Unidade de Ensino Superior Dom Bosco Curso de

Unidade de Ensino Superior Dom Bosco Curso de Sistemas de Informação Disciplina de Lógica Matemática e Computacional Semestre 2013. 2 1º Período A Lógica das Sentenças Abertas Profa. Ana Florencia Aula 9

Roteiro 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. Sentenças abertas com uma variável Conjunto- verdade de uma sentença aberta Sentenças com N variáveis e seu conjunto verdade Conjunção sobre sentenças abertas Disjunção sobre sentenças abertas Negação sobre sentenças abertas Demais operadores 1. O operador Condicional 2. O operador Bicondicional 8. Equivalências tautológicas 9. Exercício sobre sentenças abertas Lógica matemática e Computacional- Profa. Ana Florencia 2

Sentenças abertas com uma variável • Definição: – Uma sentença aberta com uma variável num conjunto A; – Ou uma sentença em A; • P(x) tal que p(a) é verdadeira (V) ou falsa (F) para todo elemento a pertencente ao conjunto A , ou seja, • Para todo a∈A; • O conjunto A também é chamado de domínio da variável x. Lógica matemática e Computacional- Profa. Ana Florencia 3

• Em outras palavras: – uma sentença aberta em A é uma frase que contém “espaços em brancos” (as variáveis) que devem ser preenchidos com valores retirados do conjunto A. • Quando um elemento é retirado deste conjunto e “encaixado” na sentença aberta, então esta sentença deixa de ser aberta; • e passa a se comportar como uma proposição simples: – tendo um valor lógico possível: ou ela é uma sentença que afirma algo verdadeiro (proposição verdadeira) ou uma sentença que afirma algo falso (uma proposição falsa). • Diz-se que a sentença é fechada quando isto ocorre. Lógica matemática e Computacional- Profa. Ana Florencia 4

Construir sentenças abertas, definindo domínios apropriados para suas variáveis, é similar a jogar um jogo de montar “frases” ou “versos”, onde uma frase ou texto mais complexo é formado a partir de trechos sugeridos pelos participantes. Lógica matemática e Computacional- Profa. Ana Florencia 5

• No caso do “jogo de montar sentenças abertas” da lógica: – é necessário escolher primeiro qual será o domínio das variáveis, ou seja, de onde serão retirados os elementos que se encaixarão na frase aberta. • Isto ocorre também nos jogos de montar frases ou palavras. Lógica matemática e Computacional- Profa. Ana Florencia 6

Exemplo Vamos supor o conjunto de móveis que podem pertencer a uma sala de aula: estantes, mesas, cadeiras, quadro, computadores (e seus componentes), etc. • Sabendo qual é o domínio então pode-se começar a “montar” as sentenças. • No exemplo, poderíamos ter frases como: – (a. 1) “A minha mesa não está firme. ” – (b. 1) “Esta é a cadeira que faltava. ” – (c. 1) “A cadeira que falta aqui é a cadeira que está sobrando lá no canto. ” Lógica matemática e Computacional- Profa. Ana Florencia 7

• Estes exemplos apresentam proposições simples, que são sentenças fechadas, sem variáveis. • Porém as variáveis poderiam aparecer como espaços: – (a. 2) “A minha _ _ não está firme. ” – (b. 2) “Esta é a _ _ que faltava. ” – (c. 2) “A _ _ que falta aqui é a _ _ que está sobrando lá no canto. ” –. . . Lógica matemática e Computacional- Profa. Ana Florencia 8

• Um problema: – “espaço em branco” é um espaço em branco igual aos outros; – Quando existe um só espaço em branco na frase, então não há ambiguidade; • Porém, quando ela aparece em vários lugares é necessário indicar claramente quem é quem em termos de “espaços em branco”. Lógica matemática e Computacional- Profa. Ana Florencia 9

Solução • é dar “nome” aos espaços em branco, que deixam de ser espaços e passam a ser variáveis: – (a. 3) “A minha x não está firme. ” – (b. 3) “Esta é a x que faltava. ” – (c. 3) “A x que falta aqui é a x que está sobrando lá no canto. ” – Para os x pertencentes aos móveis da sala de aula. –. . . Lógica matemática e Computacional- Profa. Ana Florencia 10

• Para completar o processo de formalização, ou seja, deixar as claro somente a forma das sentenças e não se preocupar com seu conteúdo (seu significado), são atribuídos símbolos para as afirmações abertas: – (a. 4) P(x) = “A minha x não está firme. ” – (b. 4) Q(x) “Esta é a x que faltava. ” – (c. 4) R(x) = “A x que falta aqui é a x que está sobrando lá no canto. ” • Que são válidas para o domínio A que é o conjunto de móveis da sala de aula. • Dessa forma as sentenças são expressas simplesmente como: » P(x), Q(x) e R(x) para x∈A. Lógica matemática e Computacional- Profa. Ana Florencia 11

• Em termos da língua portuguesa, uma sentença simples é formada basicamente por dois elementos: o sujeito e seu predicado. • Já as sentenças abertas formais: – são normalmente construídas, considerando-se que o sujeito da frase é substituído por uma variável; – é definido um domínio para esta variável, dizendo quem são os objetos, pessoas, entidades, coisas, etc. – O predicado restante passa a ser então a afirmação que está sendo feita sobre algum sujeito do domínio. – Definição: sentenças abertas também são denominadas simplesmente de PREDICADOS. Lógica matemática e Computacional- Profa. Ana Florencia 12

Outros exemplos: • São sentenças abertas em N= {1, 2, 3, . . . , n, . . . } as seguintes expressões: (d) x+1>8 (f) x 2 - 5 x + 6 = 0 (e) x é primo (g) x é divisor de 10 para os x∈N. Lógica matemática e Computacional- Profa. Ana Florencia 13

Conjunto- Verdade de uma Sentença Aberta Lógica matemática e Computacional- Profa. Ana Florencia 14

• Definição: – chama-se conjunto- verdade de uma sentença aberta P(x) num domínio A, o conjunto de todos os elementos a∈A tais que P(a) é uma proposição verdadeira. • Formalmente o conjunto- verdade pode ser definido como: VP = {x | x∈A ∧ P(x)=V} • ou, mais simplesmente como: VP = {x∈A | P(x)} Lógica matemática e Computacional- Profa. Ana Florencia 15

Exemplos • (a) O conjunto- verdade de P(x) = “x+1 > 8” em N={1, 2, 3, . . . } (conjunto dos números naturais) é dado por: VP = {x∈N | P(x)} = {x∈N | x+1 > 8}= {8, 9, 10, . . . } ⊂ N Lógica matemática e Computacional- Profa. Ana Florencia 16

Exemplos • (b) O conjunto- verdade de P(x) = “x+7 < 8” em N={1, 2, 3, . . . } (conjunto dos números naturais) é dado por: VP = {x∈N | x+7 < 5}= ∅ ⊂ N Lógica matemática e Computacional- Profa. Ana Florencia 17

Exemplos • (c) O conjunto- verdade de P(x) = “x é divisor de 10” em N={1, 2, 3, . . . } (conjunto dos números naturais) é dado por: VP = {x∈N | x é divisor de 10}= {1, 2, 4, 10} ⊂ N Lógica matemática e Computacional- Profa. Ana Florencia 18

Exemplos • (d) O conjunto- verdade de P(x) = “x+5 > 3” em N={1, 2, 3, . . . } (conjunto dos números naturais) é dado por: VP = {x∈N | x+5 > 3}= {1, 2, 3, 4, . . . } = N ⊂ N Lógica matemática e Computacional- Profa. Ana Florencia 19

Importante (I) Se P(x) é uma sentença aberta em A, então três casos podem ocorrer: – P(x) é verdadeira para todo x∈A. Neste caso o conjunto- verdade de P(x) é igual ao próprio domínio A. Quando isto ocorre se diz que P(x) exprime uma condição universal ou propriedade universal no conjunto A; Lógica matemática e Computacional- Profa. Ana Florencia 20

– (II) P(x) é verdadeira para alguns x∈A. Neste caso o conjunto- verdade de P(x) é um subconjunto próprio do domínio A. Quando isto ocorre se diz que P(x) exprime uma condição possível ou propriedade possível no conjunto A. – P(x) não é verdadeira para nenhum x∈A. Neste caso o conjunto- verdade de P(x) é vazio (VP = ∅). Quando isto ocorre se diz que P(x) exprime uma condição impossível ou propriedade impossível no conjunto A. Lógica matemática e Computacional- Profa. Ana Florencia 21

Sentenças com N variáveis e seu Conjunto- Verdade Lógica matemática e Computacional- Profa. Ana Florencia 22

• Supondo n conjuntos primitivos A 1, A 2, . . . , An que serão usados como domínios individuais de cada variável da sentença. • conjunto de todas as variáveis como o conjunto resultante do produto cartesiano destes conjuntos primitivos: A 1×A 2×. . . ×An Lógica matemática e Computacional- Profa. Ana Florencia 23

• O produto cartesiano de 2 conjuntos: – A 1×A 2 é o conjunto formado por todos as duplas ordenadas (a 1, a 2) onde, • a 1∈A 1 e a 2∈A 2. • Definição: – uma sentença aberta com n variáveis num conjunto A 1×A 2×. . . ×An, ou simplesmente – uma sentença aberta em A 1×A 2×. . . ×An, é uma expressão P(x 1, x 2, . . . , xn) – tal que p(a 1, a 2, . . . , an) é verdadeira (V) ou falsa (F) para todo ênupla (a 1, a 2, . . . , an) ∈ A 1×A 2×. . . ×An. Lógica matemática e Computacional- Profa. Ana Florencia 24

Então!! • O conjunto-verdade de uma sentença aberta P(x 1, x 2, . . . , xn) no domínio A 1×A 2×. . . ×An é – o conjunto de todas as ênuplas – (a 1, a 2, . . . , an) ∈ A 1×A 2×. . . ×An – tais que P(a 1, a 2, . . . , an) é uma proposição verdadeira. – Formalmente este conjunto- verdade pode ser definido como: VP = {(x 1, x 2, . . . , xn) ∈ A 1×A 2×. . . ×An | P(x 1, x 2, . . . , xn)} Lógica matemática e Computacional- Profa. Ana Florencia 25

Exercício • Determinar o conjunto- verdade em N (conjunto dos números naturais) de cada • uma das sentenças abertas a seguir: (a) 2 x = 6 (b) x-1<4 (c) x 2 - 5 x + 6 = 0 (d) x 2 - x + 2 = 0 (e) x 2 - 5 x = 0 (f) x - 5 ∈ N Lógica matemática e Computacional- Profa. Ana Florencia 26

Conjunção sobre Sentenças Abertas (∧) Lógica matemática e Computacional- Profa. Ana Florencia 27

• A conjunção lógica (a operação E lógico, representada pelo símbolo ∧) pode ser aplicada sobre sentenças abertas ou predicados. • . . . Lógica matemática e Computacional- Profa. Ana Florencia 28

• Vamos começar a análise da conjunção de sentenças abertas, supondo 2 sentenças abertas bastante simples: – “x é médico”, “x é professor” – podem ser aplicadas sobre o domínio (conjunto) das pessoas vivas atualmente. • Agora se conectarmos ambas afirmações pelo conectivo E lógico (∧) fica-se com a expressão: – “x é médico” ∧ “x é professor” – que somente pode ser verdadeira (satisfeita) para as pessoas (os “x”) que são ambos médico(a) e professor(a). Lógica matemática e Computacional- Profa. Ana Florencia 29

• Em todas as conjunções de sentenças abertas onde os domínios são finitos pode-se teoricamente montar uma tabela similar a vista acima e verificar, usando as regras da lógica proposicional, qual o valor-verdade da conjunção. Lógica matemática e Computacional- Profa. Ana Florencia 30

• Porém o que se pode fazer quando os domínios são infinitos? • Que tipo de significado se poderia atribuir para a conjunção de sentenças abertas sobre domínios infinitos? Lógica matemática e Computacional- Profa. Ana Florencia 31

A solução para este problema é? • usando-se a Teoria Elementar dos Conjuntos para definir o significado da operação de conjunção lógica sobre duas sentenças abertas. • . . . Lógica matemática e Computacional- Profa. Ana Florencia 32

• Vamos supor as duas sentenças já vistas anteriormente: • Deste desenho deve ficar claro que somente a intersecção das duas áreas (e portanto dos dois conjuntos) é que corresponde as pessoas que são ambas médicos e professores. Lógica matemática e Computacional- Profa. Ana Florencia 33

• Graficamente isto pode ser mostrado pelo seguinte diagrama: • Ou seja o conjunto- verdade correspondente a conjunção de duas sentenças abertas é dado pela intersecção dos conjuntos- verdade de ambas sentenças. • Formalmente, este conjunto- verdade é definido como: VP∧Q = VP ∩ VQ = {x∈A | P(x)} ∩ {x∈A | Q(x)} Lógica matemática e Computacional- Profa. Ana Florencia 34

Exemplo • Sejam as seguintes sentenças abertas em Z (conjunto dos número inteiros): P(x) = x 2 + x -2 = 0 Q(x) = x 2 - 4 = 0 • Tem-se que: VP∧Q = {x∈Z | P(x)} ∩ {x∈A | Q(x)} • = {x∈Z | x 2 + x -2 = 0} ∩ {x∈A | x 2 - 4 = 0} • = {-2, 1} ∩ {-2, 2} • = {-2} Lógica matemática e Computacional- Profa. Ana Florencia 35

Disjunção sobre Sentenças Abertas (∨) Lógica matemática e Computacional- Profa. Ana Florencia 36