MATEMATIKA KELAS VIII SEMESTER SATUGANJIL MATERI DAN LATIHAN

MATEMATIKA KELAS VIII SEMESTER SATU/GANJIL MATERI DAN LATIHAN BAB II RELASI DAN FUNGSI 11/24/2020 1

SELAMAT BELAJAR SEMOGA BERHASIL DAN SUKSES 11/24/2020 2

By : Rita Sari Sekar Utami 11/24/2020 3

A. RELASI 1. Pengertian Relasi ( hubungan ) dari himpunan A ke B adalah pemasangan anggota-anggota A dengan anggota-anggota B. Relasi dalam matematika misalnya : lebih dari , kurang dari , setengah dari , faktor dari , dan sebagainya. Contoh : Diketahui A = { 1, 2, 3, 4 } dan B = { 1, 2, 3 }. Jika himpunan A ke himpunan B dinyatakan relasi “ kurang dari “ , maka lebih jelasnya dapat ditunjukkan pada gambar di bawah : 11/24/2020 4

Kurang dari A B 1. 2. 3. 4. . 1. 2. 3 Diagram disamping dinamakan diagram panah. Arah relasi ditunjukkan dengan anak panah dan nama relasinya adalah “ kurang dari “ 11/24/2020 5

2. Menyatakan Relasi antara dua himpunan dapat dinyatakan dengan 3 cara , yaitu : Diagram Panah , Diagram Cartesius , dan Himpunan pasangan berurutan. a. Diagram Panah Contoh : 1. Jika Anto suka sepakbola , Andi suka voli dan bulutangkis serta Budi dan Badri suka basket dan sepakbola. Buatlah Diagram Panah keadaan tersebut apabila A adalah himpunan anak dan B adalah himpunan olahraga. 11/24/2020 6

A 11/24/2020 “Suka” B Anto. . Voli Andi. . Basket Budi. . Bulutangkis Badri. . Sepakbola 7

b. Diagram Cartesius Contoh : Diketahui A = { 1, 2, 3, 4, 5 } dan B = { 1, 2, 3, …, 10 }. Gambarlah diagram cartesius yang menyatakan relasi A ke B dengan hubungan : a. Satu lebihnya dari 11/24/2020 8

Jawab : a. Satu lebihnya dari Himpunan B 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 11/24/2020 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Himpunan A 9

C. Himpunan pasangan berurutan Contoh : Himpunan A = { 1, 2, 3, … , 25} dan B = { 1, 2, 3, … , 10 }. Tentukan himpunan pasangan berurutan yang menyatakan relasi A ke B dengan hubungan : a. kuadrat dari b. dua kali dari 11/24/2020 10

Jawab : a. { (1, 1), (4, 2), (9, 3), (16, 4), (25, 5) } b. { (2, 1), (4, 2), (6, 3), (8, 4), (10, 5), (12, 6), (14, 7), (16, 8), (18, 9), (20, 10) } 11/24/2020 11

B. FUNGSI 1. Pengertian Fungsi Sebuah fungsi f : x y adalah suatu aturan yang memasangkan tiap anggota x pada suatu himpunan (daerah asal / domain), dengan tepat satu nilai y dari himpunan kedua (daerah kawan / kodomain). 11/24/2020 12

Contoh : Perhatikan diagram panah dibawah ini : A B. 1 0. 2. 4. 6. Daerah asal/ Domain 11/24/2020 . 2. 3 Daerah hasil/ Range . 4. 5 Daerah kawan/ kodomain 13

Dari diagram panah diatas dapat dilihat bahwa : 1. Fungsi A ke B adalah relasi khusus yang memasangkan setiap anggota A dengan tepat satu anggota B. 2. Himpunan A = { 0, 2, 4, 6 } disebut daerah asal ( Domain ), Himpunan B = { 1, 2, 3, 4, 5} disebut daerah kawan ( Kodomain ), dan { 1, 2, 5 } disebut daerah hasil ( Range ). 11/24/2020 14

2. Notasi Fungsi/ pemetaan dapat dinotasikan dengan huruf kecil f , g , h , dan sebagainya. Misal : f : x y dibaca f memetakkan x ke y , maka y = f(x) dibaca “ y sama dengan f(x)” digunakan untuk menunjukkan bahwa y adalah fungsi dari x. 11/24/2020 15

Suatu fungsi juga dapat dinyatakan dengan tiga cara yaitu dengan diagram panah , diagram cartesius , dan himpunan pasangan berurutan. Contoh : Diketahui A = { a, i, u, e, o } dan B = { 1, 2, 3, 4} a. Buatlah diagram panah yang menunjukkan pemetaan f yang ditentukan oleh : a 1 , i 2 , u 1 , e 4 , o 2. b. Nyatakan pula dengan diagram cartesius c. Nyatakan pula f sebagai himpunan 11/24/2020 16

Jawab : a. Diagram panah A B a. . 1 i. . 2 u. . 3 e. . 4 o. 11/24/2020 17

b. Diagram cartesius 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 11/24/2020 a i u e o 18

c. Himpunan pasangan berurutan { (a , 1) , (i , 2) , (u , 1) , (e , 4) , (o , 2) } 11/24/2020 19

3. Banyaknya pemetaan dari dua himpunan Jika n(A) = a , dan n(B) = b , maka banyak pemetaan yang mungkin terjadi dari himpunan A ke B adalah ba dan himpunan B ke A adalah ab Contoh : Berapa banyaknya pemetaan yang mungkin terjadi untuk pemetaan berikut : a. Dari himpunan A = {a} dan B = {1} b. Dari himpunan C = {1} dan D = { a , b } 11/24/2020 20

c. Dari himpunan E = {a, b} dan F = {1} d. Dari himpunan G = {1} dan H = { a, b, c } e. Dari himpunan I = {1, 2} dan J = { a, b} f. Dari himpunan K = {a, i, u, e, o} dan L = {1, 2, 3} g. Dari himpunan M = {a, b, c, d} dan N = {1, 2, 3, 4, 5} Jawab : a. n(A) = 1 , n(B) = 1 Banyak pemetaan 11 = 1 b. n(C) = 1 , n(D) = 2 Banyak pemetaan 21 = 2 11/24/2020 21

c. n(E) = 2 , n(F) = 1 Banyak pemetaan 12 = 1 d. n(G) = 1 , n(H) = 3 Banyak pemetaan 31 = 3 e. n(I) = 2 , n(J) = 2 Banyak pemetaan 22 = 4 f. n(K) = 5 , n(L) = 3 Banyak pemetaan 35 = 243 g. n(M) = 4 , n(N) = 5 Banyak pemetaan 54 = 625 11/24/2020 22

4. Merumuskan suatu fungsi f : x y dibaca f memetakkan x ke y dan dapat dinyatakan dengan f(x). Maka rumus fungsi dapat ditulis f(x) = y. Contoh : Diketahui suatu fungsi f : x x + 2 dengan daerah asal fungsi { x/ 1 < x < 6, x A} a. Tentukan rumus fungsi ! b. Tentukan daerah asal fungsi ! c. Tentukan daerah hasil fungsi ! d. Jika f(x) = 15 , maka tentukan nilai x ! 11/24/2020 23

Jawab : a. Rumus fungsi f(x) = x +2 b. Daerah asal = { 2, 3, 4, 5 } c. Daerah hasil : f(x) = x + 2 untuk x = 2 f(x) = 2 + 2 = 4 x = 3 f(x) = 3 + 2 = 5 x = 4 f(x) = 4 + 2 = 6 x = 5 f(x) = 5 + 2 = 7 Jadi daerah hasil fungsi : { 4, 5, 6, 7 } d. f(x) = 15 x + 2 = 15 x = 15 – 2 x = 13 Jadi nilai x = 13 11/24/2020 24

soal: 1. Suatu persamaan fungsi f(x) = ½ x + 1 dengan daerah asal { 2, 4, 6, 8, 10 }. Tentukan : a. Daerah hasil / bayangan. b. Himpunan pasangan berurutan. 11/24/2020 25

Pembahasan : a. f(x) = ½ x + 1 f(2) = ½. 2 + 1 = 1 + 1 = 2 f(4) = ½. 4 + 1 = 2 + 1 = 3 f(6) = ½. 6 + 1 = 3 + 1 = 4 f(8) = ½. 8 + 1 = 4 + 1 = 5 f(10) = ½. 10 + 1 = 5 + 1 = 6 Jadi Range / daerah hasil / daerah bayangan = { 2, 3, 4, 5, 6 } b. Himpunan pasangan berurutan { (2, 2), (4, 3), (6, 4), (8, 5), (10, 6) } 11/24/2020 26

C. Menghitung Nilai Fungsi Untuk menghitung nilai fungsi dapat digunakan rumus : f (x) = ax + b Contoh : 1. Suatu fungsi ditentukan dengan f : x 5 x 3 Tentukan : a. Rumus fungsi. b. Nilai fungsi untuk x = 4 dan x = -1. 11/24/2020 27

Jawab : a. Rumus fungsinya f(x) = 5 x – 3 b. Nilai fungsi f(x) = 5 x – 3 untuk x = 4 maka f(4) = 5. 4 – 3 = 17 x = -1 maka f(-1) = 5. (-1) – 3 = -8 Jadi nilai fungsi untuk x = 4 adalah 17 dan x = -1 adalah -8 11/24/2020 28

2. 11/24/2020 Suatu fungsi dirumuskan g (x) = -4 x + Tentukan : a. g ( -2 ) b. Nilai a jika g (a) = -5 29

Jawab : a. g (x) = -4 x + 3 g (- 2 ) = -4. (- 2 ) + 3 =8+3 = 11 b. g (a) = - 4 a + 3 = - 5 - 4 a = - 5 – 3 - 4 a = - 8 a = 2 11/24/2020 30

D. MENENTUKAN BENTUK FUNGSI 11/24/2020 Suatu fungsi dapat ditentukan bentuknya jika data fungsi diketahui. Bentuk fungsi linier dapat dirumuskan sebagai f (x) = ax + b. Contoh : Suatu fungsi ditentukan dengan rumus f (x) = ax + b , jika f (2) = 10 dan f (-4) = -8. Tentukan : a. Nilai a dan b b. Bentuk fungsinya c. Bayangan dari – 3 31

Jawab : a. f (x) = ax + b f (2) = 2 a + b = 10 f (-4) = -4 a + b = -8 6 a = 18 a = 3 untuk a = 3 2 a + b = 10 2. 3 + b = 10 6 + b = 10 b =4 Jadi , nilai a = 3 dan b = 4 11/24/2020 32

b. f (x) = ax + b f (x) = 3 x + 4 Jadi , bentuk fungsinya f (x) = 3 x + 4 c. Bayangan dari – 3 f (x) = 3 x + 4 f (- 3) = 3 ( - 3 ) + 4 =-9+4 =-5 11/24/2020 33

Latihan SOAL 1. Sebuah fungsi dirumuskan f (x) = x + 1 a. Tentukan f (2) , f (-3) , f ( ½ ) ! b. Tulislah daerah hasilnya ! c. Jika f (a) = 3 maka tentukan nilai a ! 11/24/2020 34

Pembahasan a. f (x) = x + 1 f (2) = 2 + 1 = 3 f (-3) = -3 + 1 = -2 f(½)=½+1=1½ b. Daerah hasil = { 3, -2, 1 ½) } c. f (a) = a + 1 3 =a+1 a =2 11/24/2020 35

2. Sebuah fungsi h dirumuskan h (x) = x 2 – 4 a. Hitunglah h (-3) , h (5) , dan h (½) ! b. Tentukan p bila h (p) = 0 ! 11/24/2020 36

Pembahasan a. h (x) = x 2 – 4 h (-3) = (-3)2 – 4 = 9 – 4 = 5 h (5) = (5)2 – 4 = 25 – 4 = 21 h (½) = (½)2 – 4 = ¼ - 4 = - 3 3/4 b. h (p) = p 2 – 4 h (p) = 0 0 = p 2 - 4 p 2 = 4 p =2 11/24/2020 37

3. Diketahui f (x) = ax + b , jika f (1) = -3 dan f (0) = -1. Tentukan : a. Nilai a dan b b. Bentuk fungsinya 11/24/2020 38

Pembahasan a. f (x) = ax + b f (1) = a + b = 3 f (0) = b = -1 a = 4 Jadi a = 4 dan b = -1 b. bentuk fungsinya adalah : f (x) = 4 x - 1 11/24/2020 39

E. Menggambar Grafik Fungsi Untuk menggambar grafik fungsi ada cara yang mudah yang dapat dilakukan terlebih dahulu yaitu membuat tabel dengan mendaftar semua daerah asalnya. 1. Grafik Fungsi Linier Contoh : 1. Gambarlah grafik fungsi f (x) = x +1 dengan domain {x/0 x 5 , x C} 11/24/2020 40