Matemtica e suas Tecnologias Matemtica Ensino Mdio 3

Matemática e suas Tecnologias - Matemática Ensino Médio, 3º Ano Volume da esfera

MATEMÁTICA, 3º Ano do Ensino Médio Volume da Esfera Objetivos: • calcular o volume de uma esfera e a área de uma superfície; • reconhecer um fuso esférico e calcular sua área; • reconhecer uma cunha esférica e calcular o seu volume; • explorar o sólido em 3 D com o apoio do software de apresentação Impress/Br. Office.

MATEMÁTICA, 3º Ano do Ensino Médio Volume da Esfera Conteúdos • Esfera • Volume da Esfera

MATEMÁTICA, 3º Ano do Ensino Médio Volume da Esfera ESFERA Imagem: Andrevuras/ GNU Free Documentation License. Imagem: Higor Douglas / Creative Commons Attributio n-Share Alike 3. 0 Unported license. Imagem: Geek 3 / GNU Free Documentation License.

MATEMÁTICA, 3º Ano do Ensino Médio Volume da Esfera Na estrutura do grafite… Imagem: Ben Mills / Public domain.

MATEMÁTICA, 3º Ano do Ensino Médio Volume da Esfera Imagem Slashme / GNU Free Documentation License. Podemos ver várias esferas em algumas estruturas de moléculas de compostos químicos.

MATEMÁTICA, 3º Ano do Ensino Médio Volume da Esfera ESFERA • É A UNIÃO DE TODOS OS PONTOS DO ESPAÇO EM QUE A DIST NCIA AO CENTRO DADO É A MESMA. Imagem: Autor desconhecido /Disponibilizada por Ogre. Bot/ Public domain.

MATEMÁTICA, 3º Ano do Ensino Médio Volume da Esfera ÁREA DA ESFERA • EXPERIMENTALMENTE, PODE-SE CONSTATAR QUE UMA ESFERA TEM O EXATO “PESO” DE QUATRO CÍRCULOS CUJO RAIO É O MESMO QUE GEROU A ESFERA, SENDO DO MESMO MATERIAL. Imagem: Autor desconhecido / Disponibilizada por Marcelo Reis/GNU Free Documentation License.

MATEMÁTICA, 3º Ano do Ensino Médio Volume da Esfera

MATEMÁTICA, 3º Ano do Ensino Médio Volume da Esfera VOLUME DA ESFERA Imagem: Autor desconhecido / Disponibilizada por Jynus/GNU Free Documentation License.

MATEMÁTICA, 3º Ano do Ensino Médio Volume da Esfera Podemos tentar demonstrar as fórmulas.

MATEMÁTICA, 3º Ano do Ensino Médio Volume da Esfera Consideremos um cilindro de raio da base r (a altura é 2 r) e tendo como S o ponto médio do eixo do cilindro. Tomemos dois cones, tendo como bases as do cilindro e S como vértice comum (a reunião desses dois cones é um sólido chamado Clépsidra).

MATEMÁTICA, 3º Ano do Ensino Médio Volume da Esfera h=2 r S S r Cilindro equilátero Cilindro Equilátero e Os dois cones Reunião dos Dois cones Sólido X, Cilindro menos Os dois cones

MATEMÁTICA, 3º Ano do Ensino Médio Volume da Esfera Ao sólido que está dentro do cilindro e fora dos dois cones, vamos chamar de sólido X (este sólido X é chamado anticlépsidra). esfera r clépsidra anticlépsidra

MATEMÁTICA, 3º Ano do Ensino Médio Volume da Esfera Consideremos agora uma esfera de raio r e o sólido X descrito acima. s o s p ß α s r Q Suponhamos que a esfera seja tangente a um plano α, que o cilindro (que originou o sólido X) tenha base em α e que os dois sólidos, esfera e sólido X, estejam num mesmo semiespaço dos determinados por α. Qualquer plano secante β, paralelo a α, distando d do centro da esfera (e do vértice do sólido X), também secciona o sólido X. Temos, portanto: d Área da secção na esfera = πs² = π(r² - d²) círculo Área da secção no sólido X = πr² - πd² = π(r² - d²) coroa circular

MATEMÁTICA, 3º Ano do Ensino Médio Volume da Esfera As áreas das secções na esfera e no sólido X são iguais. Então, pelo Princípio de Cavalieri, a esfera e o sólido X têm volumes iguais. Vesfera = Vsólido X Mas: Vsólido X = Vcilindro - 2 Vcone = πr². 2 r – 2. (π r². r/3 )= πr². 2 r – 2πr³/3 = 4πr³/3 Conclusão: O volume de uma esfera de raio r é de 4πr³/3 V= 4πr³/3

MATEMÁTICA, 3º Ano do Ensino Médio Volume da Esfera Área da superfície esférica r + x Então, para x = 0, vem: Referência bibliográfica Gelson Iezzi; Fundamentos de Matemática Elementar Vol. 10 – Geometria Espacial – Parte 2 A= 4 πr²

MATEMÁTICA, 3º Ano do Ensino Médio Volume da Esfera Noção intuitiva Se considerarmos uma superfície limitada de área A e sobre ela formarmos um sólido, de altura x, de bases “paralelas”, teremos, indicando com V, o volume do sólido de base A e altura x. V=Ax A= V/x Esta igualdade é verificada para qualquer x. Intuitivamente, uma superfície é imaginada como uma “placa sólida” de “espessura infinitamente pequena”. Por isso, se uma “placa sólida” de volume Vp e espessura x for tal que a expressão (função) Vp/x tem sentido para x = 0, então: Vp/x ( para x = 0 ) será definida como a área da placa. Assim podemos deduzir as expressões das áreas laterais da superfície esférica.

MATEMÁTICA, 3º Ano do Ensino Médio Volume da Esfera Área do fuso Note quanto maior for o ângulo, maior será o fuso correspondente; a área do fuso é diretamente proporcional a α. . Fuso esférico r Arco equatorial α

MATEMÁTICA, 3º Ano do Ensino Médio Volume da Esfera Assim, podemos estabelecer as seguintes regras de três simples: Para α em graus: Para a em radianos:

MATEMÁTICA, 3º Ano do Ensino Médio Volume da Esfera CUNHA ESFÉRICA Se um semicírculo com o diâmetro num eixo gira a graus (0°< α ≤ 360°) em torno do eixo, ele gera um sólido que é chamado de CUNHA ESFÉRICA. Cunha esférica r Arco equatorial α

MATEMÁTICA, 3º Ano do Ensino Médio Volume da Esfera Volume da cunha Note quanto maior for o ângulo, maior será o volume da cunha correspondente; o volume da cunha é diretamente proporcional a α. . Assim, podemos estabelecer as seguintes regras de três simples:

MATEMÁTICA, 3º Ano do Ensino Médio Volume da Esfera Exercícios • Considerando as interações anteriores, é possível partir para os cálculos mais comuns envolvendo esferas, que são a determinação da área e do volume. O professor pode propor alguns desafios para que sejam utilizadas as expressões abaixo. 1) Uma esfera tem raio 15 cm. Calcule: a) seu volume; r b) sua área; 9 c) a área da secção feita a 9 cm do centro. 15 15 http: //www. google. com. br/url? sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=2&ved=0 CDo. QFj. AB&url=http%3 A%2 F%2 Fprofessorwaltertadeu. mat. br%2 FEsf eras 2010. doc&ei=HLGy. UOmk. D 4 no 8 QTb 8 IGQBg&usg=AFQj. CNE 7 l 9 z 8 h. Ulo. TQh. MJ 0 JHQb. Wu. WXS 3 VA&sig 2=9 Ki. Mi 2 Nr. FBdt. Mk. WG 68 VG_Q

MATEMÁTICA, 3º Ano do Ensino Médio Volume da Esfera http: //www. google. com. br/url? sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=2&ved=0 CDo. QFj. AB&url=http%3 A%2 F%2 Fprofessorwaltertadeu. mat. br%2 FEsf eras 2010. doc&ei=HLGy. UOmk. D 4 no 8 QTb 8 IGQBg&usg=AFQj. CNE 7 l 9 z 8 h. Ulo. TQh. MJ 0 JHQb. Wu. WXS 3 VA&sig 2=9 Ki. Mi 2 Nr. FBdt. Mk. WG 68 VG_Q 2) Calcule o volume e a área total de uma cunha esférica de raio 12 cm e ângulo central de 60°. A 60° 12 cm B

MATEMÁTICA, 3º Ano do Ensino Médio Volume da Esfera http: //www. google. com. br/url? sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=2&ved=0 CDo. QFj. AB&url=http%3 A%2 F%2 Fprofessorwaltertadeu. mat. br%2 FEsf eras 2010. doc&ei=HLGy. UOmk. D 4 no 8 QTb 8 IGQBg&usg=AFQj. CNE 7 l 9 z 8 h. Ulo. TQh. MJ 0 JHQb. Wu. WXS 3 VA&sig 2=9 Ki. Mi 2 Nr. FBdt. Mk. WG 68 VG_Q 3) Calcule a capacidade de uma esfera cuja superfície esférica tem área igual a 144 m 2. 4) Seccionando-se uma esfera por um plano que dista 3 m do seu centro, obtém -se uma secção de área de 72π m 2, determine o volume dessa esfera. r 3 R

MATEMÁTICA, 3º Ano do Ensino Médio Volume da Esfera http: //www. google. com. br/url? sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=2&ved=0 CDo. QFj. AB&url=http%3 A%2 F%2 Fprofessorwaltertadeu. mat. br%2 FEsf eras 2010. doc&ei=HLGy. UOmk. D 4 no 8 QTb 8 IGQBg&usg=AFQj. CNE 7 l 9 z 8 h. Ulo. TQh. MJ 0 JHQb. Wu. WXS 3 VA&sig 2=9 Ki. Mi 2 Nr. FBdt. Mk. WG 68 VG_Q 5) Calcule o volume da esfera inscrita num cubo cuja área total é 216 cm 2. B C M A D R a R = a/2 G F Q E N M N P a H Q P

MATEMÁTICA, 3º Ano do Ensino Médio Volume da Esfera Recursos: • livro didático; • laboratório de informática; • representações gráficas; • data show; • no laboratório de matemática: 1 esfera, 1 cone e 1 cilindro de acrílico;

MATEMÁTICA, 3º Ano do Ensino Médio Volume da Esfera • duração das atividades: 2 aulas de 50 minutos; • conhecimentos prévios trabalhados pelo professor com o aluno: conceitos de ângulo, diâmetro, raio e medidas. Noções de plano cartesiano.

MATEMÁTICA, 3º Ano do Ensino Médio Volume da Esfera Desenvolvimento Primeira Etapa • Exposição dialogada, seguida de tempestade de ideias, visando à construção do conhecimento. Será explicado pelo professor que a esfera é um importante sólido da geometria, que aparece em inúmeras aplicações importantes da vida cotidiana. • Nessa aula, também apresentamos uma forma de manipular o sólido em 3 D, usando o programa de apresentações do Br. Office, o Impress: (http: //www. broffice. org).

MATEMÁTICA, 3º Ano do Ensino Médio Volume da Esfera Segunda Etapa • O professor poderá apresentar uma imagem de uma esfera, como a apresentada abaixo, no Laboratório de Informática ou mostrar aos alunos a esfera de acrílico, no Laboratório de Matemática da escola. Imagem: Autor desconhecido / Disponibilizada por Kieff/ Public domain. Recurso disponível em: http: //pt. wikipedia. org/wiki/Esfera

MATEMÁTICA, 3º Ano do Ensino Médio Volume da Esfera • Sempre que possível, é importante relacionar o conteúdo com a vida cotidiana. • Eis um exemplo que pode ser usado: os rolamentos são formados por esferas que permitem que ocorra o giro de uma roda em um eixo, como nas rodas dos carros. Não deixar de mostrar aos alunos a animação. Imagem: Plus. Minus / GNU Free Documentation License. Fonte e Animação: http: //pt. wikipedia. org/wiki/Rolamento

MATEMÁTICA, 3º Ano do Ensino Médio Volume da Esfera • Sugerimos que o professor proponha que os alunos conheçam melhor a esfera através da criação das suas próprias esferas. • Para isso, o Br. Office/Impress (http: //www. broffice. org) oferece um excelente recurso de desenho de objetos em 3 D. Vamos ver como isso pode ser feito. É simples.

MATEMÁTICA, 3º Ano do Ensino Médio Volume da Esfera Terceira Etapa • Manuseio do Br. Office, o Impress (http: //www. broffice. org). Acesse o link: http: //www. broffice. org

MATEMÁTICA, 3º Ano do Ensino Médio Volume da Esfera • O primeiro passo é exibir a barra de ferramentas de desenho para objetos em 3 D. • Basta seguir o caminho indicado na figura do slide anterior: Exibir > Barra de ferramentas > Objetos 3 D • Clicando no ícone da esfera, pode-se desenhar, girar, redimensionar e alterar a cor da esfera em 3 dimensões.

MATEMÁTICA, 3º Ano do Ensino Médio Volume da Esfera Observe o exemplo abaixo: Acesse o link: http: //www. broffice. org

MATEMÁTICA, 3º Ano do Ensino Médio Volume da Esfera • Uma vez que os alunos já tenham manipulado e conhecido um pouco mais sobre a esfera, pode-se partir para um aprofundamento do estudo da esfera.

MATEMÁTICA, 3º Ano do Ensino Médio Volume da Esfera Extras • Com os recursos apresentados até aqui, é possível partir para um trabalho que envolva a aplicação do que foi estudado. • O professor pode pedir aos alunos que procurem outras aplicações da esfera na vida cotidiana, como também realizar cálculos de área e volume. • A continuidade do trabalho com o programa de apresentações Impress pode tornar a aula mais interessante para os alunos.

MATEMÁTICA, 3º Ano do Ensino Médio Volume da Esfera • Também pode-se trabalhar com os alunos a criação de um mapa conceitual, no papel ou no computador (http: //pt. wikipedia. org/wiki/Mapa_conceitual). • Integrar no mapa outros sólidos da geometria espacial, além das aplicações da esfera, permitirá aos alunos construírem relações mais elaboradas da geometria e suas aplicações.

Referências • • http: //matcal. wordpress. com/ http: //www. google. com. br/url? sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=2&ved=0 CDo. QFj. AB&url=http%3 A%2 F%2 Fprofessorwaltertadeu. mat. br%2 FEsferas 2010. doc &ei=HLGy. UOmk. D 4 no 8 QTb 8 IGQBg&usg=AFQj. CNE 7 l 9 z 8 h. Ulo. TQh. MJ 0 JHQb. Wu. WXS 3 VA&sig 2=9 Ki. Mi 2 Nr. FBdt. Mk. WG 68 VG_Q

Tabela de Imagens n° do direito da imagem como está ao lado da slide foto 4 a Andrevuras/ GNU Free Documentation License 4 b Higor Douglas / Creative Commons Attribution-Share Alike 3. 0 Unported license 4 c Geek 3 / GNU Free Documentation License 5 6 7 8 10 30 31 link do site onde se consegiu a informação http: //commons. wikimedia. org/wiki/File: Bola. JPG Data do Acesso 19/08/2012 http: //commons. wikimedia. org/wiki/File: Bola_de_ 19/08/2012 futebol. jpg http: //commons. wikimedia. org/wiki/File: Sphere_w ireframe_15 deg_4 r. svg Ben Mills / Public domain. http: //commons. wikimedia. org/wiki/File: Potassiu m-graphite-xtal-3 D-SF-B. png Slashme / GNU Free Documentation License http: //commons. wikimedia. org/wiki/File: ATBC_Mo lecular_Structure_Spacefill. png Autor desconhecido /Disponibilizada por http: //commons. wikimedia. org/wiki/File: Poincare_ Ogre. Bot/ Public domain sphere. png Autor desconhecido / Disponibilizada por http: //commons. wikimedia. org/wiki/File: Steradian. Marcelo Reis/GNU Free Documentation png License Autor desconhecido / Disponibilizada por http: //commons. wikimedia. org/wiki/File: Steradian. Jynus/GNU Free Documentation License svg Autor desconhecido / Disponibilizada por http: //commons. wikimedia. org/wiki/File: Blue. Kieff/ Public domain sphere. png Plus. Minus / GNU Free Documentation http: //pt. wikipedia. org/wiki/Ficheiro: Ball. Bearing. gi License f 19/08/2012 19/08/2012 20/08/2012