Probabilidade Espao amostral Evento Possibilidade Definio Numa experincia

Probabilidade • Espaço amostral • Evento • Possibilidade

Definição Numa experiência com vários resultados possíveis, todos com a “mesma chance”, dizemos que: a) Ponto Amostral é qualquer um dos resultados possíveis. b) Espaço Amostral (representado por S) é o conjunto de todos os resultados possíveis. c) Evento (representado por A) é qualquer subconjunto do espaço amostral. d) n(S) é o número de elementos de S, e n(A) é o número de elementos de A.

A probabilidade de ocorrer o evento A, representada por P(A), de um espaço amostral S Ø, é o quociente entre o número de elementos de A e o número de elementos de S. Simbolicamente: Na prática costuma-se dizer que a probabilidade é o quociente entre o número de casos favoráveis, que é n(A), e o número de casos possíveis, que é n(S). Exemplo 1 Na experiência de jogar um dado honesto de seis faces, numera das de 1 a 6 temos:

a) O ponto amostral é a face numerada ou apenas o número. b) O espaço amostral é S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e n(S) = 6. c) O evento “número ímpar” é A = {1, 3, 5} e n(A) = 3. d) A probabilidade de obter um “número ímpar” é e) O evento “número menor que 3” é A = {1, 2} e n(A) = 2. f) A probabilidade de obter um “número menor que 3” é:

Exemplo 2 Na experiência de retirar uma carta de um baralho comum de 52 cartas, temos: a) O ponto amostral é a carta. b) O espaço amostral é o conjunto S de todas as cartas do baralho e, portanto, n(S) = 52. c) O evento “dama” é formado por 4 cartas e, portanto, n(A) = 4. d) A probabilidade de obter uma dama é

e) O evento “carta de copas” é forma do por 13 cartas e, portanto, n(A) = 13. f) A probabilidade de obter uma carta de copas é Exercícios Resolvidos (UNESP) – Numa pesquisa feita com 200 homens, observou-se que 80 eram casados, 20 separados, 10 eram viúvos e 90 eram solteiros. Escolhido um homem ao acaso, a probabilidade de ele não ser solteiro é a) 0, 65. 0, 35. b) 0, 6. c) 0, 55. d) 0, 5. e)

Resolução Dos 200 homens, 110 não solteiros e a probabilidade pedida é, portanto, Resposta: C 2. (Modelo ENEM) Um time de futebol amador ganhou uma taça ao vencer um campeonato. Os jogadores decidiram que o prêmio seria guardado na casa de um deles. Todos quiseram guardar a taça em suas casas. Na discussão para se decidir com quem ficaria o troféu, travou-se o seguinte diálogo: Pedro, camisa 6: – Tive uma ideia. Nós somos 11 jogadores e nossas camisas estão numeradas de 2 a 12. Tenho dois dados com as faces numeradas de 1 a 6. Se eu jogar os dois dados, a soma dos números das faces que ficarem para cima pode variar de 2 (1 + 1) até 12 (6 + 6). Vamos jogar os dados, e quem tiver a camisa com o número do resultado vai guardar a taça.

Tadeu, camisa 2: – Não sei não… Pedro sempre foi muito esperto… Acho que ele está levando alguma vantagem nessa proposta… Ricardo, camisa 12: – Pensando bem… Você pode estar certo, pois, conhecendo o Pedro, é capaz que ele tenha mais chances de ganhar que nós dois juntos… Desse diálogo conclui-se que a) Tadeu e Ricardo estavam equivocados, pois a probabilidade de ganhar a guarda da taça era a mesma para todos. b) Tadeu tinha razão e Ricardo estava equivocado, pois, juntos, tinham mais chances de ganhar a guarda da taça do que Pedro. c) Tadeu tinha razão e Ricardo estava equivocado, pois, juntos, tinham a mesma chance que Pedro de ganhar a guarda da taça. d) Tadeu e Ricardo tinham razão, pois os dois juntos tinham menos chances de ganhar a guarda da taça do que Pedro.

e) Não é possível saber qual dos jogadores tinha razão, por se tratar de um resultado probabilístico, que depende exclusivamente da sorte Resolução A tabela a seguir mostra a soma dos números das faces que ficaram para cima no lançamento de dois dados. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Assim, Pedro tinha mais chance de ficar com a taça do que Tadeu e Ricardo juntos e ambos tinham razão em seus comentários. Resposta: D

Exercícios Propostos 1. Joga-se, ao acaso, um dado “honesto” de seis faces numeradas de 1 a 6 e lê-se o número da face voltada para cima. Calcular a probabilidade de obter: a) o número 1. b) um número par. c) um número maior que 4. d) um número menor que 7. e) um número maior que 6. RESOLUÇÃO: O espaço amostral é S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

e) P(Ø) = 0 (evento impossível) Numa urna existem 4 bolas numeradas de 1 a 4 que diferem apenas pela numeração. Retiramse duas bolas ao acaso e simultaneamente. Qual a probabilidade de obter bolas com números que têm soma par?

3) Lançam-se dois dados “honestos” com faces numeradas de 1 a 6. Pede-se : a) O espaço amostral desta experiência. 1 2 3 4 5 6 1 (1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 4) (1, 5) (1, 6) 2 (2, 1) (2, 2) (2, 3) (2, 4) (2, 5) (2, 6) 3 (3, 1) (3, 2) (3, 3) (3, 4) (3, 5) (3, 6) 4 (4, 1) (4, 2) (4, 3) (4, 4) (4, 5) (4, 6) 5 (5, 1) (5, 2) (5, 3) (5, 4) (5, 5) 6 (6, 1) (6, 2) (6, 3) (6, 4) (6, 5) (6, 6) b) A probabilidade de que a soma obtida seja 10. RESOLUÇÃO: O evento “soma 10” é A = {(4; 6), (6; 4), (5; 5)} P(soma 10) =

José, Paulo e Antônio estão jogando dados não viciados, nos quais, em cada uma das seis faces, há um número de 1 a 6. Cada um deles jogará dois dados simultaneamente. José acredita que, após jogar seus dados, os números das faces voltadas para cima lhe darão uma soma igual a 7. Já Paulo acredita que sua soma será igual a 4 e Antônio acredita que sua soma será igual a 8. Com essa escolha, quem tem a maior probabilidade de acertar sua respectiva soma é a) Antônio, já que sua soma é a maior de todas as escolhidas. b) José e Antônio, já que há 6 possibilidades tanto para a escolha de José quanto para a escolha de Antônio, e há apenas 4 possibilidades para a escolha de Paulo. c) José e Antônio, já que há 3 possibilidades tanto para a escolha de José quanto para a escolha de Antônio, e há apenas 2 possibilidades para a escolha de Paulo. d) José, já que há 6 possibilidades para formar sua soma, 5 possibilidades para formar a soma de Antônio e apenas 3 possibilidades para formar a soma de Paulo. e) Paulo, já que sua soma é a menor de todas 4)

RESOLUÇÃO: Existem 6 possibilidades para formar a soma 7, que são (1; 6), (2; 5), (3; 4), (4; 3), (5; 2) e (6; 1). Existem 3 possibilidades para formar a soma 4, que são (1; 3), (2; 2) e (3; 1). Existem 5 possibilidades para formar a soma 8, que são (2; 6), (3; 5), (4; 4), (5; 3) e (6; 2). Assim, quem tem a maior possibilidade de acertar a soma é José, já que há 6 possibilidades para formar a sua soma, 5 possibilidades para formar a soma de Antônio e apenas 3 possibilidades para formar a soma de Paulo. Resposta: D

5. Numa escola com 1 200 alunos foi realizada uma pesquisa sobre o conhecimento desses em duas línguas estrangeiras, inglês e espanhol. Nessa pesquisa constatouse que 600 alunos falam inglês, 500 falam espanhol e 300 não falam qualquer um desses idiomas. Escolhendo-se um aluno dessa escola ao acaso e sabendo-se que ele não fala inglês, qual a probabilidade de que esse aluno fale espanhol? RESOLUÇÃO: O diagrama de Venn seguinte mostra a distribuição de frequência dos alunos da escola, quanto ao conhecimento das línguas inglesa e espanhola. Alunos da escola (1200)

(600 – x) + x + (500 – x) + 300 = 1 200 x = 200 Desta forma, o diagrama fica: Dos alunos da escola, 300 + 300 = 600 não falam inglês e, destes, 300 falam espanhol. A probabilidade de um aluno que não fala inglês falar espanhol é Resposta: A

União de eventos

União de eventos Demonstração Se A e B forem dois eventos de um espaço amostral S, então n(A B) = n(A) + n(B) – n(A B) Dividindo ambos os membros por n(S), temos:

P(A B) = P(A) + P(B) – P(A B) b) Se A B = Ø, então A e B são chamados eventos mutuamente exclusivos. Neste caso P(A B) = 0 e por tanto P(A B) = P(A) + P(B) c) Se A B = Ø e A B = S, então A e B são chama dos eventos exaustivos.

Neste caso além de P(A B) = 0 temos também P(A B) = P(S) = 1. Logo: P(A B) = P(A) + P(B) = 1 Exercícios Resolvidos

2. Dois dados perfeitos e distinguíveis são lançados ao acaso. A probabilidade de os dois números obtidos serem ímpares ou terem soma maior que 7 é: Resolução Resposta: E

Exercícios Propostos 1. Retirando ao acaso uma carta de um baralho comum de 52 cartas, calcule a probabilidade de obter: a) uma dama. b) um rei. c) uma carta de copas. d) um rei ou uma dama. e) um rei ou uma carta de copas. RESOLUÇÃO:

2. Um grupo de 100 pessoas apresenta a seguinte com posição:

Marcando-se um encontro com uma delas, escolhendo seu nome ao acaso, qual a probabilidade de a pessoa ser: a) loira? b) loira de olhos castanhos ou uma morena de olhos azuis? RESOLUÇÃO: (FUVEST) – Ao lançar um dado muitas vezes, uma pessoa percebeu que a face “ 6” saía com o dobro da frequência da face “ 1” e que as outras faces saíam com a frequência esperada em um dado não viciado. Qual a frequência da face “ 1”?

RESOLUÇÃO: Resposta: C