Matemtica e suas Tecnologias Matemtica Ensino Mdio 2

Matemática e suas Tecnologias - Matemática Ensino Médio, 2ª Série Combinações simples

MATEMÁTICA, 2º Ano Combinações simples Vítor foi até a lotérica para fazer o seu jogo da Mega-sena. Ele nunca deixa de fazer a sua aposta. Só que ele não sabe, exatamente, onde está “pisando”, pois não tem ideia de quantas combinações são possíveis com os números do cartão. E você, sabe? Se sua resposta for “não”, aprenda nas próximas páginas.

MATEMÁTICA, 2º Ano Combinações simples Combinação é um dos tipos de agrupamentos estudados na Análise Combinatória. O sorteio dos números da Mega-sena é um caso de combinação, pois se refere a um tipo de sorteio no qual a sequência em que os números são sorteados não interfere no resultado final, ou seja, sortear os números 14, 37, 02, 51, 17 e 28 é a mesma coisa que sortear 37, 28, 14, 17, 02 e 51.

MATEMÁTICA, 2º Ano Combinações simples A Análise Combinatória tem por finalidade o estudo das propriedades dos diversos agrupamentos que se podem formar, segundo leis pré-estabelecidas, com um número finito de elementos de natureza qualquer. Dentre os vários tipos de agrupamentos que são estudados na Análise Combinatória, destacam-se: • A permutação simples; • O arranjo simples; • A combinação simples.

MATEMÁTICA, 2º Ano Combinações simples A Análise Combinatória, em particular, propõe-se pesquisar regras que permitam formar todos esses agrupamentos e calcular seu número. Exemplos: - De quantas maneiras diferentes cinco pessoas podem sentar-se nos bancos de um carro, sendo um no banco do motorista, um no banco do passageiro e três no banco traseiro? - Quantas sequências diferentes são possíveis para se assistir a três filmes selecionados em uma lista com cinco filmes?

MATEMÁTICA, 2º Ano Combinações simples Nas resoluções dos problemas, envolvendo Análise Combinatória, em particular nas combinações, os objetos que vamos utilizar serão denotados por meio das letras do alfabeto, a, b, c, d, . . . , m ou por meio de uma mesma letra acompanhada de índices a 1, a 2, a 3, a 4, . . . , an e, algumas vezes, pelos números, 1, 2, 3, . . . , n. Obviamente, o mais importante, na realização dos cálculos, é o número desses objetos e não o objeto em si.

MATEMÁTICA, 2º Ano Combinações simples Admitindo-se que o conjunto dado tenha n objetos, dele extrairemos um agrupamento contendo p objetos (p n), que suporemos dispostos linearmente e segundo uma ordem arbitrária, a 1, a 2, a 3, a 4, . . . , ap. Um agrupamento diz-se de ordem p, quando contém, justamente, p objetos. Exemplo: Um júri formado por 7 pessoas, selecionadas de um grupo de 21 pessoas. Neste caso, temos um agrupamento de ordem 7 (as 7 pessoas que formam o júri).

MATEMÁTICA, 2º Ano Combinações simples Chamam-se combinações simples de n elementos tomados p a p (p n) aos agrupamentos formados com p elementos, diferindo entre si pela espécie. Dizemos ainda: Denominam-se combinações simples de n elementos tomados p a p (p n), aos diferentes conjuntos que contêm p elementos, sem referência à ordem. Representa-se o número de cominações simples de n elementos tomados p a p pela notação: Cn, p ou ou

MATEMÁTICA, 2º Ano Combinações simples Fórmula das Combinações Simples O número de combinações simples de n elementos tomados p a p é igual a uma fração, cujo denominador é o produto dos p primeiros números naturais e cujo numerador é o produto dos p inteiros consecutivos decrescentes a partir de n. Assim: Cn, p = n! p! (n – p)! .

MATEMÁTICA, 2º Ano Combinações simples Propriedades das Combinações 1. O número de combinações de n elementos tomados p a p é igual ao número de combinações de n elementos tomados n – p a n – p. Exemplo: Havendo 8 pessoas para se formar uma comissão, o número de combinações possíveis com 3 pessoas é igual ao número de combinações possíveis com 5 pessoas, ou seja, C 8, 3 = C 8, 5, pois 3 + 5 = 8.

MATEMÁTICA, 2º Ano Combinações simples Propriedades das Combinações 2. O número de combinações de n elementos tomados p a p, que contêm r elementos dados, é expresso por Cn-r, p-r. Exemplo: Em um grupo de 10 pessoas deseja-se formar uma comissão com 5 pessoas de forma que João e Maria façam parte dessa comissão. De quantas maneiras podemos formar essa comissão? Assim, a resposta será dada por C 10 -2, 5 -2 = C 8, 3 = 56.

MATEMÁTICA, 2º Ano Combinações simples Propriedades das Combinações 3. O número de combinações de n elementos tomados p a p que não contêm r elementos dados, é expresso por Cn-r, p. Exemplo: em um grupo de 10 pessoas deseja-se formar uma comissão com 5 pessoas de forma que Pedro não faça parte dessa comissão. De quantas maneiras podemos formar essa comissão? Assim, a resposta será dada por C 10 -1, 5 = C 9, 5 = 126.

MATEMÁTICA, 2º Ano Combinações simples Se na fórmula das combinações simples fizermos p = n, vem: Cn, n = n! n! 0! ou 1 = 1. 0! que justifica a convenção 0! = 1. Convém notar as relações: Cn, n = 1 e Cn, 1 = n.

MATEMÁTICA, 2º Ano Combinações simples Os números representados pelo símbolo Cn, p são denominados números combinatórios. Dois números combinatórios dizem-se complementares quando a soma dos segundos índices reproduz o primeiro. Dois números combinatórios complementares são iguais. Cn, p = Cn, n-p (primeira propriedade das combinações)

MATEMÁTICA, 2º Ano Combinações simples Relação de Stifel O número de combinações de n elementos tomados p a p é igual ao número das combinações de n – 1 elementos p a p, somado ao número das combinações de n – 1 elementos tomados p – 1 a p – 1. Cn, p = Cn-1, p-1 + Cn-1, p

MATEMÁTICA, 2º Ano Combinações simples Teorema Desenvolvendo a Relação de Stifel chegamos ao seguinte teorema: O número de combinações de n elementos tomados p a p, é igual à soma dos números de combinações que se podem fazer sucessivamente, com n – 1, n – 2, n – 3, . . . , p, p – 1 elementos, tomados sempre p – 1 a p – 1. Cn, p = Cn-1, p-1 + Cn-2, p-1 + Cn-3, p-1 +. . . + Cp, p-1 + Cp-1, p-1

MATEMÁTICA, 2º Ano Combinações simples Agora, baseados nessas informações, vamos ajudar Vítor a descobrir quantas são as combinações possíveis dos 60 números do cartão da Mega-sena tomados 6 a 6. Dados n = 60 e p = 6, teremos: C 60, 6 = 60! . 6!(60 – 6)! Ou seja: C 60, 6 = 60 ∙ 59 ∙ 58 ∙ 57 ∙ 56 ∙ 55 ∙ 54! 6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 ∙ 54! Que nos dá: C 60, 6 = 50 063 860 possibilidades.

MATEMÁTICA, 2º Ano Combinações simples Atividades Resolvidas 1) Um garoto gostaria de convidar 7 amigos para um acampamento, porém só há lugar para 4 amigos na barraca. Calcular de quantas maneiras o garoto pode escolher 4 amigos entre 7. Temos, portanto, um problema de combinação, pois a ordem de escolha dos 4 garotos não é importante. Logo: C 7, 4 = 7! 4!(7 – 4)! C 7, 4 = 7∙ 6∙ 5∙ 4! C 7, 4 = 210 4!3∙ 2∙ 1 6 C 7, 4 = 35 maneiras

MATEMÁTICA, 2º Ano Combinações simples 2) Os 32 alunos de uma classe devem fazer um trabalho em equipes de 4 pessoas. Há 20 garotas e 12 garotos. Quantas equipes podem ser formadas: a) Se não houver restrições quanto ao sexo? b) Com 2 garotas e 2 garotos? a) Nesse caso, as 4 pessoas devem ser escolhidas entre o total de 32 alunos. Assim: C 32, 4 = 32! 4!(32 – 4)! C 32, 4 = 32∙ 31∙ 30∙ 29∙ 28! 4∙ 3∙ 2∙ 1∙ 28! C 32, 4 = 35 960 equipes

MATEMÁTICA, 2º Ano Combinações simples b) Nesse caso a escolha deve ser feita em duas etapas: E 1: escolher 2 das 20 garotas; E 2: escolher 2 dos 12 garotos. Pelo princípio multiplicativo, temos: C 20, 2 ∙ C 12, 2 = 20! 2!(20 – 2)! . 12! . 2!(12 – 2)! C 20, 2 ∙ C 12, 2 = 190 ∙ 66 C 20, 2 ∙ C 12, 2 = 12 540 equipes

MATEMÁTICA, 2º Ano Combinações simples 3) Para fazer uma aposta da Lotofácil, devemos marcar 15 números entre os 25 constantes no volante. De quantas maneiras é possível preencher um cartão da Lotofácil? Mais uma vez, como a ordem na escolha dos números não muda a aposta, teremos: C 25, 15 = 25! . 15!(25 – 15)! C 25, 15 = 3 268 760 maneiras

MATEMÁTICA, 2º Ano Combinações simples 4) Considerando 6 pontos, pertencentes a um mesmo plano e distribuídos de tal forma que 3 pontos não seja colineares, determinar quantos triângulos podem ser formados com 3 desses pontos como vértices. A ordem em que tomamos os vértices de um triângulo não altera o triângulo. Logo, temos um problema envolvendo combinação. C 6, 3 = 6! 3!(6 – 3)! = 6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3! 3 ∙ 2 ∙ 1 ∙ 3! C 6, 3 = 20 triângulos

MATEMÁTICA, 2º Ano Combinações simples Atividades Propostas 1) Uma comissão de quatro membros deve ser escolhida entre sete pessoas. De quantos modos diferentes essa comissão pode ser formada se seus componentes terão funções idênticas? 2) Cada uma das dez equipes que disputam um campeonato de futebol enfrenta cada uma das demais, uma única vez. Quantos jogos compõem esse campeonato?

MATEMÁTICA, 2º Ano Combinações simples 3) Uma salada de frutas deve conter quantidades iguais de quatro tipos de frutas escolhidas entre uva, maçã, laranja, mamão, morango e melão. Quantas saladas diferentes podem ser preparadas se maçã e laranja forem ingredientes obrigatórios? 4) Uma equipe formada por dois arquitetos e por três engenheiros será escolhida entre cinco arquitetos e seis engenheiros. De quantas maneiras diferentes essa equipe pode ser formada?

MATEMÁTICA, 2º Ano Combinações simples 5) Gabriel e Maísa fazem parte de um grupo de dez pessoas, sete das quais serão escolhidas para formarem um júri em que todos os jurados terão funções idênticas. Do total de júris que podem ser formados: a) Quantos contém Gabriel e Maísa? b) Quantos não contém Gabriel nem Maísa? c) Quantos contém Maísa e não contém Gabriel?