MATEMTICA E SUAS TECNOLOGIAS Matemtica Ensino Mdio 1

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MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS Matemática Ensino Médio, 1ª Série RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRI NGULO

MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS Matemática Ensino Médio, 1ª Série RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRI NGULO RET NGULO 1

MATEMÁTICA, 1 º Ano Relações Métricas no Triângulo Retângulo São estas Relações que Olá,

MATEMÁTICA, 1 º Ano Relações Métricas no Triângulo Retângulo São estas Relações que Olá, pessoal ! Eu sou nos levam ao mais Apertem os. Vamos fazer um viagem o famoso filósofo e Mas antes, deem uma ao passado em Teorema que as da famoso olhadinha. Pitágoras na história de cintos. . . descobertas matemático levavam história da matemática. . . como tudo isso começou. . . séculos para acontecer. . . Vamos estudar juntos, nesta aula, as Relações Métricas no Triângulo Retângulo O incrível Teorema de Pitágoras que, claro, leva meu nome porque fui eu quem o descobriu. . . 2 Imagem: Vatican Museum / Public Domain.

MATEMÁTICA, 1 º Ano Relações Métricas no Triângulo Retângulo É quase uma unanimidade entre

MATEMÁTICA, 1 º Ano Relações Métricas no Triângulo Retângulo É quase uma unanimidade entre os historiadores que Pitágoras viveu no séc. VI a. C. , na Grécia, entre os anos 583 e 507. Acredita-se que ele nasceu numa ilha chamada Samos, daí ele se chamar Pitágoras de Samos Fixou residência numa cidade no sul da Itália chamada Crotona. Lá fundou a chamada Escola Pitagórica, onde se estudava Filosofia, Matemática, Música dentre outras Ciências. Grandes descobertas são atribuídas aos pitagóricos, entre elas o sistema de numeração decimal e o mais conhecido e aplicado teorema que leva o seu nome, o Teorema de Pitágoras Os pitagóricos tinham várias superstições. Uma delas relacionada à Matemática, cujo símbolo, o pentagrama, segundo eles, os protegia do mal. Existem inúmeras demonstrações para o Teorema de Pitágoras. Um matemático americano chamado Elisha Scott Loomis conseguiu organizar um total de 367 demonstrações diferentes, todas reunidas em um livro chamado The Pythagorean Proposition. 3

MATEMÁTICA- 1º Ano Relações Métricas no Triângulo Retângulo Chegou a hora de estudar todas

MATEMÁTICA- 1º Ano Relações Métricas no Triângulo Retângulo Chegou a hora de estudar todas as Boa viagem relações métricas das e bom estudo! quais falamos. . . Vocês vão ver que todas estão interligadas e que, com elas, conseguimos encontrar todas as medidas de qualquer segmento em um triângulo retângulo. Imagem: Vatican Museum / Public Domain. Começa aqui, então, outra viagem. Agora vamos aos triângulos retângulos. . . 4 Imagem: Vatican Museum / Public Domain.

MATEMÁTICA, 1 º Ano Relações Métricas no Triângulo Retângulo de 90º Observe o triângulo

MATEMÁTICA, 1 º Ano Relações Métricas no Triângulo Retângulo de 90º Observe o triângulo ABC ao lado: A Note que ele é retângulo em , isto é, a medida de é 90º. b c Conforme vocês já sabem, a soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é 180º. Logo, se = 90º, a soma dos outros dois ângulos (B e C) é igual a 90º. h B m C n H a Logo, os ângulos B e C são ditos complementares. ˆ 5

MATEMÁTICA, 1 º Ano Relações Métricas no Triângulo Retângulo Se dividirmos o triângulo ABC

MATEMÁTICA, 1 º Ano Relações Métricas no Triângulo Retângulo Se dividirmos o triângulo ABC pela altura relativa a sua hipotenusa a, surgem dois triângulos ABH e ACH, retângulos em Ĥ. Sendo assim, dividimos o ângulo nos dois ângulos já conhecidos do triângulo ABC, que são C e B. A A b c B h h m n H Triângulo ABH C H Triângulo ACH Observe que, entre os triângulos ABH e ABC, existem em comum o ângulo reto e o ângulo no vértice B (amarelo), além do lado AB = c. Entre ACH e ABC, existem em comum o ângulo reto e o ângulo no vértice C (vermelho), além do lado AC = b. Por semelhança do tipo A. L. A. nos dois casos, podemos concluir que ˆ ~ ACH ~ ABC ABH 6

MATEMÁTICA, 1 º Ano Relações Métricas no Triângulo Retângulo Vamos destacar a semelhança da

MATEMÁTICA, 1 º Ano Relações Métricas no Triângulo Retângulo Vamos destacar a semelhança da tela anterior: A A b c h B h m n H C H Semelhança entre ∆ABH e ∆ACH 7

MATEMÁTICA, 1 º Ano Relações Métricas no Triângulo Retângulo Vamos destacar a semelhança da

MATEMÁTICA, 1 º Ano Relações Métricas no Triângulo Retângulo Vamos destacar a semelhança da tela anterior: A b B m H h c h n A C H Semelhança entre ∆ABH e ∆ACH 8

MATEMÁTICA, 1 º Ano Relações Métricas no Triângulo Retângulo Vamos fazer algumas observações sobre

MATEMÁTICA, 1 º Ano Relações Métricas no Triângulo Retângulo Vamos fazer algumas observações sobre os lados do ABC: ngulo de 90º A Lado AC Lado AB c b O lado AB vai do ângulo de 90º até o ângulo amarelo B C H O lado BC vai do ângulo pintado de amarelo até o ângulo pintado de vermelho a Lado BC O lado AC vai do ângulo de 90º até o ângulo pintado de vermelho 9

MATEMÁTICA, 1 º Ano Relações Métricas no Triângulo Retângulo ABH ~ ACH ~ ABC

MATEMÁTICA, 1 º Ano Relações Métricas no Triângulo Retângulo ABH ~ ACH ~ ABC Como já vimos, é verdade que Vamos analisar a semelhança entre ABC e ABH. B B a c A c m b C H h A Essa semelhança garante também a proporcionalidade entre seus lados. Sendo assim, observem as relações que podemos estabelecer entre eles. 10

MATEMÁTICA, 1 º Ano Relações Métricas no Triângulo Retângulo B B a c A

MATEMÁTICA, 1 º Ano Relações Métricas no Triângulo Retângulo B B a c A c m b a=b=c c h m C A H h Lados do Δ ABC Lados do Δ ABH 11

MATEMÁTICA, 1 º Ano Relações Métricas no Triângulo Retângulo a= b= c c h

MATEMÁTICA, 1 º Ano Relações Métricas no Triângulo Retângulo a= b= c c h m Da proporção que obtivemos, e trabalhando com as razões duas a duas, temos: a=b c h a. h = b. c b=c h m b. m = c. h a=c c m c² = a. m 12

MATEMÁTICA, 1 º Ano Relações Métricas no Triângulo Retângulo Vamos analisar a semelhança entre

MATEMÁTICA, 1 º Ano Relações Métricas no Triângulo Retângulo Vamos analisar a semelhança entre ABC e ACH. B B a c A m b C H c A Também pela semelhança, a proporcionalidade entre os lados desses dois triângulos determinam as seguintes relações: 13

MATEMÁTICA, 1 º Ano Relações Métricas no Triângulo Retângulo B A a b h

MATEMÁTICA, 1 º Ano Relações Métricas no Triângulo Retângulo B A a b h c n C H A b a= b= c b n h C Lados do Δ ABC Lados do Δ ACH 14

MATEMÁTICA, 1 º Ano Relações Métricas no Triângulo Retângulo a =b = c b

MATEMÁTICA, 1 º Ano Relações Métricas no Triângulo Retângulo a =b = c b n h Dessa nova proporção, a partir das razões duas a duas, teremos: a=b b n b² = a. n b=c n h b. h = c. n a=c c m a. h=b. c 15

MATEMÁTICA, 1 º Ano Relações Métricas no Triângulo Retângulo Por último, vamos analisar a

MATEMÁTICA, 1 º Ano Relações Métricas no Triângulo Retângulo Por último, vamos analisar a semelhança entre ABH e ACH. B A b c m h H H h n C A A semelhança está mantida e dela vêm as seguintes relações: 16

MATEMÁTICA, 1 º Ano Relações Métricas no Triângulo Retângulo B A b c h

MATEMÁTICA, 1 º Ano Relações Métricas no Triângulo Retângulo B A b c h m H H h c= h= m b n h A C n Lados do Δ ABH Lados do Δ ACH 17

MATEMÁTICA, 1 º Ano Relações Métricas no Triângulo Retângulo c =h =m b n

MATEMÁTICA, 1 º Ano Relações Métricas no Triângulo Retângulo c =h =m b n h Dessa última proporção e comparação das razões duas a duas, vem: c=h b n c. n=b. h h=m n h h² = m. n c=m b h c. h=b. m 18

MATEMÁTICA, 1 º Ano Relações Métricas no Triângulo Retângulo Agora, um relação muito importante

MATEMÁTICA, 1 º Ano Relações Métricas no Triângulo Retângulo Agora, um relação muito importante é a da hipotenusa com as projeções do catetos sobre ela. Observe o ABC inicial que trabalhamos: A Veja que, sobre a hipotenusa a, estão determinados dois segmentos: b BH = m CH = n c h B m n C Esses segmentos recebem o nome de projeções. Seria como se o sol surgisse sobre os catetos. . . e produzisse “sombra” sobre a hipotenusa. Essas sombras são então as projeções. 19

MATEMÁTICA, 1 º Ano Relações Métricas no Triângulo Retângulo Teorema de Pitágoras Chegou a

MATEMÁTICA, 1 º Ano Relações Métricas no Triângulo Retângulo Teorema de Pitágoras Chegou a hora dele. . . o meu teorema. . . Imagem: Vatican Museum / Public Domain. Vamos começar com sua definição e, em seguida, demonstraremos o mais famoso Teorema da história da Matemática 20

MATEMÁTICA, 1 º Ano Relações Métricas no Triângulo Retângulo Os lados de um triângulo

MATEMÁTICA, 1 º Ano Relações Métricas no Triângulo Retângulo Os lados de um triângulo retângulo recebem nomes especiais. São eles: B a O lado oposto ao ângulo reto é denominado de hipotenusa c A Os outros dois, opostos aos ângulos agudos do triângulo, são chamados de catetos b C Aqui vale a pena destacar uma propriedade: a hipotenusa sempre será o lado de maior medida de um triângulo retângulo 21

MATEMÁTICA, 1 º Ano Relações Métricas no Triângulo Retângulo O enunciado do Teorema Pitágoras

MATEMÁTICA, 1 º Ano Relações Métricas no Triângulo Retângulo O enunciado do Teorema Pitágoras é o seguinte: B O quadrado da medida da hipotenusa é igual a soma dos quadrados da medida dos catetos. a c A b de C Nesse caso, com as denominações de a, b e c, respectivamente para a hipotenusa e os catetos, teremos: a 2 = b 2 + c 2 22

MATEMÁTICA, 1 º Ano Relações Métricas no Triângulo Retângulo Apenas para verificar essa relação,

MATEMÁTICA, 1 º Ano Relações Métricas no Triângulo Retângulo Apenas para verificar essa relação, observem os seguinte triângulos retângulos: x 6 Quanto deve medir designada por x? a hipotenusa É bem simples: basta lançar os valores na expressão do Teorema. Ou seja: . 8 x 2 = 6 2 + 8 2 x 2 = 36 + 64 x 2 = 100 x = 10 23

MATEMÁTICA, 1 º Ano Relações Métricas no Triângulo Retângulo E agora? Quanto deve medir

MATEMÁTICA, 1 º Ano Relações Métricas no Triângulo Retângulo E agora? Quanto deve medir o cateto y? 15 12 É tão simples quanto o anterior: lançando também os valores na expressão do teorema. Ou seja: y . 152 = y 2 + 122 225 = y 2 + 144 y 2 = 225 – 144 y 2 = 81 y = 9 24

MATEMÁTICA, 1 º Ano Relações Métricas no Triângulo Retângulo Chegou a hora de reunir

MATEMÁTICA, 1 º Ano Relações Métricas no Triângulo Retângulo Chegou a hora de reunir todas as relações que descobrimos juntos para analisá-las a partir da observação do triângulo. A b a. h = b. c (1) b. h=c. n (2) c. h=b. m (3) b² = a. n (4) c² = a. m (5) h² = m. n (6) c h B m n H A relação (1) pode ser definida como: “A hipotenusa multiplicada pela altura relativa a ela é igual ao produto dos catetos”. As relações (2) e (3) podem ser definidas como: “Cada cateto multiplicado pela altura relativa à hipotenusa é igual ao produto do outro cateto pela projeção do primeiro”. 25

MATEMÁTICA, 1 º Ano Relações Métricas no Triângulo Retângulo Chegou a hora de reunir

MATEMÁTICA, 1 º Ano Relações Métricas no Triângulo Retângulo Chegou a hora de reunir todas as relações que descobrimos juntos para analisá-las a partir da observação do triângulo. A b a. h = b. c (1) b. h=c. n (2) c. h=b. m (3) b² = a. n (4) c² = a. m (5) h² = m. n (6) c h B m n H As relações (4) e (5) podem ser definidas como: “Cada cateto é a média geométrica entre a hipotenusa e a sua projeção sobre ela”. A relação (6) pode ser definida como: “A altura relativa à hipotenusa é a média geométrica entre as projeções dos catetos”. 26

MATEMÁTICA, 1 º Ano Relações Métricas no Triângulo Retângulo Como vocês podem ver, as

MATEMÁTICA, 1 º Ano Relações Métricas no Triângulo Retângulo Como vocês podem ver, as relações simplesmente permitem que sejam encontradas todas as medidas de um triângulo retângulo. Todas são importantes, como já dissemos, mas o Teorema de Pitágoras é o mais aplicado deles, pois há muito mais relação com situações práticas, como poderemos observar daqui a pouco. Vamos fazer uma demonstração que vocês poderão fazer em sala de aula, junto com o professor. Peguem o material e mãos à obra ! Vocês vão ver como será divertido provar que Pitágoras e seus seguidores estavam certos. Imagem: Vatican Museum / Public Domain. A sugestão dada é que este triângulo a ser usado seja o de medidas 3, 4 e 5. É mais simples e fácil de construir. Sigam os passos um a um e vocês verão como é legal a demonstração !! 27

MATEMÁTICA, 1 º Ano Relações Métricas no Triângulo Retângulo • Construam 4 triângulos retângulos

MATEMÁTICA, 1 º Ano Relações Métricas no Triângulo Retângulo • Construam 4 triângulos retângulos de hipotenusa a e catetos b e c. b a c b a b c a c • Construam também 1 quadrado cujo lado tenha medida b + c. b+c 28

MATEMÁTICA, 1 º Ano Relações Métricas no Triângulo Retângulo • No quadrado e a

MATEMÁTICA, 1 º Ano Relações Métricas no Triângulo Retângulo • No quadrado e a partir de cada um de seus vértices, coloquem cada um dos 4 triângulos iniciais que vocês construíram. a a Como os 4 triângulos são idênticos e sua hipotenusa mede a, temos então um quadrado menor de área a 2 dentro do quadrado maior de área (b + c)2. 29

MATEMÁTICA, 1 º Ano Relações Métricas no Triângulo Retângulo Desenvolvendo a expressão da área

MATEMÁTICA, 1 º Ano Relações Métricas no Triângulo Retângulo Desenvolvendo a expressão da área do quadrado maior, que é um produto notável, temos: (b + c)2 = b 2 + 2. b. c + c 2 (1) Mas a área do quadrado maior pode ser vista também como a soma das áreas dos 4 triângulos iniciais que construímos somada com a área do quadrado menor. Podemos então definir essa mesma área da seguinte forma: Área do quadrado menor + 4. Área do triângulo a 2 + 4. Simplificando 4 com 2, temos: a 2 + 2. b. c (2) Como as expressões são iguais, pois representam a mesma figura, teremos: 30

MATEMÁTICA, 1 º Ano Relações Métricas no Triângulo Retângulo (1) = (2) b 2

MATEMÁTICA, 1 º Ano Relações Métricas no Triângulo Retângulo (1) = (2) b 2 + 2. b. c + c 2 = a 2 + 2. b. c Ao simplificar 2. b. c dos dois lados, a expressão restante é: b 2 + c 2 = a 2 As medidas a, b e c que aparecem nessa expressão final são exatamente a medida dos lados do triângulo inicial, exatamente como queríamos mostrar. Logo, a relação descoberta pelos pitagóricos vale, então, para qualquer triângulo retângulo. Que tal, agora, nós vermos uma outra demonstração desse Teorema ? ? ? Vamos assistir a um vídeo bem legal que traz esta outra demonstração. É só visitar o link abaixo. . . http: //www. youtube. com/watch? v=GMy 5 z 3 nh. Ve. Q 31

MATEMÁTICA, 1 º Ano Relações Métricas no Triângulo Retângulo Agora que vocês são especialistas

MATEMÁTICA, 1 º Ano Relações Métricas no Triângulo Retângulo Agora que vocês são especialistas em Relações Métricas, especialmente no meu Teorema. . . vamos meter bronca nos exercícios, inclusive aplicações do Teorema na Geometria. Vamos lá ? !? Imagem: Vatican Museum / Public Domain. Pitágoras está certo. . . Agora é exercitar. Primeiro, vamos resolver alguns para vocês observarem como é. . . depois é com vocês. Se houver alguma dificuldade, o professor vai dar uma ajudinha. Sucesso !! Imagem: Clip-art do Power Point. 32

MATEMÁTICA, 1 º Ano Relações Métricas no Triângulo Retângulo EXERCÍCIOS 1ª Questão Qual é

MATEMÁTICA, 1 º Ano Relações Métricas no Triângulo Retângulo EXERCÍCIOS 1ª Questão Qual é a medida da diagonal de um quadrado cujo lado mede 5 cm? Resolução: Seja um quadrado de lado 5 cm. A diagonal de um quadrado nada mais é do que a hipotenusa de um triângulo retângulo, em que seus catetos são dois dos lados do quadrado. Isso faz os catetos serem medidas iguais. x 5 cm Observe: Chamando a diagonal (hipotenusa) de x, e usando o Teorema de Pitágoras, teremos: 5 cm x 2 = 52 + 52 x 2= 25 + 25 x 2 = 50 x = 5 Logo, fica clara a generalização para o cálculo da diagonal de qualquer quadrado: d=l 2 33

MATEMÁTICA, 1 º Ano Relações Métricas no Triângulo Retângulo 2ª Questão Determine a altura

MATEMÁTICA, 1 º Ano Relações Métricas no Triângulo Retângulo 2ª Questão Determine a altura de um triângulo equilátero cujo lado mede 10 cm. Resolução: Seja um triângulo equilátero de lado 10 cm. A altura desse triângulo é um dos catetos do triângulo em destaque. Observe: Chamando a altura (que é um dos catetos do triângulo 10 cm destacado) de x e usando o Teorema de Pitágoras, teremos: 10 cm 102 = x 2 + 52 O outro cateto mede 5 cm, pois a altura divide a base ao meio e um destes novos segmentos será o outro cateto. Logo: 10 cm 100 = x 2 + 25 x 2 = 100 – 25 x = 75 x = 5 Logo, fica clara a generalização para o cálculo da altura de qualquer triângulo equilátero: . 34

MATEMÁTICA, 1 º Ano Relações Métricas no Triângulo Retângulo C 3ª Questão (UFRS) Uma

MATEMÁTICA, 1 º Ano Relações Métricas no Triângulo Retângulo C 3ª Questão (UFRS) Uma torre vertical é presa por cabos de aço fixos no chão, em um terreno plano horizontal, conforme mostra a figura. Se A está a 15 m da base B da torre e C está a 20 m de altura, determine o comprimento do cabo AC. A B Resolução: Observando a figura, notamos que a fixação faz a torre estar perpendicular ao chão. Isso quer dizer que os pontos A da fixação de um dos cabos e B e C da torre formam entre si um triângulo retângulo. A distância entre o ponto A de fixação do cabo e B da fixação da torre ao chão, formam o cateto menor, que mede 15 m, conforme mostra a figura. A distância entre B e C na torre mede 20 m, sendo este o outro cateto. O comprimento do cabo AC, portanto, é a hipotenusa (que chamaremos de x). Por essas informações e usando o Teorema de Pitágoras, temos: x 2 = 152 + 202 x 2 = 225 + 400 x 2 = 625 x = 25 35

MATEMÁTICA, 1 º Ano Relações Métricas no Triângulo Retângulo A 4ª Questão Os catetos

MATEMÁTICA, 1 º Ano Relações Métricas no Triângulo Retângulo A 4ª Questão Os catetos do triângulo retângulo ao lado medem: AB = c = 6 cm e AC = b = 8 cm. Determine a medida da projeção dos catetos sobre a hipotenusa e a altura (h) relativa a ela. b c h B m C n H Resolução: A hipotenusa na figura é o lado BC, que chamaremos de a. Como vimos nas relações, cada um dos catetos será a média geométrica entre sua projeção e a hipotenusa. Logo, vamos determinar inicialmente a hipotenusa. Por Pitágoras, vem : a 2 = 82 + 62 a 2 = 64 + 36 a 2 = 100 a = 10 Agora que temos a hipotenusa, podemos usar a relação acima para cada cateto e sua projeção. Assim, teremos: c 2 = a. m 62 = 10. m 36 = 10. m m = 36/10 m = 3, 6 cm b 2 = a. n 82 = 10. n 64 = 10. n n = 64/10 m = 6, 4 cm 36

MATEMÁTICA, 1 º Ano Relações Métricas no Triângulo Retângulo 5ª Questão (UFPE) Em um

MATEMÁTICA, 1 º Ano Relações Métricas no Triângulo Retângulo 5ª Questão (UFPE) Em um triângulo retângulo, as projeções dos catetos sobre a hipotenusa medem 16 cm e 9 cm. Calcule o perímetro desse triângulo. Resolução: A h B 9 cm . 16 cm H Com a medida das projeções, imediatamente determinamos a medida da hipotenusa, pois sua medida é a soma das medidas projeções. Logo: a = m + n a = 9 + 16 a = 25 cm Para o perímetro, nos falta a medida dos C catetos. Usando a relação da questão anterior, teremos: b 2 = a. n b 2 = 25. 16 b 2 = 400 b = 20 cm c 2 = a. m c 2 = 25. 9 c 2 = 225 c = 15 cm Agora, basta somarmos a medida dos lados que acabamos de encontrar. a + b + c = 25 + 20 + 15 = 60 cm 37

MATEMÁTICA, 1 º Ano Relações Métricas no Triângulo Retângulo Chegou a hora de vocês

MATEMÁTICA, 1 º Ano Relações Métricas no Triângulo Retângulo Chegou a hora de vocês assimilarem de vez as relações. Não deixem nenhum exercício para trás, ok? !? EXERCÍCIOS Imagem: Clip-art do Power Point. 1. Determine a medida x em cada um dos triângulos retângulos a seguir: 12 a) b) c) x 6 4 5 13 x 8 x 2 38

MATEMÁTICA, 1 º Ano Relações Métricas no Triângulo Retângulo ma OJI-SP) 2. de suas

MATEMÁTICA, 1 º Ano Relações Métricas no Triângulo Retângulo ma OJI-SP) 2. de suas extremidades apoiada no topo de um muro, e a outra extremidade dista 2, 4 m da base do muro, conforme figura a seguir. Determine a altura do muro. 4 m 2, 4 m 3. (Fuvest SP) – Qual medida a da hipotenusa de um triângulo retângulo isósceles cujo perímetro é igual a 2? 4. Na figura ao lado, determine as medidas a, h, m e n. A 4 3 h B m C n H 39

MATEMÁTICA, 1 º Ano Relações Métricas no Triângulo Retângulo 20 cm 25 cm 1.

MATEMÁTICA, 1 º Ano Relações Métricas no Triângulo Retângulo 20 cm 25 cm 1. Um marceneiro cortou uma tábua retangular de 75 cm de comprimento por 20 cm de largura, separando-a em dois trapézios congruentes. Sabendo que o comprimento do corte foi de 25 cm, calcule a medida da base menor de um dos trapézios. 75 cm 2. duas cordas perpendiculares entre si presas ao teto. Sabendo que essas cordas medem 1/6 e 2/5, determine a distância do lampião ao teto. 3. um ponto M a 9 m do centro H da base de uma torre vertical. A seguir, marcou um ponto N na semirreta oposta de HM, a 16 m de H, observando que os pontos M, N e o pico da torre determinavam um triângulo retângulo. Qual a altura da torre? M 9 m H 16 m N 40

Tabela de Imagens Slide Autoria / Licença 2, 3 e Vatican Museum / Public

Tabela de Imagens Slide Autoria / Licença 2, 3 e Vatican Museum / Public Domain. 20 27 Vatican Museum / Public Domain. 32 b e Clip-art do Power Point 38 32 a Vatican Museum / Public Domain. Link da Fonte Data do Acesso http: //commons. wikimedia. org/wiki/File: Pythag 18/04/2012 oras_Bust_Vatican_Museum_(cropped). jpg 18/04/2012 http: //commons. wikimedia. org/wiki/File: Pythag 18/04/2012 oras_Bust_Vatican_Museum_(cropped). jpg 41