Matemtica 2 ano Sistemas Lineares MATEMTICA E SUAS
![Matemática, 2º ano, Sistemas Lineares MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS Ensino Médio, 2º ano Sistemas Matemática, 2º ano, Sistemas Lineares MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS Ensino Médio, 2º ano Sistemas](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/e74011cac995a53327936dea4e4486cc/image-1.jpg)
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![Matemática, 2º ano, Sistemas Lineares EQUAÇÃO LINEAR v As equações que obtivemos têm muitas Matemática, 2º ano, Sistemas Lineares EQUAÇÃO LINEAR v As equações que obtivemos têm muitas](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/e74011cac995a53327936dea4e4486cc/image-4.jpg)
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![Matemática, 2º ano, Sistemas Lineares SISTEMA LINEAR v Chama-se sistema linear a n incógnitas Matemática, 2º ano, Sistemas Lineares SISTEMA LINEAR v Chama-se sistema linear a n incógnitas](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/e74011cac995a53327936dea4e4486cc/image-6.jpg)
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![Matemática, 2º ano, Sistemas Lineares EXEMPLO v O sistema linear x – 2 y Matemática, 2º ano, Sistemas Lineares EXEMPLO v O sistema linear x – 2 y](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/e74011cac995a53327936dea4e4486cc/image-10.jpg)
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![Matemática, 2º ano, Sistemas Lineares SISTEMA DE EQUAÇÕES COM DUAS INCÓGNITAS E INTERPRETAÇÃO GRÁFICA Matemática, 2º ano, Sistemas Lineares SISTEMA DE EQUAÇÕES COM DUAS INCÓGNITAS E INTERPRETAÇÃO GRÁFICA](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/e74011cac995a53327936dea4e4486cc/image-14.jpg)
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![Matemática, 2º ano, Sistemas Lineares REGRA DE CRAMER v Processo de resolução de sistemas Matemática, 2º ano, Sistemas Lineares REGRA DE CRAMER v Processo de resolução de sistemas](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/e74011cac995a53327936dea4e4486cc/image-22.jpg)
![Matemática, 2º ano, Sistemas Lineares ü Analogamente, podemos escrever a matriz incompleta de qualquer Matemática, 2º ano, Sistemas Lineares ü Analogamente, podemos escrever a matriz incompleta de qualquer](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/e74011cac995a53327936dea4e4486cc/image-23.jpg)
![Matemática, 2º ano, Sistemas Lineares EXEMPLO v Resolver o sistema linear D= Dx = Matemática, 2º ano, Sistemas Lineares EXEMPLO v Resolver o sistema linear D= Dx =](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/e74011cac995a53327936dea4e4486cc/image-24.jpg)
![Matemática, 2º ano, Sistemas Lineares RESOLUÇÃO DE SISTEMAS POR ESCALONAMENTO v A regra de Matemática, 2º ano, Sistemas Lineares RESOLUÇÃO DE SISTEMAS POR ESCALONAMENTO v A regra de](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/e74011cac995a53327936dea4e4486cc/image-25.jpg)
![Matemática, 2º ano, Sistemas Lineares ESCALONAMENTO DE SISTEMAS v Um sistema está escalonado quando Matemática, 2º ano, Sistemas Lineares ESCALONAMENTO DE SISTEMAS v Um sistema está escalonado quando](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/e74011cac995a53327936dea4e4486cc/image-26.jpg)
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![Matemática, 2º ano, Sistemas Lineares EXEMPLO 2 x – y = 5 v Escalonar, Matemática, 2º ano, Sistemas Lineares EXEMPLO 2 x – y = 5 v Escalonar,](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/e74011cac995a53327936dea4e4486cc/image-32.jpg)
![Matemática, 2º ano, Sistemas Lineares 2 – 1 5 1 3 – 1 4 Matemática, 2º ano, Sistemas Lineares 2 – 1 5 1 3 – 1 4](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/e74011cac995a53327936dea4e4486cc/image-33.jpg)
![Matemática, 2º ano, Sistemas Lineares QUESTÕES Matemática, 2º ano, Sistemas Lineares QUESTÕES](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/e74011cac995a53327936dea4e4486cc/image-34.jpg)
![Matemática, 2º ano, Sistemas Lineares 1) (UFF-RJ) Um biscoito é composto por açúcar, farinha Matemática, 2º ano, Sistemas Lineares 1) (UFF-RJ) Um biscoito é composto por açúcar, farinha](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/e74011cac995a53327936dea4e4486cc/image-35.jpg)
![Matemática, 2º ano, Sistemas Lineares 2) (Fuvest-SP) Carlos e sua irmã Andreia foram com Matemática, 2º ano, Sistemas Lineares 2) (Fuvest-SP) Carlos e sua irmã Andreia foram com](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/e74011cac995a53327936dea4e4486cc/image-36.jpg)
![Matemática, 2º ano, Sistemas Lineares 3) (Vunesp-SP) Misturam-se dois tipos de leite, um com Matemática, 2º ano, Sistemas Lineares 3) (Vunesp-SP) Misturam-se dois tipos de leite, um com](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/e74011cac995a53327936dea4e4486cc/image-37.jpg)
![Matemática, 2º ano, Sistemas Lineares 4) (Osec – SP) O sistema linear a) admite Matemática, 2º ano, Sistemas Lineares 4) (Osec – SP) O sistema linear a) admite](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/e74011cac995a53327936dea4e4486cc/image-38.jpg)
![Matemática, 2º ano, Sistemas Lineares EXTRAS GEOGEBRA ü Utilizar o software geogebra para a Matemática, 2º ano, Sistemas Lineares EXTRAS GEOGEBRA ü Utilizar o software geogebra para a](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/e74011cac995a53327936dea4e4486cc/image-39.jpg)
![Matemática, 2º ano, Sistemas Lineares REFERÊNCIAS Sites: v v v http: //www. mundoeducacao. com. Matemática, 2º ano, Sistemas Lineares REFERÊNCIAS Sites: v v v http: //www. mundoeducacao. com.](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/e74011cac995a53327936dea4e4486cc/image-40.jpg)
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![Matemática 2º ano Sistemas Lineares MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS Ensino Médio 2º ano Sistemas Matemática, 2º ano, Sistemas Lineares MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS Ensino Médio, 2º ano Sistemas](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/e74011cac995a53327936dea4e4486cc/image-1.jpg)
Matemática, 2º ano, Sistemas Lineares MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS Ensino Médio, 2º ano Sistemas Lineares
![Matemática 2º ano Sistemas Lineares SISTEMAS LINEARES v Três irmãos Paula Júlia e André Matemática, 2º ano, Sistemas Lineares SISTEMAS LINEARES v Três irmãos, Paula, Júlia e André,](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/e74011cac995a53327936dea4e4486cc/image-2.jpg)
Matemática, 2º ano, Sistemas Lineares SISTEMAS LINEARES v Três irmãos, Paula, Júlia e André, ao confrontarem suas contas de telefone celular, ficaram curiosos em saber quanto custou um minuto de cada tipo de ligação realizada. As três contas apresentam ligações para telefones fixo e móveis, e ligações internacionais para Buenos Aires, onde moram seus primos. ü A tabela informa o tempo (em minuto) das ligações que cada um efetuou e o valor correspondente da conta, já descontado o preço da assinatura. Fixo Móvel Internacional (Buenos Aires) Valor (R$) Paula 10 min 6 min 2 min 12, 20 Júlia 14 min 3 min 13, 40 André 8 min 5 min 14, 70
![Matemática 2º ano Sistemas Lineares v Vamos denominar x y e z os preços Matemática, 2º ano, Sistemas Lineares v Vamos denominar x, y e z os preços](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/e74011cac995a53327936dea4e4486cc/image-3.jpg)
Matemática, 2º ano, Sistemas Lineares v Vamos denominar x, y e z os preços do minuto de ligação para telefones fixos, para telefones móveis e para Buenos Aires, respectivamente: ü A conta de Paula é dada por: 10 x + 6 y + 2 z = 12, 20 ü A conta de Júlia é dada por: 14 x + 4 Y + 3 z = 13, 40 ü A conta de André é dada por: 8 x + 5 y + 5 z = 14, 70 As três equações acima constituem um exemplo de sistema linear.
![Matemática 2º ano Sistemas Lineares EQUAÇÃO LINEAR v As equações que obtivemos têm muitas Matemática, 2º ano, Sistemas Lineares EQUAÇÃO LINEAR v As equações que obtivemos têm muitas](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/e74011cac995a53327936dea4e4486cc/image-4.jpg)
Matemática, 2º ano, Sistemas Lineares EQUAÇÃO LINEAR v As equações que obtivemos têm muitas coisas em comum. Vamos analisar por exemplo a equação: 10 x + 6 y + 2 z = 12, 20 ü É uma equação de 1º grau. ü Os três termos do 1º membro são de 1º grau. ü O termo do segundo membro é de grau zero (independe de qualquer variável). ü Uma equação desse tipo é chamada de equação linear.
![Matemática 2º ano Sistemas Lineares EQUAÇÃO LINEAR NOTAÇÃO v De maneira geral se a Matemática, 2º ano, Sistemas Lineares EQUAÇÃO LINEAR (NOTAÇÃO) v De maneira geral, se a](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/e74011cac995a53327936dea4e4486cc/image-5.jpg)
Matemática, 2º ano, Sistemas Lineares EQUAÇÃO LINEAR (NOTAÇÃO) v De maneira geral, se a 1, a 2, a 3, . . . , an, b são constantes reais e x 1, x 2, x 3, . . . , xn são variáveis reais, uma equação linear é do tipo: a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 +. . . + anxn = b ü x 1 , x 2 , x 3 , ü a 1 , üb . . . , xn são as incógnitas; a 2, a 3, . . . , an são os coeficientes; é o termo independente; Note que, numa equação linear, os expoentes de todas as variáveis são sempre iguais a 1.
![Matemática 2º ano Sistemas Lineares SISTEMA LINEAR v Chamase sistema linear a n incógnitas Matemática, 2º ano, Sistemas Lineares SISTEMA LINEAR v Chama-se sistema linear a n incógnitas](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/e74011cac995a53327936dea4e4486cc/image-6.jpg)
Matemática, 2º ano, Sistemas Lineares SISTEMA LINEAR v Chama-se sistema linear a n incógnitas um conjunto de duas ou mais equações lineares com n incógnitas. Sistema linear com 2 equações e 2 incógnitas (x, y). x + 2 y = 3 x–y=5 Sistema linear com 3 equações e 4 incógnitas (x, y, z e t). 2 x – y +z – t = 0 x – 2 y + t = 0 3 x + y – 2 z = 0
![Matemática 2º ano Sistemas Lineares OBSERVAÇÃO v Todo sistema linear pode ser representado na Matemática, 2º ano, Sistemas Lineares OBSERVAÇÃO v Todo sistema linear pode ser representado na](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/e74011cac995a53327936dea4e4486cc/image-7.jpg)
Matemática, 2º ano, Sistemas Lineares OBSERVAÇÃO v Todo sistema linear pode ser representado na forma matricial. 2 x + y = 3 x – 2 y = 0 5 x + y = 0 A= 2 1 1 – 2 5 1 Matriz dos coeficientes X= x Y Matriz das incógnitas 3 B= 0 1 Matriz dos termos independentes
![Matemática 2º ano Sistemas Lineares SOLUÇÃO DE UM SISTEMA LINEAR v Uma solução de Matemática, 2º ano, Sistemas Lineares SOLUÇÃO DE UM SISTEMA LINEAR v Uma solução de](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/e74011cac995a53327936dea4e4486cc/image-8.jpg)
Matemática, 2º ano, Sistemas Lineares SOLUÇÃO DE UM SISTEMA LINEAR v Uma solução de um sistema linear é um conjunto de valores que satisfaz ao mesmo tempo todas as equações do sistema linear. ü No sistema linear (2, 3) é solução → x+y=5 2 x – y = 1 2 + 3 = 5 (V) 2. 2 – 3 = 1 (V) (3, 2) não é solução → 3 + 2 = 5 (V) 2. 3 – 2 = 1 (F)
![Matemática 2º ano Sistemas Lineares SISTEMA LINEAR HOMOGÊNEO v Consideramos como sistema linear homogêneo Matemática, 2º ano, Sistemas Lineares SISTEMA LINEAR HOMOGÊNEO v Consideramos como sistema linear homogêneo](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/e74011cac995a53327936dea4e4486cc/image-9.jpg)
Matemática, 2º ano, Sistemas Lineares SISTEMA LINEAR HOMOGÊNEO v Consideramos como sistema linear homogêneo aquele que possui todos os coeficientes independentes nulos. ü Num sistema linear homogêneo, todas as equações são homogêneas (possui todos os coeficientes independentes nulos). ü Todo sistema linear homogêneo admite a solução nula (0, 0, 0, . . . , 0), chamada de trivial. ü Um sistema homogêneo pode ter outras soluções além da trivial.
![Matemática 2º ano Sistemas Lineares EXEMPLO v O sistema linear x 2 y Matemática, 2º ano, Sistemas Lineares EXEMPLO v O sistema linear x – 2 y](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/e74011cac995a53327936dea4e4486cc/image-10.jpg)
Matemática, 2º ano, Sistemas Lineares EXEMPLO v O sistema linear x – 2 y = 0 – 3 x + 6 y = 0 (0, 0) é solução → é homogêneo. 0 – 2. 0 = 0 (V) – 3. 0 + 6. 0 = 0 (V) (2, 1) também é solução → 2 – 2. 1 = 0 (V) – 3. 2 + 6. 1 = 0 (V)
![Matemática 2º ano Sistemas Lineares SISTEMAS EQUIVALENTES v Dois ou mais sistemas que tenham Matemática, 2º ano, Sistemas Lineares SISTEMAS EQUIVALENTES v Dois ou mais sistemas que tenham](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/e74011cac995a53327936dea4e4486cc/image-11.jpg)
Matemática, 2º ano, Sistemas Lineares SISTEMAS EQUIVALENTES v Dois ou mais sistemas que tenham exatamente as mesmas soluções são chamados sistemas equivalentes. 2 x + y = 5 x–y=1 e x+y=3 3 x + y = 7 ü Ambos os sistemas são possíveis e determinados. ü A solução é a sequência (2, 1).
![Matemática 2º ano Sistemas Lineares PROPRIEDADES DE EQUIVALÊNCIA ENTRE SISTEMAS v Trocar de posição Matemática, 2º ano, Sistemas Lineares PROPRIEDADES DE EQUIVALÊNCIA ENTRE SISTEMAS v Trocar de posição,](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/e74011cac995a53327936dea4e4486cc/image-12.jpg)
Matemática, 2º ano, Sistemas Lineares PROPRIEDADES DE EQUIVALÊNCIA ENTRE SISTEMAS v Trocar de posição, entre si, duas equações do sistema. v Multiplicar (ou dividir) os dois membros de uma equação do sistema por uma constante não-nula. v Substituir uma equação pela soma, membro a membro, dela com outra equação, podendo ser ambas multiplicadas, antes por uma constante real não-nula.
![Matemática 2º ano Sistemas Lineares CLASSIFICAÇÃO DE UM SISTEMA LINEAR v Quanto ao número Matemática, 2º ano, Sistemas Lineares CLASSIFICAÇÃO DE UM SISTEMA LINEAR v Quanto ao número](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/e74011cac995a53327936dea4e4486cc/image-13.jpg)
Matemática, 2º ano, Sistemas Lineares CLASSIFICAÇÃO DE UM SISTEMA LINEAR v Quanto ao número de soluções, um sistema pode ser possível e determinado, possível e indeterminado ou impossível. Sistema linear Não Tem solução? Impossível (SI) Sim Possível (SP) Apenas uma Quantas? Determinado (SPD) Infinitas Indeterminado (SPI)
![Matemática 2º ano Sistemas Lineares SISTEMA DE EQUAÇÕES COM DUAS INCÓGNITAS E INTERPRETAÇÃO GRÁFICA Matemática, 2º ano, Sistemas Lineares SISTEMA DE EQUAÇÕES COM DUAS INCÓGNITAS E INTERPRETAÇÃO GRÁFICA](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/e74011cac995a53327936dea4e4486cc/image-14.jpg)
Matemática, 2º ano, Sistemas Lineares SISTEMA DE EQUAÇÕES COM DUAS INCÓGNITAS E INTERPRETAÇÃO GRÁFICA DA SOLUÇÃO v Em um plano cartesiano, as equações da forma ax + by = c, em que a e b são simultaneamente não nulos, definem uma reta. A solução de um sistema linear de duas equações a duas variáveis corresponde aos pontos comuns às retas relacionadas a essas equações.
![Matemática 2º ano Sistemas Lineares EXEMPLO 1 v 3 x y 5 Matemática, 2º ano, Sistemas Lineares EXEMPLO 1 v 3 x – y = 5](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/e74011cac995a53327936dea4e4486cc/image-15.jpg)
Matemática, 2º ano, Sistemas Lineares EXEMPLO 1 v 3 x – y = 5 x+y=7 Na 1ª equação, y = 3 x – 5. Subst. na 2ª equação, x + 3 x – 5 = 7 → 4 x = 12 → x = 3 y = 3 x – 5 → y = 3. 3 – 5 → y = 4 Solução (3, 4) ü Um sistema linear pode ter uma única solução. No caso, ele é chamado sistema possível e determinado (SPD).
![Matemática 2º ano Sistemas Lineares 3 x y 5 v Veja a Matemática, 2º ano, Sistemas Lineares 3 x – y = 5 v Veja a](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/e74011cac995a53327936dea4e4486cc/image-16.jpg)
Matemática, 2º ano, Sistemas Lineares 3 x – y = 5 v Veja a interpretação gráfica do sistema x+y=7 y r 1 4 O Retas concorrentes 3 x r 2
![Matemática 2º ano Sistemas Lineares EXEMPLO 2 v x 3 y 4 Matemática, 2º ano, Sistemas Lineares EXEMPLO 2 v x – 3 y = 4](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/e74011cac995a53327936dea4e4486cc/image-17.jpg)
Matemática, 2º ano, Sistemas Lineares EXEMPLO 2 v x – 3 y = 4 – 2 x + 6 y = 3 Na 1ª equação, x = 4 + 3 y. Subst. na 2ª equação, – 2(4 + 3 y) + 6 y = 3 → – 8 – 6 y + 6 y = 3 → 0 y = 11 ü Um sistema linear pode não ter solução. No caso, ele é chamado sistema impossível (SI).
![Matemática 2º ano Sistemas Lineares v Veja a análise geométrica do sistema x Matemática, 2º ano, Sistemas Lineares v Veja a análise geométrica do sistema x –](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/e74011cac995a53327936dea4e4486cc/image-18.jpg)
Matemática, 2º ano, Sistemas Lineares v Veja a análise geométrica do sistema x – 3 y = 4 – 2 x + 6 y = 3 y Retas paralelas r s O x
![Matemática 2º ano Sistemas Lineares EXEMPLO 3 v x 2 y Matemática, 2º ano, Sistemas Lineares EXEMPLO 3 v x – 2 y = –](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/e74011cac995a53327936dea4e4486cc/image-19.jpg)
Matemática, 2º ano, Sistemas Lineares EXEMPLO 3 v x – 2 y = – 5 – 2 x + 4 y = 10 Na 1ª equação, x = 2 y – 5. Subst. na 2ª equação, – 2(2 y – 5) + 4 y = 10 → – 4 y + 10 + 4 y = 10 → 0 y = 0 ü Um sistema linear pode ter infinitas soluções. No caso, ele é chamado sistema possível e indeterminado (SPI).
![Matemática 2º ano Sistemas Lineares x 2 y 5 v Veja Matemática, 2º ano, Sistemas Lineares x – 2 y = – 5 v Veja](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/e74011cac995a53327936dea4e4486cc/image-20.jpg)
Matemática, 2º ano, Sistemas Lineares x – 2 y = – 5 v Veja a análise gráfica do sistema – 2 x + 4 y = 10 y r 1 ≡ r 2 Retas coincidentes O x
![Matemática 2º ano Sistemas Lineares RESUMO EQUAÇÕES COM DUAS VARIÁVEIS y Determinado Possível Retas Matemática, 2º ano, Sistemas Lineares RESUMO (EQUAÇÕES COM DUAS VARIÁVEIS) y Determinado Possível Retas](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/e74011cac995a53327936dea4e4486cc/image-21.jpg)
Matemática, 2º ano, Sistemas Lineares RESUMO (EQUAÇÕES COM DUAS VARIÁVEIS) y Determinado Possível Retas concorrentes x (Uma única solução) (Possui solução) y Indeterminado SISTEMA (Infinitas soluções) y Impossível (Não possui solução) x Retas paralelas x Retas coincidentes
![Matemática 2º ano Sistemas Lineares REGRA DE CRAMER v Processo de resolução de sistemas Matemática, 2º ano, Sistemas Lineares REGRA DE CRAMER v Processo de resolução de sistemas](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/e74011cac995a53327936dea4e4486cc/image-22.jpg)
Matemática, 2º ano, Sistemas Lineares REGRA DE CRAMER v Processo de resolução de sistemas lineares por meio de determinantes. a 1 x + b 1 y = c 1 ü Suponhamos o sistema linear a 2 x +b 2 y = c 2 D= Dx = a 1 b 1 a 2 b 2 c 1 b 1 c 2 b 2 x= = a 1. b 2 – a 2. b 1 = c 1. b 2 – c 2. b 1 Dx D Dy = a 1 c 1 a 2 c 2 y= = a 1. c 2 – a 2. c 1 Dy D
![Matemática 2º ano Sistemas Lineares ü Analogamente podemos escrever a matriz incompleta de qualquer Matemática, 2º ano, Sistemas Lineares ü Analogamente, podemos escrever a matriz incompleta de qualquer](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/e74011cac995a53327936dea4e4486cc/image-23.jpg)
Matemática, 2º ano, Sistemas Lineares ü Analogamente, podemos escrever a matriz incompleta de qualquer sistema linear n x m, assim como o seu determinantes D e também os determinantes Di obtidos através da troca dos coeficientes de uma i-ésima incógnita pelos termos independentes no determinante da matriz incompleta. ü A regra de Cramer pode ser aplicada para resolver um sistema n x m, onde D 0. a solução é dada pelas razões: •
![Matemática 2º ano Sistemas Lineares EXEMPLO v Resolver o sistema linear D Dx Matemática, 2º ano, Sistemas Lineares EXEMPLO v Resolver o sistema linear D= Dx =](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/e74011cac995a53327936dea4e4486cc/image-24.jpg)
Matemática, 2º ano, Sistemas Lineares EXEMPLO v Resolver o sistema linear D= Dx = Dy = 3 1 5 – 2 5 1 12 – 2 3 5 5 12 3 x + y = 5 5 x – 2 y = 12 utilizando a regra de Cramer. = 3. (– 2) – 1. 5 = – 11 Dx = 5. (– 2) – 1. 12 = – 22 → x = = 3. 12 – 5. 5 = 11 → y = D Dy D = = 11 – 22 – 11 =2 = – 1
![Matemática 2º ano Sistemas Lineares RESOLUÇÃO DE SISTEMAS POR ESCALONAMENTO v A regra de Matemática, 2º ano, Sistemas Lineares RESOLUÇÃO DE SISTEMAS POR ESCALONAMENTO v A regra de](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/e74011cac995a53327936dea4e4486cc/image-25.jpg)
Matemática, 2º ano, Sistemas Lineares RESOLUÇÃO DE SISTEMAS POR ESCALONAMENTO v A regra de Cramer pode ser utilizada para discutir e resolver sistemas lineares em que o número de equações (m) é igual ao número de incógnitas (n). Quando m e n são maiores que três, torna-se muito trabalhoso utilizar essa regra. Por isso, usamos a técnica do escalonamento, que facilita a discussão e resolução de quaisquer sistemas lineares.
![Matemática 2º ano Sistemas Lineares ESCALONAMENTO DE SISTEMAS v Um sistema está escalonado quando Matemática, 2º ano, Sistemas Lineares ESCALONAMENTO DE SISTEMAS v Um sistema está escalonado quando](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/e74011cac995a53327936dea4e4486cc/image-26.jpg)
Matemática, 2º ano, Sistemas Lineares ESCALONAMENTO DE SISTEMAS v Um sistema está escalonado quando de equação para equação, no sentido de cima para baixo, houver aumento dos coeficientes nulos situados antes dos coeficientes não nulos. Por esse motivo, vamos descrever o sistema em forma de escada, ou seja, por escalonamento. v Para escalonar um sistema adotamos o seguinte procedimento: ü Fixamos como 1ª equação uma das que possuem o coeficiente da 1ª incógnita diferente de zero; ü Utilizando as propriedades de sistemas equivalentes, anulamos todos os coeficientes da 1ª incógnita das demais equações; ü Repetimos o processo com as demais incógnitas, até que o sistema se torne escalonado.
![Matemática 2º ano Sistemas Lineares EXEMPLO 1 x 2 y z Matemática, 2º ano, Sistemas Lineares EXEMPLO 1 x – 2 y + z =](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/e74011cac995a53327936dea4e4486cc/image-27.jpg)
Matemática, 2º ano, Sistemas Lineares EXEMPLO 1 x – 2 y + z = 3 0 x + y – z = 2 0 x + 0 y + 0 z = 3 Um sistema escalonado é impossível (SI) só quando apresenta uma equação impossível.
![Matemática 2º ano Sistemas Lineares EXEMPLO 2 xyz4 0 x y z Matemática, 2º ano, Sistemas Lineares EXEMPLO 2 x–y+z=4 0 x + y – z](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/e74011cac995a53327936dea4e4486cc/image-28.jpg)
Matemática, 2º ano, Sistemas Lineares EXEMPLO 2 x–y+z=4 0 x + y – z = 2 0 x + 0 y + 3 z = 3 3ª equação: 3 z = 3 → z = 1 2ª equação: y – z = 2 → y – 1 = 2 → y = 3 1ª equação: x – y + z = 4 → x – 3 + 1 = 4 → x = 6 Solução (6, 3, 1) Um sistema escalonado é possível e determinado (SPD) quando o número de equações é igual ao número de incógnitas.
![Matemática 2º ano Sistemas Lineares EXEMPLO 3 xyz3 0 x y 2 Matemática, 2º ano, Sistemas Lineares EXEMPLO 3 x–y+z=3 0 x + y – 2](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/e74011cac995a53327936dea4e4486cc/image-29.jpg)
Matemática, 2º ano, Sistemas Lineares EXEMPLO 3 x–y+z=3 0 x + y – 2 z = 3 0 x + 0 y + 0 z = 0 ü A última equação é nula. Por isso, ela deve ser eliminada. x–y+z=3 0 x + y – 2 z = 3 Um sistema escalonado é possível e indeterminado (SPI) quando o número de equações é menor que o número de incógnitas.
![Matemática 2º ano Sistemas Lineares xyz3 0 x y 2 z Matemática, 2º ano, Sistemas Lineares x–y+z=3 0 x + y – 2 z =](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/e74011cac995a53327936dea4e4486cc/image-30.jpg)
Matemática, 2º ano, Sistemas Lineares x–y+z=3 0 x + y – 2 z = 3 Troca de variável: z = k 2ª equação: y – 2 z = 2 → y – 2 k = 3 → y = 2 k + 3 1ª equação: x – y + z = 3 → x – (2 k + 3) + k = 3 → x – 2 k – 3 + k = 3 → x = k + 6 Solução geral: (k + 6, 2 k + 3, k) k = – 1 → (5, 1, – 1) k = 0 → (5, 1, – 1) k = 1 → (7, 5, 1). . .
![Matemática 2º ano Sistemas Lineares ESCALONAMENTO NA FORMA DE MATRIZ v A todo sistema Matemática, 2º ano, Sistemas Lineares ESCALONAMENTO NA FORMA DE MATRIZ v A todo sistema](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/e74011cac995a53327936dea4e4486cc/image-31.jpg)
Matemática, 2º ano, Sistemas Lineares ESCALONAMENTO NA FORMA DE MATRIZ v A todo sistema linear podemos associar uma matriz, chamada matriz completa do sistema. x – 2 y + 3 z = 1 1 x – 2 y + 3 z = 1 2 y + z = 7 0 x + 2 y + 1 z = 7 –x + z = 5 – 1 x + 0 y + 1 z = 5 Matriz completa: 1 – 2 3 1 0 2 1 7 – 1 0 1 5
![Matemática 2º ano Sistemas Lineares EXEMPLO 2 x y 5 v Escalonar Matemática, 2º ano, Sistemas Lineares EXEMPLO 2 x – y = 5 v Escalonar,](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/e74011cac995a53327936dea4e4486cc/image-32.jpg)
Matemática, 2º ano, Sistemas Lineares EXEMPLO 2 x – y = 5 v Escalonar, discutir e resolver, se possível, o sistema x + 3 y = 1 3 x – y = 4 Associando o sistema a uma matriz temos: 2 – 1 5 1 3 – 1 4
![Matemática 2º ano Sistemas Lineares 2 1 5 1 3 1 4 Matemática, 2º ano, Sistemas Lineares 2 – 1 5 1 3 – 1 4](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/e74011cac995a53327936dea4e4486cc/image-33.jpg)
Matemática, 2º ano, Sistemas Lineares 2 – 1 5 1 3 – 1 4 1 3 1 0 – 7 3 3 – 1 4 1 3 1 0 – 70 30 0 – 70 7 x(-3) + X(-1) + 1 3 1 x(-2) 2 – 1 5 + 3 – 1 4 1 3 1 0 – 7 3 x 10 0 – 10 1 x 7 1 3 1 0 – 70 30 0 0 – 23 ü A matriz está escalonada. ü A última linha representa a equação 0 x + 0 y = – 23 → SI
![Matemática 2º ano Sistemas Lineares QUESTÕES Matemática, 2º ano, Sistemas Lineares QUESTÕES](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/e74011cac995a53327936dea4e4486cc/image-34.jpg)
Matemática, 2º ano, Sistemas Lineares QUESTÕES
![Matemática 2º ano Sistemas Lineares 1 UFFRJ Um biscoito é composto por açúcar farinha Matemática, 2º ano, Sistemas Lineares 1) (UFF-RJ) Um biscoito é composto por açúcar, farinha](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/e74011cac995a53327936dea4e4486cc/image-35.jpg)
Matemática, 2º ano, Sistemas Lineares 1) (UFF-RJ) Um biscoito é composto por açúcar, farinha de trigo e manteiga, sendo a quantidade de farinha o dobro da quantidade de açúcar. Os preços por quilograma do açúcar, da farinha e da manteiga são, respectivamente, R$ 0, 50, R$ 0, 80 e R$ 5, 00. O custo por quilograma de massa do biscoito, considerando apenas esses ingredientes, é R$ 2, 42. Calcule a quantidade, em gramas, de cada ingrediente presente em 1 kg de massa do biscoito. Açúcar: 200 g Farinha: 400 g Manteiga: 400 g
![Matemática 2º ano Sistemas Lineares 2 FuvestSP Carlos e sua irmã Andreia foram com Matemática, 2º ano, Sistemas Lineares 2) (Fuvest-SP) Carlos e sua irmã Andreia foram com](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/e74011cac995a53327936dea4e4486cc/image-36.jpg)
Matemática, 2º ano, Sistemas Lineares 2) (Fuvest-SP) Carlos e sua irmã Andreia foram com seu cachorro Bidu à farmácia de seu avô. Lá, encontrara uma velha balança com defeito que só indicava corretamente pesos superiores a 60 kg. Assim eles pesaram dois a dois e obtiveram as seguintes marcas: • Carlos e o cão pesam, juntos, 87 kg; • Carlos e Andreia pesam 123 kg; • Andreia e Bidu pesam 66 kg. Podemos afirmar que: a) Cada um deles pesa menos que 60 kg. b) Dois deles pesam mais que 60 kg. c) Andreia é a mais pesada de todas. d) O peso de Andreia é a média aritmética dos pesos de Carlos e Bidu. e) Carlos é o mais pesado que Andreia e Bidu juntos.
![Matemática 2º ano Sistemas Lineares 3 VunespSP Misturamse dois tipos de leite um com Matemática, 2º ano, Sistemas Lineares 3) (Vunesp-SP) Misturam-se dois tipos de leite, um com](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/e74011cac995a53327936dea4e4486cc/image-37.jpg)
Matemática, 2º ano, Sistemas Lineares 3) (Vunesp-SP) Misturam-se dois tipos de leite, um com 3% de gordura e outro com 4% de gordura para obter, ao todo, 80 litros de leite com 3, 25% de gordura. Quantos litros de leite de cada tipo foram misturados? 60 litros de leite com 3% de gordura 20 litros de leite com 4% de gordura
![Matemática 2º ano Sistemas Lineares 4 Osec SP O sistema linear a admite Matemática, 2º ano, Sistemas Lineares 4) (Osec – SP) O sistema linear a) admite](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/e74011cac995a53327936dea4e4486cc/image-38.jpg)
Matemática, 2º ano, Sistemas Lineares 4) (Osec – SP) O sistema linear a) admite solução única b) admite infinitas soluções c) admite apenas duas soluções d) não admite solução e) N. D. A. :
![Matemática 2º ano Sistemas Lineares EXTRAS GEOGEBRA ü Utilizar o software geogebra para a Matemática, 2º ano, Sistemas Lineares EXTRAS GEOGEBRA ü Utilizar o software geogebra para a](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/e74011cac995a53327936dea4e4486cc/image-39.jpg)
Matemática, 2º ano, Sistemas Lineares EXTRAS GEOGEBRA ü Utilizar o software geogebra para a representação gráfica de sistemas de equações lineares. ü Este programa é de uso livre e pode ser obtido no endereço: http: //www. baixaki. com. br/download/geogebra. htm. WINMAT ü Utilizar o software winmat para o escalonamento de sistemas. ü Este programa é de uso livre e pode ser obtido no endereço: http: //math. exeter. edu/rparris/winmat. html.
![Matemática 2º ano Sistemas Lineares REFERÊNCIAS Sites v v v http www mundoeducacao com Matemática, 2º ano, Sistemas Lineares REFERÊNCIAS Sites: v v v http: //www. mundoeducacao. com.](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/e74011cac995a53327936dea4e4486cc/image-40.jpg)
Matemática, 2º ano, Sistemas Lineares REFERÊNCIAS Sites: v v v http: //www. mundoeducacao. com. br/matematica/sistemas-equacoes-lineares. htm http: //www. brasilescola. com/matematica/sistemas-lineares. htm http: //pt. wikipedia. org/wiki/Sistemas_lineares http: //pt. wikibooks. org/wiki/Matem%C 3%A 1 tica_elementar/Sistemas_lineares http: //www. somatematica. com. br/emedio/sistemas. php Livros: v I. Silva, Cláudio Xavier da. II. Filho, Benigno Barreto. Matemática aula por aula, 2 : ensino médio – São Paulo : FTD, 2009. v Dante, Luiz Roberto. Matemática : volume único - Ática. São Paulo : Ática, 2005. v I. Iezzi, Gelson. II. Dolce, Osvaldo. III. Degenszajn, David. IV. Périgo, Roberto. Matemática : volume único – São Paulo : Atual, 2002.
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