidade (fdp) é dada por: u A técnica mais utilizada para a obtenção de uma variável aleatória uniformemente distribuída é a da transformação inversa. A fórmula é a seguinte: u Os parâmetros necessários para a obtenção de uma variável com distribuição uniforme são apenas os valores extremos do intervalo [a, b]. Uma vez definidos, os seguintes passos devem ser considerados: ü Gerar R; ü Calcular Simulação Discreta de Sistemas - Prof. Paulo Freitas - UFSC/CTC/INE 15

Exemplo u Gerar três valores de uma distribuição uniforme no intervalo [10, 50]. Usando os seguintes valores aleatórios R 1 = 0, 932; R 2 = 0, 105 e R 3 = 0, 687. Aplicando o método proposto teremos: Simulação Discreta de Sistemas - Prof. Paulo Freitas - UFSC/CTC/INE 16

Distribuição Triangular Uma variável aleatória x tem uma distribuição triangular se sua fdp é dada por: onde . A moda b = 3 E (x) - (a + c). Pelo método da transformação inversa obtém-se a fórmula para gerar amostras com distribuição triangular. A variável x com esta distribuição é obtida por: Simulação Discreta de Sistemas - Prof. Paulo Freitas - UFSC/CTC/INE 17

Exemplo u Gerar três valores de uma distribuição triangular com parâmetros (0, 1, 2). Obtidos R 1 = 0, 544; R 2 = 0, 747 e R 3 = 0, 449. Simulação Discreta de Sistemas - Prof. Paulo Freitas - UFSC/CTC/INE 18

Distribuição Exponencial u Uma variável aleatória x tem uma distribuição exponencial se sua fdp é dada por: u O parâmetro é interpretado como sendo o número médio de ocorrências por unidade de tempo, enquanto a razão representa o tempo médio entre as ocorrências. u Aplicando-se o método da transformação inversa para a obtenção de uma variável aleatória x com distribuição exponencial resulta na seguinte relação: u Uma vez que (1 -Ri), da mesma forma que Ri, possui distribuição uniforme no intervalo [0, 1], podemos substituir (1 -Ri) por Ri na expressão acima. Simulação Discreta de Sistemas - Prof. Paulo Freitas - UFSC/CTC/INE 19

Exemplo u Gerar valores de uma distribuição exponencial com parâmetro =1. Simulação Discreta de Sistemas - Prof. Paulo Freitas - UFSC/CTC/INE 20

Distribuição Normal u Uma variável aleatória x tem uma distribuição normal se sua fdp é dada por: Método de Box-Muller Simulação Discreta de Sistemas - Prof. Paulo Freitas - UFSC/CTC/INE 21

Exemplo u Considerando as equações anteriores, gerar dois valores com distribuição normal padronizada a partir de R 1 = 0, 1758 e R 2 = 0, 1489. Z 1 = [-2 ln (0, 1758)]½ cos ( 0, 1489) = 1, 11 Z 2 = [-2 ln (0, 1758)]½ sen ( 0, 1489) = 1, 50 u Para a obtenção de uma variável aleatória normal com média e desvio padrão , deve-se aplicar a transformação xi = + . Zi aos valores da normal padronizada. Por exemplo, para transformar os valores obtidos de Z 1 e Z 2 em uma Normal (10; 2), calcula-se: Simulação Discreta de Sistemas - Prof. Paulo Freitas - UFSC/CTC/INE 22