MATEMATIKA KELAS VIII SEMESTER SATUGANJIL MATERI DAN LATIHAN

MATEMATIKA KELAS VIII SEMESTER SATU/GANJIL MATERI DAN LATIHAN BAB III RELASI DAN FUNGSI 11/9/2020 1

SELAMAT BELAJAR SEMOGA BERHASIL DAN SUKSES 11/9/2020 2

Oleh : Sulistyana SMP N 1 Wonosari 11/9/2020 3

A. RELASI 1. Pengertian Relasi ( hubungan ) dari himpunan A ke B adalah pemasangan anggota-anggota A dengan anggota-anggota B. Relasi dalam matematika misalnya : lebih dari , kurang dari , setengah dari , faktor dari , dan sebagainya. Contoh : Diketahui A = { 1, 2, 3, 4 } dan B = { 1, 2, 3 }. Jika himpunan A ke himpunan B dinyatakan relasi “ kurang dari “ , maka lebih jelasnya dapat ditunjukkan pada gambar di bawah : 11/9/2020 4

Kurang dari A B 1. 2. 3. 4. . 1. 2. 3 Diagram disamping dinamakan diagram panah. Arah relasi ditunjukkan dengan anak panah dan nama relasinya adalah “ kurang dari “ 11/9/2020 5

2. Menyatakan Relasi antara dua himpunan dapat dinyatakan dengan 3 cara , yaitu : Diagram Panah , Diagram Cartesius , dan Himpunan pasangan berurutan. a. Diagram Panah Contoh : 1. Jika Anto suka sepakbola , Andi suka voli dan bulutangkis serta Budi dan Badri suka basket dan sepakbola. Buatlah Diagram Panah keadaan tersebut apabila A adalah himpunan anak dan B adalah himpunan olahraga. 11/9/2020 6

A 11/9/2020 Suka akan B Anto. . Voli Andi. . Basket Budi. . Bulutangkis Badri. . Sepakbola 7

2. Diketahui P = { 1, 2, 3, 4 } dan Q = { 2, 4, 6, 8 }. Gambarlah diagram panah yang menyatakan relasi dari P dan Q dengan hubungan : a. Setengah dari b. Faktor dari Jawab : a. P 11/9/2020 Setengah dari Q 1. . 2 2. . 4 3. . 6 4. . 8 1 8

b. 11/9/2020 P Faktor dari Q 1. . 2 2. . 4 3. . 6 4. . 8 9

b. Diagram Cartesius Contoh : Diketahui A = { 1, 2, 3, 4, 5 } dan B = { 1, 2, 3, …, 10 }. Gambarlah diagram cartesius yang menyatakan relasi A ke B dengan hubungan : a. Satu lebihnya dari b. Akar kuadrat dari 11/9/2020 10

Jawab : a. Satu lebihnya dari Himpunan B 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 11/9/2020 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Himpunan A 11

Jawab : b. Akar kuadrat dari Himpunan B 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 11/9/2020 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Himpunan A 12

C. Himpunan pasangan berurutan Contoh : Himpunan A = { 1, 2, 3, … , 25} dan B = { 1, 2, 3, … , 10 }. Tentukan himpunan pasangan berurutan yang menyatakan relasi A ke B dengan hubungan : a. kuadrat dari b. dua kali dari 11/9/2020 c. Satu kurangnya dari 13

B. FUNGSI 1. Pengertian Fungsi Sebuah fungsi f : x y adalah suatu aturan yang memasangkan tiap anggota x pada suatu himpunan (daerah asal / domain), dengan tepat sebuah nilai y dari himpunan kedua (daerah kawan / kodomain). Himpunan nilai yang diperoleh disebut daerah hasil / range fungsi tersebut. Untuk lebih memahami pengertian diatas perhatikan contoh berikut : 11/9/2020 15

Contoh : Perhatikan diagram panah dibawah ini : A B. 1 0. 2. 4. 6. Daerah asal/ Domain 11/9/2020 . 2. 3 Daerah hasil/ Range . 4. 5 Daerah kawan/ kodomain 16

Dari diagram panah diatas dapat dilihat bahwa : 1. Fungsi A ke B adalah relasi khusus yang memasangkan setiap anggota A dengan tepat satu anggota B. 2. Himpunan A = { 0, 2, 4, 6 } disebut daerah asal ( Domain ), Himpunan B = { 1, 2, 3, 4, 5} disebut daerah kawan ( Kodomain ), dan { 1, 2, 5 } disebut daerah hasil ( Range ). 11/9/2020 17

2. Notasi Fungsi/ pemetaan dapat dinotasikan dengan huruf kecil f , g , h , dan sebagainya. Misal : f : x y dibaca f memetakkan x ke y , maka y = f(x) dibaca sama dengan f dari x digunakan untuk menunjukkan bahwa y adalah fungsi dari x. 11/9/2020 18

Suatu fungsi juga dapat dinyatakan dengan tiga cara yaitu dengan diagram panah , diagram cartesius , dan himpunan pasangan berurutan. Contoh : Diketahui A = { a, i, u, e, o } dan B = { 1, 2, 3, 4} a. Buatlah diagram panah yang menunjukkan pemetaan f yang ditentukan oleh : a 1 , i 2 , u 1 , e 4 , o 2. b. Nyatakan pula dengan diagram cartesius c. Nyatakan pula f sebagai himpunan 11/9/2020 19

Jawab : a. Diagram panah A B a. . 1 i. . 2 u. . 3 e. . 4 o. 11/9/2020 20

b. Diagram cartesius 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 11/9/2020 a i u e o 21

c. Himpunan pasangan berurutan { (a , 1) , (i , 2) , (u , 1) , (e , 4) , (o , 2) } 11/9/2020 22

3. Banyaknya pemetaan dari dua himpunan Jika n(A) = a , dan n(B) = b , maka banyak pemetaan yang mungkin terjadi dari himpunan A ke B adalah ba dan himpunan B ke A adalah ab Contoh : Berapa banyaknya pemetaan yang mungkin terjadi untuk pemetaan berikut : a. Dari himpunan A = {a} dan B = {1} b. Dari himpunan C = {1} dan D = { a , b } 11/9/2020 23

c. Dari himpunan E = {a, b} dan F = {1} d. Dari himpunan G = {1} dan H = { a, b, c } e. Dari himpunan I = {1, 2} dan J = { a, b} f. Dari himpunan K = {a, i, u, e, o} dan L = {1, 2, 3} g. Dari himpunan M = {a, b, c, d} dan N = {1, 2, 3, 4, 5} Jawab : a. n(A) = 1 , n(B) = 1 Banyak pemetaan 11 = 1 b. n(C) = 1 , n(D) = 2 Banyak pemetaan 21 = 2 11/9/2020 24

c. n(E) = 2 , n(F) = 1 Banyak pemetaan 12 = 1 d. n(G) = 1 , n(H) = 3 Banyak pemetaan 31 = 3 e. n(I) = 2 , n(J) = 2 Banyak pemetaan 22 = 4 f. n(K) = 5 , n(L) = 3 Banyak pemetaan 35 = 243 g. n(M) = 4 , n(N) = 5 Banyak pemetaan 54 = 625 11/9/2020 25

4. Merumuskan suatu fungsi f : x y dibaca f memetakkan x ke y dan dapat dinyatakan dengan f(x). Maka rumus fungsi dapat ditulis f(x) = y. Contoh : Diketahui suatu fungsi f : x x + 2 dengan daerah asal fungsi { x/ 1 < x < 6, x A} a. Tentukan rumus fungsi ! b. Tentukan daerah asal fungsi ! c. Tentukan daerah hasil fungsi ! d. Jika f(x) = 15 , maka tentukan nilai x ! 11/9/2020 26

Jawab : a. Rumus fungsi f(x) = x +2 b. Daerah asal = { 2, 3, 4, 5 } c. Daerah hasil : f(x) = x + 2 untuk x = 2 f(x) = 2 + 2 = 4 x = 3 f(x) = 3 + 2 = 5 x = 4 f(x) = 4 + 2 = 6 x = 5 f(x) = 5 + 2 = 7 Jadi daerah hasil fungsi : { 4, 5, 6, 7 } d. f(x) = 15 x + 2 = 15 x = 15 – 2 x = 13 Jadi nilai x = 13 11/9/2020 27

Uji Kompetensi 4 1. Diketahui A = { 2, 3, 4, 5 } dan B = { 0, 1, 2, 3, } Relasi A ke B adalah “ dua lebihnya dari “ , maka : a. Himpunan pasangan berurutan : { ( 2, 0), (3, …), (…, 2), (…, …) } A B b. Diagram Panah 11/9/2020 28

Pembahasan 1. Diketahui A = { 2, 3, 4, 5 } dan B = { 0, 1, 2, 3, } Relasi A ke B adalah “ dua lebihnya dari “ , maka : a. Himpunan pasangan berurutan : { ( 2, 0), (3, 1), (4, 2), (5, 3) } b. Diagram Panah Dua lebihnya dari 11/9/2020 A B 2. 3. 4. 5. . 0. 1. 2. 3 29

2. Gambarlah relasi-relasi berikut dengan diagram panah. Kemudian tentukan termasuk fungsi atau bukan fungsi ! a. { (1, 2), (1, 3), (2, 4), (3, 5) } b. { (1, 1), (2, 2), (3, 3) } c. { (3, 4), (5, 6), (7, 8) } d. { (2, 3), (3, 4), (4, 5) } 11/9/2020 30

Pembahasan a. { (1, 2), (1, 3), (2, 4), (3, 5) } bukan fungsi karena ada anggota x yang berpasangan lebih dari satu dengan anggota y. x y 1. 2. 3. 11/9/2020 . 2. 3. 4. 5 Bukan fungsi 31

b. { (1, 1), (2, 2), (3, 3) } 11/9/2020 A B 1. . 1 2. . 2 3. . 3 Fungsi 32

c. { (3, 4), (5, 6), (7, 8) } 11/9/2020 P Q 3. . 4 5. . 6 7. . 8 Fungsi 33

d. { (2, 3), (3, 4), (4, 5) } 11/9/2020 K L 2. . 3 3. . 4 4. . 5 Fungsi 34

3. Fungsi f : x x + 3 mempunyai domain { -2, -1, 0, 1, 2 }. a. Tunjukkan fungsi f dalam diagram panah. b. Nyatakan dalam himpunan pasangan berurutan. c. Tulis range dari f. 11/9/2020 35

Pembahasan a. Fungsi f : x x + 3 , jadi f(x) = x + 3 Untuk x = -2 maka f(-2) = -2 + 3 = 1 x = -1 maka f(-1) = -1 + 3 = 2 x = 0 maka f(0) = 0 + 3 = 3 x = 1 maka f(1) = 1 + 3 = 4 x = 2 maka f(2) = 2 + 3 = 5 11/9/2020 x x+3 -2. -1. 0. 1. 2. 3. 4. 5 36

b. Himpunan pasangan berurutan { (-2, 1), (-1, 2), (0, 3), (1, 4), (2, 5) } c. Range (daerah hasil ) = ( 1, 2, 3, 4, 5 ) 11/9/2020 37

4. Suatu persamaan fungsi f(x) = ½ x + 1 dengan daerah asal { 2, 4, 6, 8, 10 }. Tentukan : a. Daerah hasil / bayangan. b. Himpunan pasangan berurutan. 11/9/2020 38

Pembahasan : a. f(x) = ½ x + 1 f(2) = ½. 2 + 1 = 1 + 1 = 2 f(4) = ½. 4 + 1 = 2 + 1 = 3 f(6) = ½. 6 + 1 = 3 + 1 = 4 f(8) = ½. 8 + 1 = 4 + 1 = 5 f(10) = ½. 10 + 1 = 5 + 1 = 6 Jadi Range / daerah hasil / daerah bayangan = { 2, 3, 4, 5, 6 } b. Himpunan pasangan berurutan { (2, 2), (4, 3), (6, 4), (8, 5), (10, 6) } 11/9/2020 39

5. Dengan tanpa membuat diagram panahnya terlebih dahulu , tentukan banyaknya pemetaan yang mungkin dari : a. A = {a, b, c} B = {1, 2} b. A = {1, 2} B = {a, b, c} c. A = {a, b, c} B = {1, 2, 3} d. A = {a, b, c} B = {1, 2, 3, 4} e. A = {1, 2} B = {a, b, c, d} 11/9/2020 40

Pembahasan a. A = {a, b, c} b. A = {1, 2} c. A = {a, b, c} 27 d. A = {a, b, c} 64 e. A = {1, 2} 16 11/9/2020 B = {1, 2} ------ 2 3 = 8 B = {a, b, c} ----- 3 2 = 9 B = {1, 2, 3} ------- 3 3 = B = {1, 2, 3, 4} ----- 4 3 = B = {a, b, c, d} ----- 4 2 = 41

C. Menghitung Nilai Fungsi Untuk menghitung nilai fungsi dapat digunakan rumus : f (x) = ax + b Contoh : 1. Suatu fungsi ditentukan dengan f : x 5 x 3 Tentukan : a. Rumus fungsi. b. Nilai fungsi untuk x = 4 dan x = -1. 11/9/2020 42

Jawab : a. Rumus fungsinya f(x) = 5 x – 3 b. Nilai fungsi f(x) = 5 x – 3 untuk x = 4 maka f(4) = 5. 4 – 3 = 17 x = -1 maka f(-1) = 5. (-1) – 3 = -8 Jadi nilai fungsi untuk x = 4 adalah 17 dan x = -1 adalah -8 11/9/2020 43

2. 11/9/2020 Suatu fungsi dirumuskan g (x) = -4 x + Tentukan : a. g ( -2 ) b. Nilai a jika g (a) = -5 44

Jawab : a. g (x) = -4 x + 3 g (- 2 ) = -4. (- 2 ) + 3 =8+3 = 11 b. g (a) = - 4 a + 3 = - 5 - 4 a = - 5 – 3 - 4 a = - 8 a = 2 11/9/2020 45

D. MENENTUKAN BENTUK FUNGSI 11/9/2020 Suatu fungsi dapat ditentukan bentuknya jika data fungsi diketahui. Bentuk fungsi linier dapat dirumuskan sebagai f (x) = ax + b. Contoh : Suatu fungsi ditentukan dengan rumus f (x) = ax + b , jika f (2) = 10 dan f (-4) = -8. Tentukan : a. Nilai a dan b b. Bentuk fungsinya c. Bayangan dari – 3 46

Jawab : a. f (x) = ax + b f (2) = 2 a + b = 10 f (-4) = -4 a + b = -8 6 a = 18 a = 3 untuk a = 3 2 a + b = 10 2. 3 + b = 10 6 + b = 10 b =4 Jadi , nilai a = 3 dan b = 4 11/9/2020 47

b. f (x) = ax + b f (x) = 3 x + 4 Jadi , bentuk fungsinya f (x) = 3 x + 4 c. Bayangan dari – 3 f (x) = 3 x + 4 f (- 3) = 3 ( - 3 ) + 4 =-9+4 =-5 11/9/2020 48

Uji Kompetensi 5 1. Sebuah fungsi dirumuskan f (x) = x + 1 a. Tentukan f (2) , f (-3) , f ( ½ ) ! b. Tulislah daerah hasilnya ! c. Jika f (a) = 3 maka tentukan nilai a ! 11/9/2020 49

Pembahasan 11/9/2020 a. f (x) = x + 1 f (2) = 2 + 1 = 3 f (-3) = -3 + 1 = -2 f(½)=½+1=1½ b. Daerah hasil = { (2, 3), (-3, ½), (½, 1 ½) } c. f (a) = a + 1 3 =a+1 a =2 50

2. Sebuah fungsi h dirumuskan h (x) = x 2 – 4 a. Hitunglah h (-3) , h (5) , dan h (½) ! b. Tentukan p bila h (p) = 0 ! 11/9/2020 51

Pembahasan a. h (x) = x 2 – 4 h (-3) = (-3)2 – 4 = 9 – 4 = 5 h (5) = (5)2 – 4 = 25 – 4 = 21 h (½) = (½)2 – 4 = ¼ - 4 = - 3 3/4 b. h (p) = p 2 – 4 h (p) = 0 0 = p 2 - 4 p 2 = 4 p =2 11/9/2020 52

3. Diketahui f (x) = ax + b , jika f (1) = -3 dan f (0) = -1. Tentukan : a. Nilai a dan b b. Bentuk fungsinya 11/9/2020 53

Pembahasan a. f (x) = ax + b f (1) = a + b = 3 f (0) = b = -1 a = 4 Jadi a = 4 dan b = -1 b. bentuk fungsinya adalah : f (x) = 4 x - 1 11/9/2020 54

E. Menggambar Grafik Fungsi Untuk menggambar grafik fungsi ada cara yang mudah yang dapat dilakukan terlebih dahulu yaitu membuat tabel dengan mendaftar semua daerah asalnya. 1. Grafik Fungsi Linier Contoh : 1. Gambarlah grafik fungsi f (x) = x +1 dengan domain {x/0 x 5 , x C} 11/9/2020 55

Jawab : f (x) = x +1 daerah asal = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 } 3 4 5 0 x 1 2 5 6 1 2 3 4 x+1 {x, f(x)} (0, 1) (1, 2)(2, 3) (3, 4) (4, 5) (5, 6) 11/9/2020 56

Grafiknya : f (x) = x + 1 , x c (0, 1, 2, 3, 4, 5) {(0, 1), (1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5), (5, 6)} x+1 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 11/9/2020 0 1 2 3 4 5 x 57

2. a. Buatlah tabel fungsi g : x -2 x + 1 dengan daerah asal { -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 } ! b. Berdasarkan tabel tersebut tentukan : (i) bayangan dari -2 , 0 , dan 2 ! (ii) himpunan pasangan berurutan ! (iii) gambarlah grafik fungsi tersebut pada bidang cartesius , kemudian hubungkan titik-titik tersebut sehingga 11/9/2020 58

Jawab : a. g (x) = - 2 x + 1 -4 -3 -2 -2 x 8 6 4 -1 2 0 0 1 -2 2 3 -4 -6 x 1 1 1 1 g (x) 9 7 5 3 1 -1 -3 -5 1 11/9/2020 59

b. (i) Bayangan dari : -2 adalah 5 0 adalah 1 2 adalah -3 (ii) Himpunan pasangan berurutan : { (-4, 9), (-3, 7), (-2, 5), (-1, 3), (0, 1), (1, 1), (2, -3), (3, -5) } 11/9/2020 60

g (x) = -2 x + 1 (iii) Grafiknya : 9 8 7 6 5 4 3 2 1 -4 -3 -2 -1 0 -1 -2 1 2 3 -3 -4 -5 11/9/2020 61

Uji Kompetensi 6 1. Tentukanlah f (x) = 2 x untuk daerah asal { x/ -4 x < 4 , x B }. a. Buatlah tabel fungsinya ! b. Tulislah rangenya ! c. Gambarlah grafik fungsinya ! 11/9/2020 62

Pembahasan a. Tabel fungsi : f(x) = 2 x x -4 -3 -2 f(x) -8 -6 -1 0 -4 -2 0 x, f(x)(-4, -8) (-3, -6) (-2, -4) (-1, -2) (0, 0) 1 2 3 2 4 6 (1, 2) (2, 4) (3, 6) b. Range : { -8, -6, -4, -2, 0, 2, 4, 6 } 11/9/2020 63

Grafiknya : 9 8 7 6 5 4 3 2 1 -4 -3 -2 -1 0 -1 -2 1 2 3 -3 -4 -5 -6 11/9/2020 64

11/9/2020 65

11/9/2020 66

11/9/2020 67

11/9/2020 68

11/9/2020 69

11/9/2020 70

11/9/2020 71

11/9/2020 72

11/9/2020 73

11/9/2020 74

11/9/2020 75

11/9/2020 76