A NOO DE FUNO Prof Paulo Cesar Costa

A NOÇÃO DE FUNÇÃO Prof. : Paulo Cesar Costa

Ø Problema 1: Em uma pista circular de testes, um automóvel desloca-se com velocidade constante. Com o auxílio de um cronômetro, marcam-se diferentes intervalos de tempo e, em cada intervalo de tempo, verificou-se a distância percorrida conforme tabela abaixo. Tempo (h) 0, 2 0, 4 0, 8 1, 6 2 Distância (km) 10 20 40 80 100 a) Qual a distância percorrida quando o tempo é igual a 2, 8 h? b) Qual é o tempo gasto quando a distância percorrida é 300 km? c) Qual a lei matemática que associa a distância percorrida com o tempo? d) Podemos afirmar que a distância percorrida é função do tempo? e) No item c podemos ter t < 0? E d < 0? Ø Resolução: a) 140 km b) 6 h c) d(t) = 50 t d) sim e) não; não

Ø Problema 2: Cada figura da sequência é formada por triângulos construídos com palitos. figura III figura IV a) Construa um quadro que relacione a quantidade palitos e a quantidade triângulos de cada figura. b) Quantos palitos são necessários para formar a figura dessa sequência composta de 6 triângulos? E a figura formada por 12 triângulos? c) Escreva uma fórmula que permita calcular a quantidade de palitos em função da quantidade de triângulos. d) A figura formada com 41 palitos é composta de quantos triângulos? Ø Resolução: a) t 1 2 3 4 p 3 5 7 9 b) 13 palitos; 25 palitos c) p(t) = 2 t + 1 d) 41 = 2 t + 1 t = 20

Ø Problema 3: Observe a sequencia. 1 2 3 4 a) Quantos quadrados tem a figura 5 dessa sequência? E a figura 6? b) Escreva uma fórmula que expresse a quantidade de quadrados q em função do número da figura f. c) Calcule a quantidade de quadrados das figuras 8; 10 e 15 Ø Resolução: a) 27 quadrados; 38 quadrados b) q(f) = f 2 + 2 c) q(8) = 82 + 2 = 66; q(10) = 102 + 2 = 102; q(15) = 152 + 2 = 227

Ø Problema 4: Renato trabalha como garçon em um restaurante nos fins de semana. Por dia de trabalho ele recebe R$25, 00 mais 6% da quantia total gasta pelos clientes que ele atende. a) Quantos reais Renato receberá em um dia de trabalho se os clientes que ele atender gastarem ao todo R$150, 00? E se gastarem R$260, 00? b) Escreva uma expressão f por meio da qual seja possível calcular quanto Renato recebeu em um dia de trabalho em que os clientes que atendeu gastaram x reais. c) Se um certo dia Renato recebeu R$43, 00, quantos reais ao todo gastaram os clientes que ele atendeu? Ø Resolução: a) 25 + 0, 06 × 150 = 25 + 9 = 34 reais 25 + 0, 06 × 260 = 25 + 15, 60 = 40, 60 reais b) f(x) = 25 + 0, 06 x c) 43 = 25 + 0, 06 x = 18 x = 300 reais

Ø Problema 5: Uma empresa de telefonia fixa oferece a seus clientes dois planos de serviços: • Plano A: mensalidade de R$9, 55 mais R$0, 26 por minuto falado; • Plano B: mensalidade de R$26, 30 mais R$0, 10 por minuto falado a) Para cada um dos planos, escreva uma expressão por meio da qual seja possível calcular o valor pago em função da quantidade x de minutos falados. b) Se um cliente utilizar, no mês, o telefone durante 356 minutos no plano A, quanto vai pagar? E se ele usar o plano B? c) Em relação ao valor da fatura, a partir de quantos minutos de ligação o plano B é mais vantajoso que o plano A? Ø Resolução: a) plano A: A(x) = 9, 55 + 0, 26 x plano B: B(x) = 26, 30 + 0, 1 x b) Plano A: A(356) = 9, 55 + 0, 26× 356 = 102, 11 Plano B: B(356) = 26, 30 + 0, 1× 356 = 61, 90 c) B(x) < A(x) 26, 30 + 0, 1 x < 9, 55 + 0, 26 x x > 104, 6 x ≥ 105

RELAÇÃO Ø Definição: Considere dois conjuntos não vazios A e B. Qualquer maneira de associar os elementos de A com os elementos de B chama-se relação de A em B. Ø Exemplos: A 1 2 3 B 2 4 7 8 A 1 2 3 B 2 4 7 8

FUNÇÃO Ø Definição: Uma função de A em B (f: A→B) é uma relação em que cada elemento x do conjunto A está associado a um único elemento y de B Ø Exemplos: B 2 4 7 8 A 1 2 3 B 2 4 7 8 1 2 3 relação 1 2 3 B 2 4 7 8 A 1 2 3 relação função A A função B 2 4 7 8 A 1 2 3 função

DOMÍNIO, CONTRADOMÍNIO, IMAGEM E LEI DE ASSOCIAÇÃO Ø Exemplo 1: A B -1 0 1 2 -1 1 5 7 8 f: A→B Ø Domínio: D(f) = A = {-1, 0, 1, 2} Ø Contradomínio: C(f) = B = {-1, 1, 5, 7, 8} Ø Imagem: Im(f) = {-1, 1, 7} Ø Lei de Associação: f(x) = 2 x 2 - 1 Obs: Quando não estiverem explícitos o domínio e o contradomínio de uma função admitiremos que o contradomínio é R e o domínio é R exluídos os valores de x para os quais não vale a lei de associação.

Ø exemplo 2: Obtenha o domínio de cada uma das funções: Ø Resolução: a) D(f) = R b) x + 3 ≠ 0 x ≠ -3 D(g) = {x R; x ≠ -3} = R – {-3} c) x - 8 ≥ 0 x≥ 8 D(i) = {x R; x ≥ 8} d) x - 1 ≥ 0 e x – 3 ≠ 0 x≥ 1 e x≠ 3 D(j) = {x Obs: Em todos os casos do contradomínio é R. R; x ≥ 1 e x ≠ 3}

Ø exemplo 3: Seja f: R→R a função definida poela lei f(x) = 4 x + 1. Calcule f(-1) + f(0) – f(11) Ø Resolução: f(-1) = 4. (-1) + 1 = -4 + 1 = -3 f(0) = 4. 0 + 1 = 1 f(11) = 4. 11 + 1 = 44 + 1 = 45 Logo, f(-1) + f(0) – f(11) = -3 + 1 – 45 = -47

Ø exemplo 4: Seja f: R→R definida por f(x) = x 2 - 2 x – 6. Que valores do domínio tem imgem igual a -6? Ø Resolução: f(x) = -6 x 2 – 2 x - 6 = -6 x 2 – 2 x = 0 x 1 = 0 ou x 2 = 2

Ø exemplo 5: Sabe-se que f é uma função definida por f(x) = ax – 4, com a real e f(3) = 11. Calcule f(-5) Ø Resolução: • f(3) = 11 a. 3 – 4 = 11 a=5 Logo, f(x) = 5 x - 4 f(-5) = 5. (-5) - 4 f(-5) = -29

Ø exemplo 6: Considere a função g, definida por g(x) = ax + b, com a e b reais, g(2) = 8 e g(-2) = -4. Determine g(10). Ø Resolução: a=3 e b=2 Logo, g(x) = 3 x + 2 g(10) = 3. 10 + 2 g(10) = 32

Ø exemplo 7: (IME) Seja f: R→R onde R é o conjunto dos números reais, tal que: O valor de f(-4) é: a) -4/5 b) -1/4 c) -1/5 d) 1/5 e) 4/5 Ø Resolução: • f(0 + 4) = f(0). f(4) • f(-4 + 4) = f(-4). f(4) = f(0). f(4) f(0) = 1 f(0) = f(-4). f(4) 1 = f(-4). 5 f(-4) =1/5

Ø exemplo 8: Seja f uma função, tal que f(1) = a, f(π) = b e f(x + y) = f(x). f(y), com x e y reais. Calcule f(2 + π). Ø Resolução: • f(x + y) = f(x). f(y) f(1 + 1) = f(1) f(2) = a 2 • f(x + y) = f(x). f(y) f(2 + π) = f(2). f(π) f(2 + π) = a 2. b