Matemtica e suas Tecnologias Matemtica Ensino Mdio 2

Matemática e suas Tecnologias Matemática Ensino Médio, 2ª Série POLIEDROS: CLASSIFICAÇÃO E REPRESENTAÇÕES 1

MATEMÁTICA, 2ª Série Poliedros: classificação e representações POLIEDROS Nas nossas atividades de todos os dias, em todos os lugares por onde andamos, podemos observar com frequência a presença de poliedros. São presença certa em áreas como Arquitetura, Engenharia, Transportes, ou até mesmo dentro da nossa própria casa. Vejamos alguns exemplos: A caixa de sapatos que alguém da sua casa insiste em deixar fora do lugar ! Imagem: How can I recycle this / Creative Commons Attribution 2. 0 Generic 2

MATEMÁTICA, 2ª Série Poliedros: classificação e representações POLIEDROS Os dados que você e seus amigos jogam naquela partidinha de ludo, gamão ou em jogos de RPG. Imagem: Copat / Public Domain 3

MATEMÁTICA, 2ª Série Poliedros: classificação e representações POLIEDROS Ou até mesmo as famosas Pirâmides de Gizéh (dos Faraós Quéops, Quéfren e Miquerinos), que ocupam uma área de 129. 000 metros quadrados. Imagem: Sebi / Public Domain 4

MATEMÁTICA, 2ª Série Poliedros: classificação e representações POLIEDROS Agora, vamos pensar no seguinte: Imagem: How can I recycle this / Creative Commons Attribution 2. 0 Generic Imagem: Copat / Public Domain Imagem: Sebi / Public Domain O que todos eles têm em comum ? ? ? 5

MATEMÁTICA, 2ª Série Poliedros: classificação e representações Vamos ver: POLIEDROS • Possuem superfícies externas na forma de polígonos (triângulos, quadrados ou retângulos). A elas damos o nome de faces. Com um detalhe: algumas delas recebem um nome especial, que são as bases (nos que têm duas bases Imagem: Pumbaa 80 / Public Domain bases), pois alguns deles têm apenas uma, como as pirâmides; pirâmides • Possuem segmentos de reta que são os encontros de duas faces. São as arestas; arestas Vértice Base Aresta Face Base • Possuem pontos que são o encontro de três ou mais arestas. São as vértices 6

MATEMÁTICA, 2ª Série Poliedros: classificação e representações Vértice POLIEDROS A diferença nas pirâmides é uma só !! Observe: Elas possuem apenas uma base ! Base E o vértice superior é um só e dele partem todas as arestas laterais !! Imagem: Crimson Cherry Blossom / Public Domain 7

MATEMÁTICA, 2ª Série Poliedros: classificação e representações POLIEDROS Agora vamos classificar os poliedros. Isso é feito de modo parecido com as denominações do polígonos, que recebem o nome de acordo com um número de lados, enquanto os poliedros recebem o nome de acordo com um número de faces que possuem. Vamos aos nomes dos principais deles: Poliedro Planificação Nº de faces 4 6 8 12 20 Nome tetraedro hexaedro octaedro dodecaedro icosaedro Imagens a, b, c, d, e: DTE / GNU Free Documentation License Imagens f, g, h, i, j: Júlio Reis / Creative Commons Attribution-Share Alike 3. 0 Unported 8

MATEMÁTICA, 2ª Série Poliedros: classificação e representações POLIEDROS Agora vamos diferenciar poliedros convexos e não convexos, observando o cubo abaixo: A C B D Destacando a face frontal ABCD, podemos perceber facilmente que o plano que a contém, divide o espaço em duas regiões (semi-espaços), de maneira que todo o restante do cubo está em um destes semi-espaços. Quando isso acontece, dizemos que o poliedro é convexo. 9

MATEMÁTICA, 2ª Série Poliedros: classificação e representações POLIEDROS Agora vamos diferenciar poliedros convexos e não convexos, observando o poliedro abaixo: Porção do poliedro no outro semiespaço Porção do poliedro em um dos semiespaços Imagens: SEE-PE, redesenhado a partir de imagem de Autor Desconhecido. Face que define o plano que separa as porções do poliedro A face definida pelos pontos I, J, L e M, define também um plano que “divide” o poliedro em duas regiões, cada uma delas localizada em um semi-espaço diferente, ou seja, cada um dos semi-espaços definidos pelo plano de IJLM, que IJLM contém uma “porção” do poliedro. Logo, ele é dito não convexo. 10

MATEMÁTICA, 2ª Série Poliedros: classificação e representações POLIEDROS Vamos rever o quadro dos principais poliedros e acrescentar nele informações do tipo: quantas arestas e quantos vértices têm cada um deles. Poliedro tetraedro hexaedro Nº de faces 4 6 Nº de arestas 6 12 Nº de vértices 4 8 octaedro dodecaedro icosaedro 12 12 30 20 Imagens a, b, c, d, e: DTE / GNU Free Documentation License 11

MATEMÁTICA, 2ª Série Poliedros: classificação e representações POLIEDROS Observe que em todos Percebeu alguma os poliedros a soma do regularidade nos número de vértice mais números do o de faces é igual a soma do número de quadro anterior? ? arestas mais 2 Vamos ver alguns detalhes do quadro novamente ? ? Imagem: Emanuel Handmann / United States Public Domain Poliedro Nº de vértices (V) Nº de faces (F) Nº de arestas (A) TETRAEDRO 4 4 6 4 + 4 = 6 + 2 HEXAEDRO 8 6 12 8 + 6 = 12 + 2 OCTAEDRO 6 8 12 6 + 8 = 12 +2 DODECAEDRO 20 12 30 20 + 12 = 30 + 2 ICOSAEDRO 12 20 30 12 + 20 = 30 + 2 V + F = A + 2 12

MATEMÁTICA, 2ª Série Poliedros: classificação e representações POLIEDROS. . . e recebe o nome de Relação de Euler, em homenagem a mim. . . É uma relação que existem em todos os poliedros convexos. . . A propósito, meu nome é Leonhard Paul Euler. Nasci em São Petersburgo, em 1707. Desenvolvi trabalhos em áreas como a Física, Filosofia e Matemática. Imagem: Emanuel Handmann / United States Public Domain 13

MATEMÁTICA, 2ª Série Poliedros: classificação e representações POLIEDROS Agora, então, vamos definir a Relação de Euler para que você possa utilizá-la. . . V + F = A + 2 Observe ao lado a fórmula que relaciona vértices , faces e arestas de um poliedro convexo. . . A partir de agora, você poderá encontrar informações sobre os poliedros, relacionando estes dados Imagem: Emanuel Handmann / United States Public Domain 14

MATEMÁTICA, 2ª Série Poliedros: classificação e representações POLIEDROS Soma dos ngulos das Faces de um Poliedro Convexo: Consideremos um poliedro convexo com 2 faces pentagonais e 5 faces quadrangulares (figura abaixo), que possui 10 vértices. Para calcular a soma dos ângulos de suas faces, basta lembrar que a soma S 1 dos ângulos internos de um polígono convexo de n lados é dada pela relação: S 1 = (n – 2). 180º A soma dos ângulos de uma face quadrangular é dada por: S 1 = (4 – 2). 180º = 2. 180º = 360º Como são 5 faces, temos: 5. 360º = 1. 800º (SA) Imagem: SEE-PE, redesenhado a partir de imagem de Autor Desconhecido. A soma dos ângulos de uma face pentagonal é dada por: S 1 = (5 – 2). 180º = 3. 180º = 540º Como são 2 faces, temos: 2. 540º = 1. 080º (SB) 15

MATEMÁTICA, 2ª Série Poliedros: classificação e representações POLIEDROS Sendo assim, a soma S dos ângulos das faces deste poliedros será dada por: S = SA + SB = 1. 800º + 1. 080º = 2. 880º O que é equivalente a termos este valor dado pelo produto entre o número de vértices do poliedro menos 2, multiplicado por 360º. Observe: S = (V – 2). 360º Na tela anterior, vimos que o poliedro em questão tem 10 vértices. Logo: S = (10 – 2). 360º = 8. 360º = 2. 880º 16

MATEMÁTICA, 2ª Série Poliedros: classificação e representações POLIEDROS E isso aí, Euler. Vamos concluir falando sobre os Poliedros Regulares e os meus poliedros, ou seja, os Poliedros de Platão. . . Para concluir nosso estudo sobre poliedros, sua classificação e suas representações, passo a “bola” para um cara que é “fera”. . . Fala aí, Platão. . . Imagem: Emanuel Handmann / United States Public Domain Vamos lá, pessoal. . . Imagem: Autor desconhecido / United States Public Domain 17

MATEMÁTICA, 2ª Série Poliedros: classificação e representações POLIEDROS Bom. . . mas antes vou falar um pouco de mim. Sou grego, nasci em 427 a. C. Desenvolvi trabalhos nas áreas da Filosofia e da Matemática. . . Imagem: Autor desconhecido / United States Public Domain Mas minha paixão declarada era realmente a Geometria. . . A paixão de Platão pela matemática era tanta que, às portas de sua escola, ele mantinha a seguinte inscrição, em destaque: όποιος αγνοεί την γεωμετρία εισάγετε εδώ Que ninguém que ignore a Geometria entre aqui 18

MATEMÁTICA, 2ª Série Poliedros: classificação e representações POLIEDROS Poliedros de Platão: Um Poliedro para ser de Platão, tem que possuir as seguintes características : I. Todas as faces têm que ter o mesmo números de arestas; II. Todos os ângulos poliédricos têm o mesmo número de arestas; III. É válida a Relação de Euler. Bom, Velhinho! Vamos antes definir o que é um ângulo poliédrico, ok ? Imagem: Pumbaa 80 / Public Domain 19

MATEMÁTICA, 2ª Série Poliedros: classificação e representações POLIEDROS Sejam n (n 3) semirretas de mesma origem tais que nunca fiquem três num mesmo semiplano. Essas semirretas determinam n ângulos em que o plano de cada um deixa as outras semirretas em um mesmo semiespaço. A figura formada por esses ângulos é o ângulo poliédrico. Imagem: SEE-PE, redesenhado a partir de imagem de Autor Desconhecido. . Vamos ver isso . . . Apenas seu nome novamente daqui a muda de acordo com o número de arestas que Hehe. . . Eu sei que pouco nos Poliedros chegam nele. . . de Platão ! eu sou um gênio, . . . todos os vértices na mas vamos falar verdade são ângulos isso de um jeito poliédricos. . . mais simples. . . É moleza, não é . . . um ângulo pessoal ? ? poliédrico em um poliedro é a mesma coisa que um “bico”, onde chega uma certa quantidade de arestas. . . Imagem: Crimson Cherry Blossom / Public Domain 20

MATEMÁTICA, 2ª Série Poliedros: classificação e representações POLIEDROS Obedecendo as condições necessárias citadas agora, temos apenas cinco classes de Poliedros ditos de Platão. Vamos vê-los: ATENÇÃO: Com o objetivo de facilitar a compreensão e a visualização, os Poliedros que utilizamos até aqui são todos de Platão e Regulares. Vamos agora ver mais algumas características a respeito deles, o que os faz serem por isso de Platão ou Regulares. 21

MATEMÁTICA, 2ª Série Poliedros: classificação e representações POLIEDROS Obedecendo as condições necessárias citadas agora, temos apenas cinco classes de Poliedros ditos de Platão. Vamos vê-los: Poliedros de Platão NOME Nº de arestas por face (n) por vértice (m) FACES (F) VÉRTICES (V) ARESTAS (A) Tetraedro 4 4 6 3 3 Hexaedro 6 8 12 4 3 Octaedro 8 6 12 3 4 Dodecaedro 12 20 30 5 3 Icosaedro 20 12 30 3 5 O número de arestas por vértice denomina o ângulo poliédrico, ou seja, se chegam 3 arestas por vértice o ângulo é triédrico, e assim sucessivamente. 22

MATEMÁTICA, 2ª Série Poliedros: classificação e representações POLIEDROS Obedecendo as condições necessárias citadas agora, temos apenas cinco classes de Poliedros ditos de Platão. Vamos vê-los: Poliedros de Platão NOME Nº de arestas por face (n) por vértice (m) FACES (F) VÉRTICES (V) ARESTAS (A) Tetraedro 4 4 6 3 (triângulos) 3 Hexaedro 6 8 12 4 (quadriláteros) 3 Octaedro 8 6 12 3 (triângulos) 4 Dodecaedro 12 20 30 5 (pentágonos) 3 Icosaedro 20 12 30 3 (triângulos) 5 O número de arestas por face determina que tipo de região poligonal cada poliedro tem. Observe. . . Voltar ao slide 24 Só apertar quando passar pelo slide 24 23

MATEMÁTICA, 2ª Série Poliedros: classificação e representações POLIEDROS Beleza. . . mas me diz uma coisa: porque as faces dos poliedros que estamos estudando tem que ser nas formas desses polígonos aí ? ? Imagem: Ladyof. Hats / Public Domain 24

MATEMÁTICA, 2ª Série Poliedros: classificação e representações POLIEDROS Muito boa esta ! Mas vamos as explicações. . . Imagem: Ladyof. Hats / Creative Commons Attribution-Share Alike 3. 0 Unported Cada ângulo poliédrico (constituído por todas as faces que convergem num vértice) terá de ter menos de 360 graus. Por outro lado, cada um desses ângulos terá de ter pelo menos 3 faces (que corresponde a 3 regiões poligonais) Logo, as faces só podem ser triângulos (ângulos internos iguais a 60º), 60º) quadrados (ângulos internos iguais a 90º) e pentágonos (ângulos internos 90º) iguais a 108º) Com Hexágonos regulares isso não seria possível, pois seus ângulos internos medem 120º e 120º 3 vezes dá 360º !!! 25

MATEMÁTICA, 2ª Série Poliedros: classificação e representações Imagem: Ladyof. Hats / Creative Commons Attribution-Share Alike 3. 0 Unported POLIEDROS Vamos analisar cada caso individualmente. . . Com triângulos equiláteros: Como cada ângulo interno é de 60º, pode existir em cada vértice 3, 4 ou 5 triângulos, totalizando em cada ângulo poliédrico 180º, 240º ou 300º, respectivamente. Logo: 3 triângulos em cada vértice acontecem nos tetraedros. 4 triângulos em cada vértice acontecem nos octaedros. 5 triângulos em cada vértice acontecem nos icosaedros. Com quadrados: Como cada ângulo interno mede 90º, só podem existir em cada vértice 3 quadrados, totalizando em cada ângulo poliédrido 270º. Logo, 3 quadrados em cada vértice acontecem-se nos cubos. Com pentágonos: Como cada ângulo interno mede 108º, que só podem existir em cada vértice 3 pentágonos, totalizando em cada ângulo poliédrico 324º. Logo, 3 pentágonos em cada vértice são encontrados nos dodecaedros. Use este botão para observar esta relação. 26

MATEMÁTICA, 2ª Série Poliedros: classificação e representações POLIEDROS Apesar de um ter faces regulares e o outro não, em ambas são válidas as características exigidas. . . Imagem: Ladyof. Hats / Public Domain Outro detalhe importante: o poliedro para ser de Platão não precisa ser Regular. . . Observe abaixo: Imagens: DTE / GNU Free Documentation License Dodecaedro Regular Imagem: Pearson Scott Foresman / Public Domain Dodecaedro Irregular 27

MATEMÁTICA, 2ª Série Poliedros: classificação e representações POLIEDROS Poliedros Regulares: As condições para um Poliedro ser regular são bem específicas: I. Todas as faces são regiões poligonais regulares (polígonos regulares) e congruentes entre si; II. Todos os seus ângulos poliédricos também são congruentes entre si. Propriedade: Todo Poliedro Regular é também Poliedro de Platão. É? ? . . . Mas por quê ? ? 28

MATEMÁTICA, 2ª Série Poliedros: classificação e representações POLIEDROS A B Vamos ver: Tomemos como exemplo o hexaedro regular: Agora, vamos analisar suas características: C D I. Todas as faces do hexaedro regular (ou cubo) são quadrados, isto é, regiões poligonais regulares e congruentes entre si; II. Todas os ângulos poliédricos são triédricos (têm o mesmo número de arestas), sendo, portanto, congruentes entre si; III. A Relação de Euler vale para o hexaedro regular. Logo, o Hexaedro, além de Regular, é também de Platão, bem como todos os outros poliedros regulares. 29

MATEMÁTICA, 2ª Série Poliedros: classificação e representações POLIEDROS Devido exatamente as condições semelhantes que acabamos de ver, as classes dos poliedros regulares são as mesmas dos poliedros de Platão: Imagens a, b, c, d, e: DTE / GNU Free Documentation License 30

MATEMÁTICA, 2ª Série Poliedros: classificação e representações POLIEDROS Bom, pessoal. . . Depois de todas estas informações, tá na hora de nós exercitarmos o que aprendemos. Vamos a algumas atividades ? ? Vou ajudar vocês. . . Imagem: Ladyof. Hats / Public Domain 31

MATEMÁTICA, 2ª Série Poliedros: classificação e representações 1ª Questão: POLIEDROS Num poliedro convexo, o número de faces é 8 e o de vértices é 12. Qual o número de arestas deste poliedro ? ? Resolução: Utilizando a Relação de Euler, válida para todo poliedro convexo, temos: V + F = A + 2 12 + 8 = A + 2 = 20 A = 20 – 2 A = 18 Sendo assim, o poliedro tem 18 arestas. 2ª Questão: Um poliedro convexo é constituído por 6 arestas e o seu número de vértices é igual ao de faces. Quantos vértices ele possui? ? Resolução: Também utilizando a Relação de Euler, e a partir dos dados do problema (A = 6 e V = F), temos: (A = 6 e V = F) V + F = A + 2 V + V = 6 + 2 2 V = 8 V = 4 Logo, o poliedro tem 4 vértices. 32

MATEMÁTICA, 2ª Série Poliedros: classificação e representações POLIEDROS E aí, pessoal ? ? Fácil, né mesmo ? ? ? Imagem: Autor desconhecido / United States Public Domain Vamos em frente ? ? Dá uma olhada nestes agora. . . Imagem: Emanuel Handmann / United States Public Domain 33

MATEMÁTICA, 2ª Série Poliedros: classificação e representações 3ª Questão: POLIEDROS Um poliedro convexo tem 6 faces quadrangulares e 2 hexagonais. Qual o número de vértices deste poliedro ? Resolução: Inicialmente devemos calcular o número de arestas. Assim, teremos: • Nas 6 faces quadrangulares: 6 x 4 = 24 arestas. • Nas 2 faces hexagonais: 2 x 6 = 12 arestas. O total de faces do poliedro é : 6 + 2 = 8 faces Porém, como cada aresta é o encontro (interseção) de duas faces, cada uma delas acima foi contada duas vezes. Sendo assim, temos: • 2 A = 24 + 12 2 A = 36 A = 18 arestas Agora, vamos aplicar a Relação de Euler: V + F = A + 2 V + 8 = 18 + 2 V + 8 = 20 V = 20 – 8 V = 12 vértices Sendo assim, o poliedro tem um total de 12 vértices. 34

MATEMÁTICA, 2ª Série Poliedros: classificação e representações 4ª Questão: POLIEDROS (UFPE) O poliedro convexo que inspirou a bola de futebol é formado de faces regulares pentagonais e hexagonais. O número total de vértices é 60 e o de arestas é 90. Quantas são as faces hexagonais ? Resolução: Vamos chamar as faces pentagonais de x e as faces hexagonais de y. Assim, o total de faces será dado pela relação: F = x + y O número de arestas é 90, segundo o problema. Porém, ser formos calcular a partir dos dados acima, teríamos: 5 x + 6 y Porém, desta forma, cada uma delas é contada duas vezes, a realção correta é: 2 A = 5 x + 6 y. Logo, 5 x + 6 y = 180 (Equação 1). 2 A = 5 x + 6 y = 180 Lançando as informações básicas na Relação de Euler, temos: V + F = A + 2 60 + x + y = 90 + 2 x + y = 92 – 60 x + y = 32 (Equação 2). x + y = 32 As Equações 1 e 2 forma um sistema de equações cuja solução é: x = 12 e y = 20. Como queremos o número de faces hexagonais, dado por y, então a resposta do problema é: O poliedro tem 20 faces hexagonais. 35

MATEMÁTICA, 2ª Série Poliedros: classificação e representações 5ª Questão: POLIEDROS Um poliedro convexo é constituído por 6 ângulos triédricos e 4 ângulos tetraédricos. Quantas arestas possui o poliedro ? Resolução: Nos ângulos triédricos chegam 3 arestas. Logo: 6 x 3 = 18 arestas Nos ângulo tetraédricos chegam 4 arestas. Logo: 4 x 4 = 16 arestas Como elas são contadas duas vezes, temos a relação: 2 A = 18 + 16 2 A = 34 A = 17 Logo, o poliedro tem 17 arestas. 6ª Questão: Um poliedro convexo é constituído por 12 vértices. E de cada vértice partem 5 arestas. Quantas faces possui o poliedro? Resolução: Como de cada vértice partem 5 arestas, temos então ângulos pentaédricos. Assim, o número total de arestas é, em dobro: 2 A = 12 x 5 2 A = 60 A = 30. Sendo o número de vértice igual a 12 (V = 12), vamos lançar os dados na Relação de 12) Euler. Logo, teremos: V + F = A + 2 12 + F = 30 + 2 F = 32 – 12 F = 20 36 Logo, o número de faces do poliedro é 20.

MATEMÁTICA, 2ª Série Poliedros: classificação e representações Agora é com vocês. . . Tentem até conseguirem, ok? ? EXERCÍCIOS: Imagem: Ladyof. Hats / Public Domain 1. Um dodecaedro convexo possui todas as faces pentagonais. Quantas arestas possui este poliedro ? 2. poliedro? 3. ? 4. Um poliedro convexo constituído por 5 ângulos tetraédricos e 2 ângulos pentaédricos. Determine o número de arestas deste poliedro. ma 5. congruentes. Para costurar duas faces adjacentes, gastam-se 15 cm de linha. Quantos metros de linha são necessários para costurar todas as faces lado a lado ? 6. Calcule a soma dos ângulos das faces de um poliedro convexo constituído por 6 vértices. 7. Qual a soma dos ângulos das faces de um poliedro convexo constituído por 11 faces e 27 arestas ? 8. (Fuvest – SP) Quantas faces tem um poliedro convexo com 6 vértices e 9 arestas? 37

MATEMÁTICA, 2ª Série Poliedros: classificação e representações 9. possui este poliedro? 10. O número de faces de um poliedro convexo é igual ao número de vértices. Sabendo que esse poliedro é constituído por 10 arestas, determine o seu número de vértices. 11. (UFPE) Um poliedro convexo possui 10 faces com 3 lados, 10 faces com 4 lados e 1 face com 10 lados. Determine o número de vértices desse poliedro. 12. (UFRGS) Um poliedro convexo de 11 faces tem 6 delas triangulares e 5 quadrangulares. Os números de arestas e vértices deste poliedro são, respectivamente: a) 34 e 10. b) 19 e 10. c) 34 e 20. d) 12 e 10. e) 19 e 12 14. Qual é a soma dos ângulos das faces do poliedro convexo ao lado ? Imagem: SEE-PE 13. (Cefet – RJ) Um poliedro convexo de 17 arestas e 12 vértices tem somente faces quadrangulares e heptagonais. Os números de faces quadrangulares e heptagonais são, respectivamente, iguais a: a) 5 e 2. b) 2 e 5. c) 3 e 4. d) 4 e 3. e) 4 e 7. Os centros das faces de um hexaedro regular (cubo) de aresta 10 cm são vértices de um octaedro regular. Calcule a medida da aresta desse octaedro e a razão entre as áreas das superfícies desse octaedro e desse hexaedro, nessa ordem. Imagem: SEE-PE 38

MATEMÁTICA, 2ª Série Poliedros: classificação e representações POLIEDROS E o DESAFIO? ? Bem legal, não é mesmo ? ? O que achou dos exercícios ? ? Resolveu todos ? ? Imagem: Emanuel Handmann / United States Public Domain Imagem: Autor desconhecido / United States Public Domain Se um ou outro for mais difícil, peça ajuda ao professor. . . Você vai ver que vale a pena tentar. O gostinho de conseguir é legal !! Bons estudos a todos !! Imagem: Pumbaa 80 / Public Domain Imagem: Ladyof. Hats / Creative Commons Attribution-Share Alike 3. 0 Unported Imagem: Crimson Cherry Blossom / Public Domain 39

Tabela de Imagens Slide 2 3 4 Autoria / Licença How can I recycle this / Creative Commons Attribution 2. 0 Generic Copat / Public Domain Sebi / Public Domain 5. a How can I recycle this / Creative Commons Attribution 2. 0 Generic 5. b Copat / Public Domain 5. c 6 7 8. a 8. b 8. c 8. d Sebi / Public Domain Pumbaa 80 / Public Domain Crimson Cherry Blossom / Public Domain DTE / GNU Free Documentation License Link da Fonte Data do Acesso http: //commons. wikimedia. org/wiki/File: Shoe_b 03/04/2012 ox. jpg http: //commons. wikimedia. org/wiki/File: Silver_d 03/04/2012 ice. jpg http: //commons. wikimedia. org/wiki/File: Gizeh_ 04/04/2012 Mykerinos_02. JPG http: //commons. wikimedia. org/wiki/File: Shoe_b 04/04/2012 ox. jpg http: //commons. wikimedia. org/wiki/File: Silver_d 04/04/2012 ice. jpg http: //commons. wikimedia. org/wiki/File: Gizeh_ 04/04/2012 Mykerinos_02. JPG http: //commons. wikimedia. org/wiki/File: Smiley. 04/04/2012 svg http: //commons. wikimedia. org/wiki/File: CCB_sm 04/04/2012 iley. jpg http: //commons. wikimedia. org/wiki/File: Tetrahe 04/04/2012 dron. svg http: //commons. wikimedia. org/wiki/File: Hexahe 04/04/2012 dron. svg http: //commons. wikimedia. org/wiki/File: Octahe 04/04/2012 dron. svg http: //commons. wikimedia. org/wiki/File: POV 04/04/2012 40 Ray-Dodecahedron. svg

Tabela de Imagens Slide 8. e 8. f 8. g 8. h 8. i 8. j 10 a 10 b 11. a 11. b 11. c 11. d Autoria / Licença Link da Fonte Data do Acesso http: //commons. wikimedia. org/wiki/File: Icosahe 04/04/2012 DTE / GNU Free Documentation License dron. svg Júlio Reis / Creative Commons Attribution- http: //en. wikipedia. org/wiki/File: Tetrahedron_fl 05/04/2012 at. svg Share Alike 3. 0 Unported Júlio Reis / Creative Commons Attribution- http: //en. wikipedia. org/wiki/File: Hexahedron_fla 05/04/2012 t_color. svg Share Alike 3. 0 Unported Júlio Reis / Creative Commons Attribution- http: //en. wikipedia. org/wiki/File: Octahedron_fla 05/04/2012 t. svg Share Alike 3. 0 Unported Júlio Reis / Creative Commons Attribution- http: //en. wikipedia. org/wiki/File: Dodecahedron_ 05/04/2012 flat. svg Share Alike 3. 0 Unported Júlio Reis / Creative Commons Attribution- http: //en. wikipedia. org/wiki/File: Icosahedron_fla 05/04/2012 t. svg Share Alike 3. 0 Unported 10/04/2012 SEE-PE, redesenhado a partir de imagem de Acervo SEE-PE Autor Desconhecido. http: //commons. wikimedia. org/wiki/File: Tetrahe 04/04/2012 DTE / GNU Free Documentation License dron. svg http: //commons. wikimedia. org/wiki/File: Hexahe 04/04/2012 DTE / GNU Free Documentation License dron. svg http: //commons. wikimedia. org/wiki/File: Octahe 04/04/2012 DTE / GNU Free Documentation License dron. svg http: //commons. wikimedia. org/wiki/File: POV 04/04/2012 41 DTE / GNU Free Documentation License Ray-Dodecahedron. svg

Tabela de Imagens Slide 11. e 12 13 14 15 17. a 17. b 18 19 20 a 20 b 24 Autoria / Licença Link da Fonte Data do Acesso http: //commons. wikimedia. org/wiki/File: Icosahe 04/04/2012 DTE / GNU Free Documentation License dron. svg Emanuel Handmann / United States Public http: //commons. wikimedia. org/wiki/File: Leonha 05/04/2012 rd_Euler. jpeg Domain 10/04/2012 SEE-PE, redesenhado a partir de imagem de Acervo SEE-PE Autor Desconhecido. Autor desconhecido / United States Public http: //commons. wikimedia. org/wiki/File: Platon- 05/04/2012 2. jpg Domain Emanuel Handmann / United States Public http: //commons. wikimedia. org/wiki/File: Leonha 05/04/2012 rd_Euler. jpeg Domain Autor desconhecido / United States Public http: //commons. wikimedia. org/wiki/File: Platon- 05/04/2012 2. jpg Domain http: //commons. wikimedia. org/wiki/File: Smiley. 05/04/2012 Pumbaa 80 / Public Domain svg http: //commons. wikimedia. org/wiki/File: CCB_sm 05/04/2012 Crimson Cherry Blossom / Public Domain iley. jpg 10/04/2012 SEE-PE, redesenhado a partir de imagem de Acervo SEE-PE Autor Desconhecido. http: //commons. wikimedia. org/wiki/File: Smiley_ 05/04/2012 42 Ladyof. Hats / Public Domain green_alien_mmm. svg

Tabela de Imagens Slide Autoria / Licença 25 Ladyof. Hats / Creative Commons Attribution. Share Alike 3. 0 Unported 26 Ladyof. Hats / Creative Commons Attribution. Share Alike 3. 0 Unported 27. a Ladyof. Hats / Public Domain 27. b DTE / GNU Free Documentation License 27. c Pearson Scott Foresman / Public Domain 30. a DTE / GNU Free Documentation License 30. b DTE / GNU Free Documentation License 30. c DTE / GNU Free Documentation License 30. d DTE / GNU Free Documentation License 30. e DTE / GNU Free Documentation License 31 Ladyof. Hats / Public Domain 33. a Autor desconhecido / United States Public Domain Link da Fonte Data do Acesso http: //commons. wikimedia. org/wiki/File: Daphni 09/04/2012 _Leef_cartoon_vector. svg http: //commons. wikimedia. org/wiki/File: Smiley_ 09/04/2012 green_alien_aaah. svg http: //commons. wikimedia. org/wiki/File: POV 09/04/2012 Ray-Dodecahedron. svg http: //commons. wikimedia. org/wiki/File: Dodeca 09/04/2012 hedron_(PSF). png http: //commons. wikimedia. org/wiki/File: Tetrahe 09/04/2012 dron. svg http: //commons. wikimedia. org/wiki/File: Hexahe 09/04/2012 dron. svg http: //commons. wikimedia. org/wiki/File: Octahe 09/04/2012 dron. svg http: //commons. wikimedia. org/wiki/File: POV 09/04/2012 Ray-Dodecahedron. svg http: //commons. wikimedia. org/wiki/File: Icosahe 09/04/2012 dron. svg http: //commons. wikimedia. org/wiki/File: Smiley_ 09/04/2012 green_alien_mmm. svg http: //commons. wikimedia. org/wiki/File: Platon- 09/04/2012 43 2. jpg

Tabela de Imagens Slide 33. b 37 38 a 38 b 39. a 39. b 39. c 39. d 39. e Autoria / Licença Link da Fonte Data do Acesso Emanuel Handmann / United States Public http: //commons. wikimedia. org/wiki/File: Leonha 09/04/2012 Domain rd_Euler. jpeg Ladyof. Hats / Public Domain http: //commons. wikimedia. org/wiki/File: Smiley_ 09/04/2012 green_alien_mmm. svg 10/04/2012 SEE-PE, redesenhado a partir de imagem de Acervo SEE-PE Autor Desconhecido. Autor desconhecido / United States Public http: //commons. wikimedia. org/wiki/File: Platon- 09/04/2012 Domain 2. jpg Emanuel Handmann / United States Public http: //commons. wikimedia. org/wiki/File: Leonha 09/04/2012 Domain rd_Euler. jpeg Ladyof. Hats / Creative Commons Attributionhttp: //commons. wikimedia. org/wiki/File: Daphni 09/04/2012 Share Alike 3. 0 Unported _Leef_cartoon_vector. svg Crimson Cherry Blossom / Public Domain http: //commons. wikimedia. org/wiki/File: CCB_sm 09/04/2012 iley. jpg Pumbaa 80 / Public Domain http: //commons. wikimedia. org/wiki/File: Smiley. 09/04/2012 svg 44