Matemtica e suas Tecnologias Matemtica Ensino Mdio 2

Matemática e suas Tecnologias - Matemática Ensino Médio, 2° Ano Semelhança de triângulos

MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino Médio Semelhança de triângulos Os triângulos e suas aplicações no cotidiano Você já parou para imaginar como seria a nossa vida sem as formas triangulares? ? Já se perguntou sobre as utilidades delas para o mundo do trabalho ou já observou, nos espaços que você frequenta, onde estas formas estão presentes?

MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino Médio Semelhança de triângulos Imagem: Ottre / Domínio Público O conhecimento sobre triângulos é fundamental para diversos ramos das ciências e o domínio de suas propriedades é elemento essencial para entender suas utilidades. Como você pode notar, é comum encontrar vários exemplos práticos do cotidiano, no qual estas formas peculiares estão presentes. Imagem: 1 sttimeright / GNU Free Documentation License Imagem: John Fielding / Creative Commons Attribution -Share Alike 2. 0 Generic

MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino Médio Semelhança de triângulos Imagem: Sh Sharayan / Walters Art Museum / GNU Free Documentation License Imagem: Timeroot / GNU Free Documentation License Imagem: Werewombat / GNU Free Documentation License É fácil enxergar as formas triangulares a nossa volta. Veja:

Imagem: Erik Christensen / GNU Free Documentation License Imagem: Qurren / GNU Free Documentation License MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino Médio Semelhança de triângulos Imagem: Matteo / Creative Commons Attribution 2. 0 Generic

MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino Médio Semelhança de triângulos Tipos de triângulos É importante lembrar também que um triângulo pode ser classificado “simultaneamente”, de acordo com seus lados e ângulos.

MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino Médio Semelhança de triângulos Quanto aos lados, os triângulos podem ser classificados em: Imagem: Img / GNU Free Documentation License Triângulo equilátero: Quando possui todos os lados congruentes, ou seja, iguais. Observação: Um triângulo equilátero é também um triângulo equitângulo, ou seja, possui ângulos congruentes.

MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino Médio Semelhança de triângulos Imagem: Darsie / GNU Free Documentation License Triângulo isósceles: Quando possui pelo menos dois lados de mesma medida e dois ângulos congruentes. Observações: • O triângulo equilátero é também um caso especial de um triângulo isósceles, porque apresenta não somente dois, mas todos os três lados iguais, assim como os ângulos que medem todos 60º; • num triângulo isósceles, o ângulo formado pelos lados congruentes é chamado ângulo do vértice. Os demais ângulos denominam-se ângulos da base e são congruentes.

MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino Médio Semelhança de triângulos Imagem: Img / GNU Free Documentation License Triângulo Escaleno: Quando possui as medidas dos três lados diferentes. Os ângulos internos de um triângulo escaleno também possuem medidas diferentes.

MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino Médio Semelhança de triângulos É importante lembrar também que, quanto aos ângulos, os triângulos podem ser classificados em: Triângulo retângulo: Imagem: E 2 m / Domínio Público Triângulo retângulo é todo triângulo que tem um ângulo reto. O triângulo ABC é retângulo em A e seus elementos são: a: hipotenusa b e c: catetos h: altura relativa a hipotenusa m e n: projeções ortogonais dos catetos sobre a hipotenusa

MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino Médio Semelhança de triângulos Triângulo obtusângulo: Imagem: E 2 m / GNU Free Documentation License Um triângulo obtusângulo possui um ângulo obtuso (maior que 90º) e dois ângulos agudos (menores que 90º).

MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino Médio Semelhança de triângulos Triângulo acutângulo: Imagem: Darsie / GNU Free Documentation License Em um triângulo acutângulo, os três ângulos são agudos (formando 180°).

MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino Médio Semelhança de triângulos Congruência e semelhança Observe as figuras abaixo: Fig. A Fig. B α 6, 2 m 4, 5 m β 6 m Y 6 m As figuras acima são congruentes, pois possuem mesma forma e lados correspondentes com medidas iguais, o que leva a deduzir que os ângulos correspondentes também possuem medidas iguais.

MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino Médio Semelhança de triângulos Agora observe as seguintes figuras: Fig. A Fig. B α 4, 5 m α 18, 6 m 13, 5 m β Y 18 m β 6, 2 m Y 6 m Note que os lados correspondentes dos triângulos A e B são proporcionais, pois as razões entre as medidas dos mesmos são iguais, ou seja: 13, 5 = 3 18 = 3 18, 6 = 3 4, 5 6, 2 Concluímos, então, que as figuras A e B são semelhantes, pois seus ângulos correspondes possuem medidas iguais e todos os seus lados são proporcionais.

MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino Médio Semelhança de triângulos Como reconhecer triângulos semelhantes? Para saber se dois triângulos são semelhantes, basta observar se eles obedecem a um dos seguintes casos:

MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino Médio Semelhança de triângulos 1º CASO: NGULO/ NGULO “Dois triângulos são semelhantes quando dois ângulos que se correspondem são respectivamente congruentes. ” B ^ ^ Q A C P R ABC ~ PQR

MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino Médio Semelhança de triângulos 2º CASO: LADO/ NGULO/LADO “Dois triângulos são semelhantes quando dois lados que se correspondem são proporcionais e quando os ângulos determinados por estes lados são congruentes. ” B Q ^ A C P R ^ ABC ~ PQR

MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino Médio Semelhança de triângulos 3º CASO: Relação LADO/LADO “Dois triângulos são semelhantes quando os três lados que se correspondem são proporcionais. ” B Q A P C R ABC ~ PQR

MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino Médio Semelhança de triângulos Teorema de Tales: Cortando-se um feixe de retas paralelas por duas retas transversais, os segmentos determinados sobre uma transversal são proporcionais aos correspondentes determinados sobre a outra. Observe a situação abaixo: Analisando a figura ao lado pelo teorema mencionado acima, conclui-se que: Ou também que:

MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino Médio Semelhança de triângulos Desafio: As redes de água e esgoto da Rua do Funil, na cidade de Tacaratu/PE, estão distribuídas conforme mostra a figura abaixo: Calçada Início da rua x 250 m Esgoto/Água 200 m 300 m Calçada Fim da rua Se as linhas azuis (transversais) representam passarelas para pedestres, paralelas entre si, e as linhas pontilhadas representam as tubulações de esgoto e água, respectivamente, qual das duas redes é a maior?

MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino Médio Semelhança de triângulos Pelo Teorema de Tales, deduzimos que: 200 = 250 300 X 200. X = 300. 250 200 X = 75. 000 200 X = 375 metros A rede de água mede 500 metros, pois: 200 + 300 = 500 Já a rede de esgoto mede 625 metros, porque: 250 + 375 = 625 Resposta: a rede de esgoto, pois, mede 125 metros a mais que a rede de água.

MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino Médio Semelhança de triângulos Segmentos proporcionais determinados num triângulo 1º Caso: Uma reta paralela a um dos lados de um triângulo, de modo que intercepte os outros dois lados em pontos distintos, determina, nesses dois lados, segmentos proporcionais. B r//AC BP, PA, BQ E QC são proporcionais. Q P Sendo assim: r C A

MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino Médio Semelhança de triângulos 2º Caso: a bissetriz de um ângulo interno de um triângulo determina, no lado oposto a este ângulo, dois segmentos proporcionais aos outros dois lados deste triângulo. B x BD é bissetriz AD, DC, AB E BC são proporcionais. x Desta forma: A D C

MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino Médio Semelhança de triângulos Vamos ver como estas propriedades funcionam: 1°) Sabendo que no triângulo abaixo r//AC, calcule o valor de X. B 3 cm P r Solução: x Q 12 cm 9 cm C A

MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino Médio Semelhança de triângulos 2°) Sabendo que BD é bissetriz do ângulo B do triângulo abaixo, determine a medida do segmento DC B Solução: 5 cm 6 cm A 3 cm D X C

MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino Médio Semelhança de triângulos Relações métricas no triângulo retângulo: Em um triângulo qualquer: a 2 = b 2 + c 2 b 2 = ma c 2 = na Imagem: E 2 m / Domínio Público h 2 = mn ah = bc a = m + n

MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino Médio Semelhança de triângulos Note que, do triângulo anterior, derivam dois outros triângulos que determinam as relações métricas: A A’ b c b h m D c h n C A’’ m B a B h n C C Sendo assim, por semelhança de triângulos, temos: b 2 = ma c 2 = na h 2 = mn ah = bc Teorema de Pitágoras: a 2 = b 2 + c 2 D

MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino Médio Semelhança de triângulos Conhecendo apenas duas medidas no triângulo retângulo, é possível descobrir as outras quatro aplicando as relações métricas vistas anteriormente. Veja: Exemplo: Use as relações métricas do triângulo retângulo para encontrar as medidas desconhecidas da figura abaixo: A 12 m c h n C 9, 6 m D b 2 = ma a = m + n 122 = 9, 6 a 15 = 9, 6 + n a = 144/9, 6 n = 19 - 9, 6 a = 15 m n = 5, 4 m B a c 2 = na h 2 = mn c 2 = 15. 5, 4 h 2 = 9, 6. 5. 4 c 2 = 81 c 2 = 9 m h 2 = 7, 2 n Note que todas as medidas desconhecidas foram encontradas por meio das relações métricas demonstradas anteriormente.

MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino Médio Semelhança de triângulos Agora use o que você aprendeu para resolver os seguintes desafios: 1º) Um prédio projeta uma sombra de 41, 25 m de comprimento no mesmo instante em que Juliana, que tem 1, 8 m de altura, projeta uma sombra de 6, 75 m. Qual é a altura do prédio? 2º)Uma determinada firma imobiliária resolveu lotear um terreno em 4 outros menores com duas frentes: uma para a rua 1 e outra para rua 2, como mostra a figura abaixo. Sabendo-se que as divisões laterais são perpendiculares à rua 1 e que a frente total para a rua 2 é de 480 m, qual a medida da frente de cada lote, para a rua 2, respectivamente? a) 40 m; 80 m; 120 m; 160 m b) 45 m; 85 m; 125 m; 165 m c) 48 m; 96 m; 144 m; 192 m d) 55 m; 95 m; 135 m; 175 m e) 60 m; 100 m; 140 m; 180 m 2 a Ru 30 m 60 m 90 m Rua 1 120 m

MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino Médio Semelhança de triângulos 3º) (UFR-RJ) Pedro está construindo uma fogueira representada pela figura abaixo. Ele sabe que a soma de x com y é 42 e que as retas r, s e t são paralelas. A diferença de x- y é: A) 2 B) 4 C) 6 D) 10 E) 12 r 8 s 6 x y t . 4º) Na figura a seguir, AB || CD então x e y valem, respectivamente: a) b) c) d) e) 25 cm e 13 cm 4/3 e 16/3 20 cm e 12 cm 40 cm e 24 cm 40 cm e 28 cm F 24 cm B 32 cm X A y 18 cm C D 70 cm

MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino Médio Semelhança de triângulos SOLUÇÕES DOS DESAFIOS: 1º) solução: Utilizando Hp para indicar a altura do prédio, Sp para indicar a sombra projetada pelo prédio, Hj para a altura de Juliana e Sj para indicar a sombra projetada pela mesma, temos: Lembre-se de que os raio de sol se propagam na Terra por linhas paralelas, o que faz com que a altura do prédio seja proporcional à sua sombra, assim como a Altura de Juliana é proporcional à sombra projetada pela mesma. Sp = 41, 25 m Hp = x Hj = 1, 8 m Sj = 6, 75 m Sendo assim, conclui-se que a altura do prédio é de 11 metros.

MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino Médio Semelhança de triângulos 2º) solução: Marcando as medidas a serem conhecidas a 2 u R w Note que o comprimento da rua 1 Na figura é R 1=30+60+90+120 R 1 = 300 m Aplicando o Teorema de Tales: z y x 30 m 60 m 90 m 120 m Rua 1 Pela proporção, conclui-se que: y= 2 x = 96 m z = 3 x = 144 m e w = 4 x = 192 m Portanto, a alternativa correta é a letra C.

MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino Médio Semelhança de triângulos 3º) solução: r s t 8 6 Se temos x+y = 42 e 8+16 = 14, Aplicando o Teorema de Tales teremos: x y Alternativa C.

MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino Médio Semelhança de triângulos 4º) solução: F 24 cm B Note que na figura os triângulos ABF e CDF são semelhantes e que FC = 42 cm, Desta forma: 32 cm X A y 18 cm C D 70 cm Portanto, a alternativa correta é a letra D.

MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino Médio Semelhança de triângulos EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES 1º) Calcule o valor de cada uma das variáveis dos casos de semelhança de triângulos propostos a seguir: Y 6 cm 3 cm X 4 cm 5 cm

MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino Médio Semelhança de triângulos Os triângulos anteriores podem ser definidos como semelhantes a partir da relação: NGULO/ NGULO

MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino Médio Semelhança de triângulos B) 5 3 Y X 9 12

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MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino Médio Semelhança de triângulos Como você pôde notar, há várias situações- problema do cotidiano que podem ser resolvidas a partir do conhecimento de algumas propriedades dos triângulos. Agora que você já está “fera” nesse assunto, é hora de pesquisar nos livros outros exercícios para treinar o aprendeu e se dar bem no vestibular. Mantenha o foco nos estudos e boa sorte!

Tabela de Imagens n° do direito da imagem como está ao lado da link do site onde se consegiu a informação slide foto 3 a Ottre / Domínio Público http: //commons. wikimedia. org/wiki/File: Vietnam ese_wooden_ceiling. jpg 3 b John Fielding / Creative Commons http: //commons. wikimedia. org/wiki/File: Ramps_i Attribution-Share Alike 2. 0 Generic n_the_Skate_Park_Penistone_-_geograph. org. uk_ -_482429. jpg 3 c 1 sttimeright / GNU Free Documentation http: //commons. wikimedia. org/wiki/File: Billiard_ License Rack. jpg 4 a Timeroot / GNU Free Documentation http: //commons. wikimedia. org/wiki/File: Triangul License ar_cupola_net. PNG 4 b Werewombat / GNU Free Documentation http: //commons. wikimedia. org/wiki/File: Multno License mah_Falls_Lodge_triangular_window__Oregon. jpg 4 c Sh Sharayan / Walters Art Museum / GNU http: //commons. wikimedia. org/wiki/File: Sh_Shar Free Documentation License ayan__Triangular_Pendant_from_a_Woman%3 Fs_Head piece_-_Walters_572314_-_Back_Detail_A. jpg 5 a Erik Christensen / GNU Free Documentation http: //commons. wikimedia. org/wiki/File: Nor%C 3 License %B 0 rag%C 3%B 8 ta, _Faroe_Islands_(3). JPG 5 b Qurren / GNU Free Documentation License http: //commons. wikimedia. org/wiki/File: Joetsu_K aryoku_powerline_tower_construction. jpg 5 c Matteo / Creative Commons Attribution 2. 0 http: //commons. wikimedia. org/wiki/File: Woman Generic _with_wheelbarrow. jpg Data do Acesso 17/09/2012 17/09/2012 17/09/2012

Tabela de Imagens n° do direito da imagem como está ao lado da link do site onde se consegiu a informação slide foto 7 Img / GNU Free Documentation License http: //pt. wikipedia. org/wiki/Ficheiro: Triangolo. Equilatero. png 8 Darsie / GNU Free Documentation License http: //pt. wikipedia. org/wiki/Ficheiro: Triangle. Isos celes. png 9 Img / GNU Free Documentation License http: //pt. wikipedia. org/wiki/Ficheiro: Triangolo. Scaleno. png 10 E 2 m / Domínio Público http: //pt. wikipedia. org/wiki/Ficheiro: Tri%C 3%A 2 n gulo_ret%C 3%A 2 ngulo. svg 11 E 2 m / GNU Free Documentation License http: //pt. wikipedia. org/wiki/Ficheiro: Triangolo. Ottuso. png 12 Darsie / GNU Free Documentation License http: //pt. wikipedia. org/wiki/Ficheiro: Triangle. Acu te. png 26 E 2 m / Domínio Público http: //pt. wikipedia. org/wiki/Ficheiro: Tri%C 3%A 2 n gulo_ret%C 3%A 2 ngulo. svg Data do Acesso 17/09/2012 17/09/2012 18/09/2012