Funes e suas representaes grficas MATEMTICA Ensino Mdio

Funções e suas representações gráficas MATEMÁTICA Ensino Médio, 1º Ano Função: conceito Prof. Luciano soares Pedroso Julho de 2018

Um pouco da história O conceito de função, presente nos mais diversos ramos da ciência, teve sua origem na tentativa de filósofos e cientistas em compreender a realidade e encontrar métodos que permitissem estudar e descrever os fenômenos naturais. Ao longo da História vários matemáticos contribuíram para que se chegasse ao conceito atual de função. Ao matemático alemão Leibniz (1646 -1716) atribuise a denominação função que usamos hoje. A representação de uma função pela notação (x) (lê-se: de x) foi atribuída ao matemático suíço Euler (1707 -1783), no século XVII. O Matemático alemão Dirichlet (1805 -1859) escreveu uma primeira definição de função muito semelhante àquela que usamos atualmente. Imagem : Christoph Bernhard Francke / Portrait of Gottfried Leibniz, c. 1700 / Herzog-Anton-Ulrich-Museum, Braunschweig / Public Domain.

Aplicação do conceito O conceito de função é um dos mais importantes da Matemática e ocupa lugar em destaque em vários de seus ramos, bem como em outras áreas do conhecimento. É muito comum e conveniente expressar fenômenos físicos, biológicos, sociais, etc. por meio de funções.

A noção intuitiva de função Situação 1 João vai escolher um plano de saúde entre duas opções: A e B. Veja as condições dos planos: Plano A: cobra um valor fixo mensal de R$ 140, 00 e R$ 20, 00 por consulta num certo período. Plano B: cobra um valor fixo mensal de R$ 110, 00 e R$ 25, 00 por consulta num certo período. Dependendo da necessidade, João fará 5, 6 ou 7 consultas. Qual o plano mais econômico para ele em cada situação? Observe que o gasto total de cada plano é dado em função do número de consultas dentro do período preestabelecido.

Às vezes, a polícia usa a evidência de pegada para estimar a altura de um suspeito e a altura é incluída em uma descrição que se torna parte dos “procurados”. Por volta de 1877, o antropólogo Paul Topinard coletou medidas de pé/altura e as usou para desenvolver a seguinte regra: Estime a altura de uma pessoa dividindo o comprimento de seu pé por 0, 15. (Um cálculo equivalente é estimar-se a altura multiplicando-se o comprimento do pé por 6, 67. ) Tente isso você mesmo – meça o comprimento de seu pé e, então, divida-o por 0, 15 (ou multiplique-o por 6, 67) para obter sua altura estimada. O resultado é razoavelmente preciso?

Um pequeno experimento: Vamos aferir o tamanho do pé e a altura de alguns colegas e verificar se há alguma relação entre essas grandezas. Vamos usar o Excel para compilar nossos dados: VAMOS LÁ. . .

Um pequeno experimento: Que conclusão chagamos após a realização desse experimento?

Situação 2 Na cidade do Recife, de acordo com valores em vigor desde 01/01/2015, um motorista de táxi cobra R$ 4, 32 de bandeirada (comum) mais R$ 2, 10 por quilômetro rodado (comum). Sabendo que o preço a pagar é dado em função do número de quilômetros rodados, calcule o preço a ser pago por uma corrida em que se percorreu 22 quilômetros? Imagem: The Wordsmith / Creative Commons Attribution-Share Alike 3. 0 Unported.

Situação 3 O diagrama a seguir considera a quantidade de litros de gasolina e os seus respectivos preços a pagar em um posto de combustível na cidade de Itapetim: Quantidade de litros (l) 1 2 3. . . 50 x Preço a pagar (R$) 3, 37 6, 74 10, 11. . . 168, 50 3, 27 x O preço a pagar é dado em função da quantidade de litros que se coloca no tanque, ou seja o preço depende do número de litros comprados. Agora, responda: a) Qual é o preço de 10 litros de gasolina? b) Quantos litros de gasolina podem ser comprados com R$ 43, 81? preço a pagar (p) = R$ 3, 27 vezes o número de litros (x) comprados p = 3, 27. x (lei da função ou fórmula matemática da função)

Situação 4 A tabela a seguir relaciona a medida do lado de um terreno quadrado (l), em metros, e o seu perímetro (P), também em metros. Medida do lado (l) Perímetro (P) 1 4 2 8 2, 5 10 3 12 4, 1 16, 4 Observe que o perímetro do quadrado é dado em função da medida do seu lado, isto é, o perímetro depende da medida do lado. A cada valor dado para a medida do lado corresponde um único valor para o perímetro. . perímetro (P) = 4 vezes a medida do lado (l ) ou P = 4. l Como o perímetro depende da medida do lado, ele é a variável dependente, a medida do lado é a chamada variável independente. . Agora, responda: l 4 l a) Qual o perímetro de um terreno quadrado cuja medida do lado é 3, 5 m? b) Qual a medida do lado do terreno quadrado cujo perímetro é de 22 m? l l

Situação 5 Uma maneira útil de interpretar uma função é considerá-la como uma máquina, onde os números que entram nessa máquina são processados ou calculados. Os números que saem da máquina são dados em função dos números que entram. Observe a seguir uma “máquina” de dobrar números. 1 2 - 3 4, 3 x Máquina de dobrar 2 4 - 6 8, 6 2 x Representando o número de saída n e o número de entrada x, temos: n = 2. x (fórmula matemática da função) Agora, invente uma “máquina de triplicar e somar 1”, baseada no exemplo acima, e escreva a fórmula matemática dessa função.

Ainda sobre “máquina de função”. . . Acesse o link http: //odeb. hol. es/maquina_funcao. swf e encontre um “máquina de função” (em formato flash) onde você coloca a função, o número de entrada e descobre o número de saída. Já no link http: //odeb. hol. es/relacao. swf você encontrará um “máquina de função” (em formato flash) onde você coloca número de entrada, observa o número de saída e descobre a fórmula da “máquina”.

A noção de função por meio de conjuntos 1) Observe os conjuntos A e B relacionados da seguinte forma: em A estão os números inteiros e em B, outros. Devemos associar cada elemento de A ao seu triplo em B -2∙ -1∙ 0 ∙ 1 ∙ 2 ∙ ∙ -8 ∙ -6 ∙ -4 ∙ -3 ∙ 0 ∙ 3 ∙ 6 A B Note que: - todos os elementos de A têm correspondente em B; - a cada elemento de A corresponde um único elemento de B. Nesse caso, temos uma função de A em B, expressa pela fórmula y = 3 x.

2) Dados A = {0, 4} e B = {2, 3, 5}, relacionamos A e B da seguinte forma: cada elemento de A é menor do que um elemento de B: 0 ∙ 4 ∙ ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 A B Nesse caso, não temos uma função de A em B, pois ao elemento 0 de A correspondem três elementos de B, e não apenas um único elemento de B.

3) Dados A = {- 4, - 2, 0, 2, 4} e B = {0, 2, 4, 6, 8}, associamos os elementos de A aos elementos de igual valor em B. -4∙ -2∙ 0 ∙ 2 ∙ 4 ∙ 6 ∙ 8 A B Observe que há elementos em A que não têm correspondente em B. Nesse caso, não temos uma função de A em B.

Definição e notação Dados dois conjuntos não vazios, A e B, uma função de A em B é uma relação que indica como associar cada elemento x do conjunto A a um único elemento y do conjunto B. Usamos a seguinte notação: A x B f(x) : A → B “A cada x de A corresponde um único (x) de B, levado pela função . ”

Uma pausa para um vídeo. . . No link https: //www. youtube. com/watch? v=HCr 6 Ys 0 zvr 8 vamos assistir um vídeo do Programa M 3 Matemática Multimídia da Universidade Estadual de Campinas (Unicamp). Vídeo: Descobrindo o algoritmo de Guido Série Matemática na Escola Objetivos 1. Apresentar as definições e exemplos de relação e de função. 2. Mostrar uma conexão histórica entre a música Gregoriana e a Matemática. Sinopse Um jovem aprende o segredo do monge Guido para compor músicas devocionais, no estilo Gregoriano. O segredo envolve relações entre um conjunto de notas musicais e um conjunto de letras do alfabeto.

Domínio, contradomínio e conjunto imagem O diagrama de flechas a seguir representa uma função f de A em B. Vamos determinar: 2∙ 3 ∙ 5 ∙ A ∙ 0 ∙ 2 ∙ 4 ∙ 6 ∙ 8 ∙ 10 B a) D(f) b) CD(f) = 2, 3, 5 ou D(f) = A CD(f) = 0, 2, 4, 6, 8, 10 ou CD(f) = B c) Im (f) d) f(3) Im(f) = 4, 6, 10 f(3) = 6 e) f(5) f) x para f(x) = 4 f(5) = 10 x = 2

Uma pausa para um vídeo. . . No link https: //www. youtube. com/watch? v=Uh. Ib. DZa. Obf. Q vamos assistir um vídeo do Programa M 3 Matemática Multimídia da Universidade Estadual de Campinas (Unicamp). Vídeo: Carro Flex Série Matemática na Escola Objetivos 1. Recordar conceitos básicos relacionados a funções; 2. Exemplificar o uso de funções no cotidiano. Sinopse Frentista ajuda cliente a descobrir quais são as proporções de álcool e gasolina que devem ser abastecidas em seu carro flex para que o custo tenha um valor preestabelecido.

Função e gráfico Coordenadas cartesianas A forma de localizar pontos no plano foi imaginada por René Descartes (1596 -1650), no século XVII. O sistema cartesiano é formado por duas retas perpendiculares entre si e que se cruzam no ponto zero. Esse ponto é denominado origem do sistema cartesiano e é frequentemente denotado por O. Cada reta representa um eixo e são nomeados Ox e Oy. Sobrepondo um sistema cartesiano e um plano, obtém-se o um plano cartesiano, cuja principal vantagem é associar a cada ponto do plano um par de números reais. Assim, um ponto A do plano corresponde a um par ordenado (m, n) com m e n reais. O eixo horizontal Ox é chamado de eixo das abscissas e o eixo vertical Oy, de eixo das ordenadas. Esses eixos dividem o plano em quatro regiões chamadas quadrantes. Imagem: Frans Hals / Portrait of René Descartes, c. 1649 -1700 / Louvre Museum, Richelieu, 2 nd floord, room 27 Paris / Public Domain. Eixo das ordenadas 2º Q y n 0 3º Q 1º Q A (m, n) m x Eixo das abscissas 4º Q

Gráfico de função O gráfico de uma função é o conjunto de pares ordenados (x, y) que tenham x pertencente ao domínio da função e y = f(x). Reconhecimento do gráfico de uma função Para saber se um gráfico representa uma função é preciso verificar se cada elemento do domínio existe apenas um único correspondente no contradomínio. Geometricamente significa que qualquer reta perpendicular ao eixo Ox deve interceptar o gráfico em um único ponto. y y y x Qualquer reta perpendicular ao eixo Ox intercepta o gráfico em um único ponto; portanto, o gráfico representa uma função de x em y. x Existem retas perpendiculares ao eixo Ox que interceptam o gráfico em mais de um ponto; portanto, o gráfico não representa uma função de x em y.

Matemática, 1º Ano, Função: conceito Domínio e imagem a partir do gráfico y f(b) Imagem: f(a) x f(b) ou [f(a), f(b)] f(a) a b Domínio: a x b ou [a, b] x

Matemática, 1º Ano, Função: conceito Função crescente e decrescente Todos os dias nos deparamos com notícias do tipo: • Número de católicos no Brasil diminuem, enquanto o número de evangélicos aumentam; • Dólar fecha em queda após quatro altas seguidas; • Mercado prevê mais inflação, queda maior do PIB e nova alta dos juros; • Com mercado de carros novos em queda, cresce a venda de veículos novos; • Previsão de inflação para 2015 continua subindo; • Agência aprova novas taxas, e conta de luz vai subir em todo o país.

Matemática, 1º Ano, Função: conceito Pensando no ENEM. . . (ENEM) O dono de uma farmácia resolveu colocar a vista do público o gráfico mostrado a seguir, que apresenta a evolução do total de vendas (em Reais) de certo medicamento ao longo do ano de 2011. De acordo com o gráfico, os meses em que ocorreram, respectivamente, a maior e a menor venda absoluta em 2011 foram Imagem: INEP-MEC a) março e abril. b) março e agosto. c) agosto e setembro. d) junho e setembro. e) junho e agosto. De acordo com o gráfico, os meses em que ocorreram, respectivamente, a maior e a menor venda absolutas em 2011 foram junho e agosto. Portanto item E. Agora analise os intervalos onde aconteceram crescimento (aumento) ou decrescimento (queda) das vendas do medicamento em questão.

Matemática, 1º Ano, Função: conceito Função crescente Função decrescente quando o valor de y aumentar conforme o de x aumentar, temos uma função crescente. quando o valor de y diminuir conforme o de x aumentar, temos uma função decrescente.

Matemática, 1º Ano, Função: conceito Pensando no SAEPE. . . 1) A função y = f(x) é crescente para 1 ≤ x < 3, decrescente para 3 ≤ x < 4 e é constante para x ≥ 4. O gráfico que mais adequadamente representa a função y = f(x) é Imagem: SEE-PE 2) Observe abaixo o gráfico de uma função real definida no intervalo [– 5, 6]. Essa função é decrescente em a) [– 5, – 3] U [3, 5] b) [– 3, 0] U [0, 3] c) [– 3, – 1] U [4, 6] d) [– 3, 0] U [5, 6] e) [– 1, 2] U [2, 4] Imagem: SEE-PE

Matemática, 1º Ano, Função: conceito Aplicação de função na Biologia. . . Imagem: INEP - MEC (ENEM) Um cientista trabalha com as espécies I e II de bactérias em um ambiente de cultura. Inicialmente, existem 350 bactérias da espécie I e 1 250 bactérias da espécie II. O gráfico representa as quantidades de bactérias de cada espécie, em função do dia, durante uma semana. Em que dia dessa semana a quantidade total de bactérias nesse ambiente de cultura foi máxima? a) Terça-feira. b) Quarta-feira. c) Quinta-feira. d) Sexta-feira. e) Domingo. A quantidade total de bactérias nesse ambiente de cultura foi máxima na terça feira, num total de 800 + 1100 = 1900, pois nos demais dias, temos: Segunda: 350 + 1250 = 1600; Quarta: 300 + 1450 = 1750; Quinta = 850 + 650 = 1500; Sexta: 300 + 1400 = 1700; Sábado: 290 + 100 = 1290 e Domingo: 0 + 1350 = 1350. Portanto a resposta é o item A.

Matemática, 1º Ano, Função: conceito Aplicação de função na Física. . . Um rapaz desafia seu pai para uma corrida de 100 m. O pai permite que o filho comece 30 m à sua frente. Um gráfico bastante simplificado dessa corrida é dado a seguir: Distância (m) 100 80 60 40 20 0 5 10 15 Tempo (s) a) Pelo gráfico, como é possível dizer quem ganhou a corrida e qual foi a diferença de tempo? O pai ganhou a corrida, pois ele chegou aos 100 m em 14 s e o filho, em 17 s; a diferença de tempo foi de 3 s. b) A que distância do início o pai alcançou seu filho? Cerca de 70 m. c) Em que momento depois do início da corrida ocorreu a ultrapassagem? Cerca de 10 s.

FUNÇÃO INJETORA, SOBREJETORA E BIJETORA

FUNÇÃO INJETORA: Dizemos que uma função é injetora se cada imagem possui, no máximo, um domínio.

FUNÇÃO SOBREJETORA: Dizemos que uma função é sobrejetora se a sua imagem é igual ao contradomínio

FUNÇÃO BIJETORA: Dizemos que uma função é bijetora se ela é injetora e sobrejetora ao mesmo tempo.

FUNÇÃO PAR: Dizemos que uma função é par se para valores de domínios opostos, temos a mesma imagem como resposta. Ex: f(x) = 3 x² - 5 f(1) = 3(1)² - 5 = -2 f(-1) = 3(-1)² - 5 = -2

FUNÇÃO ÍMPAR: Dizemos que uma função é ímpar se para valores de domínios opostos, temos imagens opostas como resposta. Ex: f(x) = 2 x 7 – 5 x f(1) = 2(1)7 – 5(1) = -3 f(-1) = 2(-1)7 - 5(-1) = 3

ESTUDO DAS FUNÇÕES Imagem: JC Santos/ Public Domain.

PLANO CARTESIANO PAR ORDENADO (x, y) Entendemos por par ordenado um conjunto de dois elementos, sendo: Produto cartesiano: A X B = {(X, Y)/ X B} Ae. Y

PLANO CARTESIANO Exemplo: Dados os conjuntos A={2, 3} e B={1, 3, 5}, teremos: A x B ={(2, 1), (2, 3), (2, 5), (3, 1), (3, 3), (3, 5)} primeiro elemento é do conjunto A e o segundo é do B. Essa forma de representação é denominada forma tabular.

PLANO CARTESIANO Forma gráfica: A = {2, 3} e B = {1, 3, 5} A x B = {(2, 1), (2, 3), (2, 5), (3, 1), (3, 3), (3, 5)} B x A = {(1, 2), (1, 3), (3, 2), (3, 3), (5, 2), (5, 3)} Y 5 3 . (2, 5) . (3, 5) . (2, 3). (3, 3) 1 . (2, 1). (3, 1) 0 2 3 X Y 2 . . (1, 2) . . . (3, 2). (5, 2) 0 1 3 3 (1, 3) (3, 3) (5, 3) 5 X

RELAÇÃO BINÁRIA Chamamos de relação binária de A em B qualquer subconjunto do produto cartesiano A x B. Seja A = {2, 3, 4} e B = {2, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, temos: A x B ={(2, 2), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (2, 7), (2, 8), (2, 9), (3, 2), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (3, 7), (3, 8), (3, 9), (4, 2), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (4, 7), (4, 8), (4, 9)} Chamemos uma relação binária R do produto cartesiano A x B, em que y é o consecutivo do dobro de x. R = {(X, Y)/ 2 X+1} A X B/ Y = R= {(2, 5), (3, 7), (4, 9)} A equação y = 2 x + 1 é a Lei da relação R.

DIAGRAMA DE FLECHAS A = {2, 3, 4} e B = {2, 4, 5, 6, 7, 8, 9} A relação R = {(x, y)/ A x B/ y = 2 x+1} em diagramas de flechas. R= {(2, 5), (3, 7), (4, 9)} A • 2 • 3 • 4 D = domínio CD = contradomínio B • 2 • 4 • 5 • 7 • 6 • 8 • 9 Im = imagem D = {2, 3, 4} são os primeiros elementos da relação R. CD = {2, 4, 5, 6, 7, 8, 9} são os elementos do conjunto B. Im = {5, 7, 9} são os elementos do conj. B que fazem parte da relação.

DIAGRAMA DE FLECHAS Exemplo: A = {1, 3, 4, 7} e B = {2, 3, 5, 9} A relação R = {(x, y)/ R= {(3, 2), (4, 3)} A R • 1 • 3 • 4 • 7 A x B/ y = x- 1} em diagramas de flechas. B • 2 D = {3 , 4} são os primeiros elementos da relação R. • 3 • 5 • 9 D = domínio Im = imagem CD = contradomínio CD = {2, 3, 5, 9} são os elementos do conjunto B. Im = {2, 3} são os elementos do conj. B que fazem parte da relação.

GRÁFICO CARTESIANO A = {1, 3, 4, 7} e B = {2, 3, 5, 9} Y R= {(3, 2), (4, 3)} 9 . (4, 3) 3 . (3, 2) 2 1 0 2 3 4 X

DEFINIÇÃO Sejam A e B conjuntos não vazios. Função é uma relação binária em que cada elemento x do conjunto A corresponde a um único elemento y do conjunto B. f: A → B lê-se: f é função de A em B. y = f(x) lê-se: y é função de x, com x Exemplos: A a) • 1 R 1 Aey B. B • 2 • 3 • 4 • 5 R 1 é uma função de A em B, pois cada elemento do conjunto A corresponde a um único elemento do conjunto B.

b) A • 1 c) R 2 B • 2 • 3 • 4 • 5 A • 1 • 3 R 2 é uma função de A em B, pois cada elemento do conjunto A corresponde a um único elemento do conjunto B. B • 2 • 3 • 5 R 3 não é uma função de A em B, pois o elemento 3 do conjunto A corresponde a dois elementos do conjunto B.

d) A R 4 B • 2 • 3 • 5 e) A • 1 R 5 R 4 não é uma função de A em B, pois o elemento 3 do conjunto A corresponde a três elementos do conjunto B. B • 2 • 3 • 4 • 5 R 3 não é uma função de A em B, pois o elemento 4 do conjunto A não corresponde a um elemento do conjunto B.

Quais diagramas representam funções? a) A B b) A • – 1 • 8 • 9 • 7 • 8 • 2 • 6 • 7 • 4 Sim A d) • 6 B e) • – 12 • 12 Não B c) • 1 • 4 B • 8 • 7 • 3 • 2 Sim B • 3 Não A A f) • 3 Sim A • – 2 • – 3 • – 1 • 0 B • 0 Não

DOMÍNIO, CONTRADOMÍNIO E IMAGEM Considerando uma função f: A→B, temos: B A f D(f) = {1, 3, 4} • 1 • 2 • 3 • 4 • 5 D(f) = A CD(f) = {2, 3, 5} Im(f) = {2, 3} lê-se: o domínio da função f é igual ao conjunto A. CD(f) = B lê-se: o contradomínio da função f é igual ao conjunto B. Im(f) = {2, 3} lê-se: o conj. imagem da função f está contido no CD.

IMAGEM DE UM ELEMENTO a) Considerando a função f(x)= x + 2, temos: f: (1) = 1 x + 2 = 3 (a imagem de 1 pela função f é f(1) = 3) f: (x) == – 2 x + 2 = 0 (a imagem de – 2 pela função f é f(– 2) = 0) f: (– 2) b) Considerando a função f(x)= – 2 x 2 – 3, temos: f: (x) – 2. 322– 3 – 3= = – 2. 9 – 3 = – 18 – 3 = – 21 f: (3) = – 2 x (a imagem de 3 pela função f é f(3) = – 21) – 2 x 2– 1) – 32 =– 3 = – 2. 1 – 3 = – 2 – 3 = – 5 f: (x) == – 2. ( f: (– 1) (a imagem de – 1 pela função f é f(– 1) = – 5)

RAIZ OU ZERO DE UMA FUNÇÃO Dada a função f de A em B, chamamos raiz (ou zero) da função todo elemento de A cuja imagem é zero. a) Na função f: IR→IR dada por f(x) = x + 2, temos: f: (– 2) = – 2 + 2 = 0 (portanto – 2 é raiz da função, ou seja, f(– 2) = 0) b) Na função f: IR→IR dada por f(x) = – 2 x 2 – 3, temos: f: (3) = – 2. 32 – 3 = – 2. 9 – 3 = – 18 – 3 = – 21 (portanto 3 não é raiz da função, pois f (3)= - 21 ≠ 0

QUALIDADES DE UMA FUNÇÃO INJETORA Seja f uma função de A em B (f: A B). Se para quaisquer elementos distintos do conjunto A (x 1 ≠ x 2) correspondem elementos diferentes do conjunto B (y 1 ≠ y 2), dizemos que a função é injetora. Exemplo: Dados os conjuntos A= {– 1, 0, 1} e B= {– 1, 1, 2, 3}, determinar a função f: A→B definida pela lei y = 2 x +1. x= – 1 y= 2. (– 1) + 1 y = – 2 +1 y= – 1 x= 0 y= 2. 0 + 1 y = 0 +1 y= 1 x= 1 y= 2. 1 + 1 y = 2 +1 y= 3 OBS: Cada elemento de A corresponde apenas a um elemento em B. A f B • – 1 • 0 • 1 • 2 • 1 • 3

FUNÇÃO SOBREJETORA Seja f uma função de A em B (f: A→B). Dizemos que f é uma função sobrejetora se o conjunto imagem for igual ao conjunto B. Im(f) = B ou Im(f) = CD(f) Exemplo: Dados os conjuntos A= {– 1, 1, 2} e B= {1, 7}, determinar a função f: A→B definida pela lei y= 2 x 2 – 1. x= – 1 y= 2. (– 1)2 – 1 y = 2. 1– 1 y= 2 – 1 y= 1 x= 1 y= 2. 12 – 1 y = 2. 1– 1 y= 2 – 1 y= 1 x= 2 y= 2. 22 – 1 y = 2. 4– 1 y= 8 – 1 y= 7 OBS: Cada elemento de B é imagem de pelo menos um elemento de A. A • – 1 f B • 1 • 2 • 7

FUNÇÃO BIJETORA Seja f uma função de A em B (f: A→B). Dizemos que f é uma função bijetora se for injetora e sobrejetora ao mesmo tempo. Neste caso, cada elemento distinto de A corresponde a um elemento distinto em B (injetora) e Im(f) = B (sobrejetora). Exemplo: Dados os conjuntos A= {0, 2, 4} e B= {– 1, 3, 7}, determinar a função f: A→B definida pela lei y= 2 x – 1. B A f x= 0 x= 4 x= 2 • 0 • – 1 y= 2. 0 – 1 y= 2. 2 – 1 y= 2. 4 – 1 • 2 y= 0 – 1 y= 8 – 1 • 3 y = 4 – 1 y= 7 y= 3 • 4 • 7 OBS: Cada elemento de B é imagem de pelo menos um elemento de A e cada elemento de A possui uma imagem distinta em B.

DOMÍNIO DE UMA FUNÇÃO REAL Determinar o domínio de uma função em IR, é determinar o subconjunto de IR, formados por todos os valores de x possíveis, para que as expressões resultem em um número real. Exemplos: Determine o domínio, em IR, das funções: a) b) 2 x – 6 ≥ 0 2 x ≥ 6 x≥ 3 2 x – 5 ≠ 0 2 x ≠ 5/2 D (f) = {x R/ x ≠ 5/2} D (f) = {x R/ x ≥ 3}

c) x+2>0 x > 0 – 2 x > – 2 D (f) = {x R/ x > -2} d) Não há restrição. Qualquer n. º real é possível. D(f) = IR

FUNÇÃO INVERSA Seja f: A→B, bijetora. Chama-se função inversa de f a função g: B→A, se, e somente se, f(m) = n equivaler a g(n) = m, quaisquer que sejam m A e n B. Seja f-1 a função inversa de f. Exemplo: Dados os conjuntos A= {1, 2, 3} e B= {6, 7, 8}, sendo f: A→B definida pela lei f(x)= x + 5. Teremos: f= {(1, 6), (2, 7), (3, 8)} e f-1= {(6, 1), (7, 2), (8, 3)} B A f -1 • 1 • 6 • 2 • 7 • 3 • 8 y= x + 5 • 1 • 6 • 2 • 7 • 3 • 8 y= x – 5

OBTENDO A FUNÇÃO INVERSA Exemplo 1: Seja a função: y= x + 5 na lei de correspondência f: A→B. Troca-se o x por y e vice-versa. Então teremos: x= y + 5 Isola-se o y. x – 5 = y Ou y= x – 5 Lei de correspondência da função f-1. Exemplo 2: Determinar a lei da função inversa de: A lei da inversa é igual a lei da função dada.

FUNÇÃO COMPOSTA Observe as tabelas: Percurso (km) Consumo (L) 10 20 30 40 1 2 3 4 Consumo (L) Custo (R$) 1 2 3 4 12, 00 24, 00 36, 00 48, 00 f(x)= 0, 1 x g(x)= 12 x Fazendo a composição das duas tabelas, podemos obter o custo do percurso sem verificar o consumo. Percurso (km) Custo (R$) 10 20 30 40 12, 00 24, 00 36, 00 48, 00 h(x)= 1, 2 x Essa lei é obtida fazendo a composição entre as funções g(x) e f(x), ou seja: g o f(x) = g[f(x)] = 12. [f(x)] g o f(x) = 12. (0, 1 x) h(x) = g o f(x) = 1, 2 x

FUNÇÃO COMPOSTA Percurso (km) A EM DIAGRAMAS Custo (R$) h • 12 • 10 • 24 • 20 C • 36 • 30 • 48 • 40 • 1 f • 2 • 3 Consumo (L) • 4 g B Observe que CD(f) = D(g) Então: h é g o f (função composta de g com f)

FUNÇÃO COMPOSTA Exemplos Dadas as funções f e g de IR em IR determine g o f e f o g: a) f(x)= x + 3 e g(x)= x 2 – 5. gof fog (g o f)(x)= g[f(x)] (f o g)(x)= f[g(x)] (g o f)(x)= [f(x)]2 – 5 (f o g)(x)= [g(x)] + 3 (g o f)(x)= [x + 3]2 – 5 (f o g)(x)= x 2 – 5 + 3 (g o f)(x)= x 2 +6 x + 9 – 5 (f o g)(x)= x 2 – 2 (g o f)(x)= x 2 +6 x + 4

FUNÇÃO COMPOSTA Dadas as funções f e g de IR em IR determine g o f e f o g: b) f(x)= x + 5 e g(x)= x 2 – 1. gof fog (g o f)(x)= g[f(x)] (f o g)(x)= f[g(x)] (g o f)(x)= [f(x)]2 – 1 (f o g)(x)= [g(x)] + 5 (g o f)(x)= [x + 5]2 – 1 (f o g)(x)= x 2 – 1 + 5 (g o f)(x)= x 2 +10 x + 25 – 1 (f o g)(x)= x 2 + 4 (g o f)(x)= x 2 +10 x + 24

Você conhece o Jogo Torre de Hanoi? Disponível em http: //www. elo 7. com. br/torre-dehanoi-pequena-jogo/dp/133409, acesso em 20/07/2015 A TORRE DE HANOI O jogo torre de Hanoi é muito utilizado para avaliar a capacidade de planejamento e solução de uma pessoa. O objetivo é transferir a torre de um pino para outro, de modo que uma peça maior nunca fique sobre uma peça menor.

TORRE DE HANOI – A LENDA “No grande templo de Brahma em Benares, numa bandeja de metal sob a cúpula que marca o centro do mundo, três agulhas de diamante servem de pilar a sessenta e quatro discos de ouro puro. Incansavelmente, os sacerdotes transferem os discos, um de cada vez, de agulha para agulha, obedecendo sempre a lei imutável de Brahma: Nenhum disco se poderá sobrepor a um menor. No início do mundo todos os sessenta e quatro discos de ouro, foram dispostos na primeira das três agulhas, constituindo a Torre de Brahma. No momento em que o menor dos discos for colocado de tal modo que se forme uma vez mais a Torre de Brahma numa agulha diferente da inicial, tanto a torre como o templo serão transformados em pó e o ribombar de um trovão assinalará o fim do mundo. ”

TORRE DE HANOI – O PROBLEMA Nº DE DISCOS discos, conforme quadro ao QUANTIDADE MÍNIMA DE MOV. 0 0 lado, determine o número 1 1 2 3 3 7 4 15 5 31 Para cada quantidade de mínimo de movimentos.

TORRE DE HANOI – GENERALIZANDO discos, qual o número mínimo de movimentos para dispor todos os n discos de uma Disponível em http: //www. elo 7. com. br/torre-dehanoi-pequena-jogo/dp/133409, acesso em 20/07/2015 Considere uma torre com n haste à outra? Perceba que, para n discos, o número mínimo de movimentos é 2 n – 1.

Brincando com a Torre de Hanoi com uma certa quantidade de discos, Mateus dispôs todos os discos de uma haste à outra, Disponível em http: //www. elo 7. com. br/torre-dehanoi-pequena-jogo/dp/133409, acesso em 20/07/2015 BRINCANCO COM A TORRE DE HANOI utilizando a quantidade mínima de movimentos. Sabendo que ele realizou 511 movimentos, determine a quantidade de discos que ele utilizou na torre.

DOBRANDO PAPEL EU CHEGO AO CÉU Quantas dobras devem ser realizadas numa folha de papel com um milímetro de espessura, para que a altura do papel Imagens produzidas pelo autor alcance o pé direito de uma sala com cerca de 4 m de altura? Chama-se pé direito a altura que vai do piso ao teto de uma construção.

Você já resolveu algum problema parecido com este? Imagem disponível em http: //commons. wikimedia. org/wiki/File: Jonata_Boy_with _headphone. svg, acesso em 25/07/2015 ANALISANDO A SITUAÇÃO Vamos organizar um quadro para anotar a resposta de alguns de vocês.

NOME Imagem disponível em http: //commons. wikimedia. org/wiki/F ile: Jonata_Boy_with_headphone. svg, acesso em 25/07/2015 PALPITE DE CADA ESTUDANTE Nº DE DOBRAS Quem será que acertou ou chegou mais perto da resposta correta? Vamos saber no final da aula!

EQUAÇÃO EXPONENCIAL Equações deste tipo, são chamadas de equações exponenciais.

EQUAÇÃO EXPONENCIAL - GENERALIZANDO Agora é com você! Cite exemplos de equações que não são exponenciais Imagem disponível em http: //commons. wikimedia. org/wiki/F ile: Jonata_Boy_with_headphone. svg, acesso em 25/07/2015 (contraexemplo)

RETOMANDO AS PROPRIEDADES DA POTENCIAÇÃO

RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES EXPONENCIAIS Resolver uma equação é obter o valor da incógnita que torna a igualdade verdadeira. Mas, antes de indicarmos a solução de uma equação precisamos analisar se o valor obtido atende a todas as exigências do problema e se pertence ao conjunto numérico que estamos considerando. No caso da equações exponenciais, também é importante lembrar que: Se duas potências de mesma base são iguais, então os seus expoentes também o são Exemplos: 1) Se 2 m = 25, então m = 5; 2) Sendo 36 = 3 t, então t = 6.

Matemática, 1º ano, Equações Exponenciais RESOLVENDO EQUAÇÕES EXPONENCIAIS Resolver no conjunto dos números naturais as equações:

A POPULAÇÃO DE UMA CIDADE

A REPRODUÇÃO DAS BACTÉRIAS

O NÚMERO DESCONHECIDO DE DAVI

RESOLVENDO OUTRAS EQUAÇÕES EXPONENCIAIS Resolver no conjunto dos números reais a equação:

RESOLVENDO OUTRAS EQUAÇÕES EXPONENCIAIS Resolver no conjunto dos números reais a equação:

RESOLVENDO OUTRAS EQUAÇÕES EXPONENCIAIS Resolver no conjunto dos números reais a equação:

A SOMA DE DUDA

O CABO DE AÇO

O CABO DE AÇO - CONTINUAÇÃO a) Nessas condições, qual a menor distância entre o cabo e a plataforma de apoio? b) Considerando as hastes com 2, 5 m de altura, qual deve ser a distância entre elas, se o comportamento do cabo seguir precisamente a função dada?

JUROS SOBRE JUROS

QUESTÃO DE VESTIBULAR

EXERCÍCIOS Respostas: a) {2} b) {-2/3} c) {6} d) {5}

EXERCÍCIOS Respostas: a) {4/5, - 16/5} b) {-1, 2}

EXERCÍCIOS 3. A população de uma colônia de bactérias dobra a cada 20 minutos. Em um experimento, colocou-se, inicialmente, em um tubo de ensaio, uma amostra com 1000 bactérias por milímetro. No final do experimento, obteve-se um total de 4, 096. 106 bactérias por mililitro. Determine o tempo do experimento. Resposta: 4 horas

RETOMANDO Agora que já sabemos como resolver uma equação exponencial, vamos retomar as situações-problema apresentadas no início da aula. Imagem disponível em http: //commons. wikimedia. org/wiki/File: Jonata_Boy _with_headphone. svg, acesso em 25/07/2015 Antes, tente resolver cada situação.

Brincando com a Torre de Hanoi com uma certa quantidade de discos, Mateus dispôs todos os discos de uma haste à outra, utilizando a quantidade mínima de movimentos. Sabendo que ele realizou 511 Disponível em http: //www. elo 7. com. br/torre-dehanoi-pequena-jogo/dp/133409, acesso em 20/07/2015 BRINCANCO COM A TORRE DE HANOI movimentos, determine a quantidade de discos que ele utilizou na torre. Resolução: 2 n – 1 = 511. Resolvendo a equação, temos que n = 9. Assim, Mateus utilizou 9 discos na Torre de Hanoi.

DOBRANDO PAPEL EU CHEGO AO CÉU Quantas dobras devem ser realizadas numa folha de papel com um milímetro de espessura, para que a altura do papel alcance o pé direito de uma sala com cerca de 4 m de altura? Imagens produzidas pelo autor

OUTRA FORMA DE RESOLVER Outra forma de resolver o problema anterior, é observando o comportamento da situação em uma planilha eletrônica (excel), por exemplo. Vejamos: Nº DE DOBRAS 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ALTURA (cm) 0, 1 0, 2 0, 4 0, 8 1, 6 3, 2 6, 4 12, 8 25, 6 51, 2 102, 4 204, 8 409, 6 ALTURA (m) 0, 001 0, 002 0, 004 0, 008 0, 016 0, 032 0, 064 0, 128 0, 256 0, 512 1, 024 2, 048 4, 096

INDICAÇÕES DE SITES Domínio Público - http: //www. dominiopublico. gov. br Portal da Matemática | OBMEP - http: //matematica. obmep. org. br Revista EM TEIA|UFPE – http: //www. gente. eti. br/edumatec/index. php? option=com_content&view=article&id=9&Itemid=12 TV Escola - http: //tvescola. mec. gov. br/ SBEM - http: //www. sbem. com. br/index. php Escola do Futuro – http: //futuro. usp. br Matemática UOL - http: //educacao. uol. com. br/matematica Coleção Explorando o Ensino da Matemática (Portal do professor) - http: //portal. mec. gov. br/index. php? option=com_content&view=article&id=12814&Itemid=872 Companhia dos Números - http: //www. eciencia. usp. br/ Site do ENEM - http: //www. enem. inep. gov. br LEM-Laboratório do Ensino da Matemática - http: //www. ime. unicamp. br/lem/ Só Matemática - http: //www. somatematica. com. br/ Revista Brasileira de História da Matemática - http: //www. sbhmat. com. br/

BIBLIOGRAFIA • Giovanni, José Ruy, 1937. Aprendendo matemática. – São Paulo: FTD, 1999. • Site: http: //www. modernadigital. com. br

Referências DANTE, Luiz Roberto Dante. Matemática: contexto & aplicações / Luiz Roberto Dante. – 2. ed. – São Paulo: Ática, 2013. Obra em 3 v. BIANCHINI, Edwaldo. Matemática, volume 1: versão beta / Edwaldo Bianchini, Herval Paccola. 2. ed. Ver. E ampl. – São Paulo: Moderna 1995. BUCCHI, Paulo. Curso prático de matemática / Paulo Bucchi – São Paulo: Moderna, 1998. STOCCO SMOLE, Kátia. Matemática: ensino médio 1 / Kátia Stocco Smole, Maria Ignez Diniz. - 8. ed. São Paulo: Saraiva 2013. LIMA, Elon Lages. A Matemática do ensino médio – volume 1 / Elon Lages Lima, Paulo Cezar Pinto Carvalho, Eduardo Wagner, Augusto César Morgado. – 10. ed. – Rio de Janeiro: SBM, 2012. BORBA, Fabiana Machado de. Jogos matemáticos para o ensino de função / Fabiana Machado de Borba. – Canoas, 2008.