Matemtica e suas Tecnologias Matemtica Ensino Mdio 2

Matemática e suas Tecnologias, Matemática Ensino Médio, 2ª Série Trigonometria no ciclo trigonométrico

Trigonometria do Ciclo Trigonométrico, 2º Ano Os biólogos de uma reserva ecológica descobriram que a população P de animais, de certa espécie presente na reserva, variava, durante o ano, segundo a fórmula onde t é o tempo medido em meses e t=1 corresponde ao mês de janeiro. Qual seria a população de animais dessa espécie na reserva no mês de novembro (1)?

Trigonometria do Ciclo Trigonométrico, 2º Ano Ao analisarmos a situação-problema, percebemos que a população depende do tempo, ou seja, está em função do tempo. Dessa forma, a resolução do problema se dá pela substituição de t (tempo), por um determinado valor, no caso t=11, uma vez que, necessitamos saber a população no mês de novembro e, como foi colocado em janeiro t=1, daí t=11 ser novembro.

Trigonometria do Ciclo Trigonométrico, 2º Ano Portanto: Ao substituirmos t=11, nos deparamos com outra situação: Como encontramos o cosseno de um ângulo cujo valor é maior que 360°?

Trigonometria do Ciclo Trigonométrico, 2º Ano Para responder a essa questão, precisamos fazer um estudo do seno e do cosseno de um arco, baseado em nossos conhecimentos de trigonometria no triângulo retângulo a = medida da hipotenusa b e c = medidas dos catetos Imagem: Modificada por, Gustavb usando a original de Eukleides / GNU Free Documentation License.

Trigonometria do Ciclo Trigonométrico, 2º Ano Razões trigonométricas no triângulo retângulo Imagem: Modificada por, Gustavb usando a original de Eukleides / GNU Free Documentation License. Num triângulo retângulo, podemos estabelecer razões entre as medidas dos seus lados: catetos, que formam o ângulo reto, e hipotenusa, que se opõe ao ângulo reto. Consideremos o triângulo ABC retângulo em e um ângulo agudo de medida.

Trigonometria do Ciclo Trigonométrico, 2º Ano Ø Razão 1 – Seno de um ângulo agudo Ø Razão 2 – Cosseno de um ângulo agudo Ø Razão 3 – Tangente de um ângulo agudo

Trigonometria do Ciclo Trigonométrico, 2º Ano Exemplo: Consideremos o triângulo ABC, retângulo em A. Então: B 20 β 12 C α 16 A

Trigonometria do Ciclo Trigonométrico, 2º Ano A ideia de seno e cosseno de um número real Consideremos, no ciclo trigonométrico, o ponto M, que é a imagem do número real x, conforme indica a figura. v M” r= 1 M x O M’ A u

Trigonometria do Ciclo Trigonométrico, 2º Ano Consideremos, também, o arco AM, que corresponde ao ângulo central de medida x. Seja OM o raio do ciclo, e M’’ e M’ as projeções do ponto M nos eixos v e u, respectivamente. v M” r= 1 M x O M’ A u

Trigonometria do Ciclo Trigonométrico, 2º Ano Do triângulo retângulo OM’M, temos: Definimos: • Seno de x é a ordenada do ponto M. • Cosseno de x é a abcissa do ponto M.

Trigonometria do Ciclo Trigonométrico, 2º Ano v M” r= 1 M x O M’ A u O eixo v é o eixo dos senos e o eixo u é o eixo dos cossenos. Daí, se M é um ponto do ciclo trigonométrico, podemos escrever: M (cos x, sen x). Essa nova definição tem a vantagem de não ficar restrita aos ângulos agudos. Agora podemos falar em seno e cosseno de arcos (ou ângulos) de qualquer medida.

Trigonometria do Ciclo Trigonométrico, 2º Ano No segundo quadrante, o seno é positivo e o cosseno é negativo. M M” sen x M’ cos x O A

Trigonometria do Ciclo Trigonométrico, 2º Ano No terceiro quadrante, o seno é negativo e o cosseno é negativo. M’ cos x O sen x M M” A

Trigonometria do Ciclo Trigonométrico, 2º Ano No quarto quadrante, o seno é negativo e o cosseno é positivo. O cos x M’ A sen x M” M

Trigonometria do Ciclo Trigonométrico, 2º Ano Valores importantes de sen x e cos x sen 90º = π/ 2 60º = (π/ 3) √ 3/ 2 45º = (π/ 4) 30º = (π/ 6) √ 2/ 2 z=180º 0º = 0 1/2 O cos 2 π = 360º 1/2 √ 2 / 2 √ 3 / 2 270º = 3 π / 2 Vamos destacar os valores do seno e cosseno para os arcos com extremidade nas extremidades dos quadrantes e aqueles de 1º quadrante já calculados nos triângulos retângulos.

Trigonometria do Ciclo Trigonométrico, 2º Ano Valores importantes de sen x e cos x ARCO 0º (0) 30º (π/6) 45º (π/4) 60º (π/3) 90º (π/2) 180º (π) 270º (3π/2) 360º (2π) SEN 0 ½ √ 2/2 √ 3/2 1 0 -1 0 COS 1 √ 3/2 √ 2/2 ½ 0 -1 0 1

Trigonometria do Ciclo Trigonométrico, 2º Ano Simetria no estudo do seno e cosseno Usando a simetria, podemos relacionar o seno e cosseno de um arco de qualquer quadrante com os valores do primeiro quadrante. Desse modo, estaremos fazendo uma redução ao 1º quadrante.

Trigonometria do Ciclo Trigonométrico, 2º Ano Ø Redução do segundo quadrante para o primeiro quadrante GRAU RADIANO sen 180º - x sen x π-x x cos sen (180º - x) = sen x cos (180º - x) = - cos x Note que falta x para 180º ou π. Dois arcos suplementares (x e 180º -x) têm: cos sen (π - x) = sen x cos (π - x) = - cos x senos iguais cossenos simétricos

Trigonometria do Ciclo Trigonométrico, 2º Ano Ø Redução do terceiro quadrante para o primeiro quadrante GRAU RADIANO sen x x cos 180º + x cos π+x sen (180º + x) = -sen x cos (180º + x) = - cos x Os arcos x e 180º + x têm: sen (π + x) = -sen x cos (π + x) = - -cos x senos simétricos cossenos simétricos

Trigonometria do Ciclo Trigonométrico, 2º Ano Ø Redução do quarto quadrante para o primeiro quadrante GRAU RADIANO sen x x cos 360º - x sen (360º - x) = - sen x cos (360º - x) = - cos x Os arcos x e 360º - x têm: 2π - x sen (2π - x) = - sen x cos (2π - x) = - cos x senos simétricos cossenos iguais

Trigonometria do Ciclo Trigonométrico, 2º Ano Vale observar que: 360° - x e –x são côngruos. Das figuras também obtemos: sen (360° - x) = sen (-x) = -sen x cos (360° - x) = cos (-x) = cos x

Trigonometria do Ciclo Trigonométrico, 2º Ano A partir do que foi visto, podemos construir o quadro abaixo, que nos dá os valores do seno e cosseno de arcos importantes em nosso estudo. GRAUS 0º 30º 45º 60º 90º 120º 135º 150º 180º 210º 225º 240º 270º 300º 315º 330º 360º RADIANOS 0 π/6 π/4 π/3 π/2 2π/3 3π/4 5π/6 π 7π/6 5π/4 4π/3 3π/2 5π/3 7π/4 11π/6 2π SEN ϴ 0 ½ √ 2/3 √ 3/2 1 √ 3/2 √ 2/2 ½ 0 -1/2 -√ 2/2 -√ 3/2 -1 -√ 3/2 -√ 2/2 -1/2 0 COS ϴ 1 √ 3/2 √ 2/2 ½ 0 -1/2 -√ 2/2 -√ 3/2 -1 -√ 3/2 -√ 2/2 -1/2 0 -1/2 √ 2/2 √ 3/2 1

Trigonometria do Ciclo Trigonométrico, 2º Ano E, abaixo, o ciclo trigonométrico, com alguns valores notáveis incluídos nos quatro quadrantes. (0, 1) (-1/2, √ 3/2) 120º π/2 90º (-√ 2/2, √ 2/2) 135º 2π/3 3π/4 150º (-√ 3/2, 1/2) 5π/6 (-1, 0) 180º π 7π/6 210º 5π/4 (-√ 3/2, -1/2) 225º 240º (-√ 2/2, -√ 2/2) (-1/2, -√ 3/2) (1/2, √ 3/2) 60º (√ 2/2, √ 2/2) π/3 45º (√ 3/2, -1/2) 30º π/6 (1, 0) 0º 360º 2π x 11π/6 4π/3 270º 7π/4 330º (√ 3/2, -1/2) 5π/3 315º (√ 2/2, √ 2/2) 300º (1/2, -√ 3/2) (0, -1)

Trigonometria do Ciclo Trigonométrico, 2º Ano Após esta análise e observação do comportamento dos arcos simétricos arcos do 1º quadrante, verificamos que, para solucionar o problema em questão, é necessário apenas determinarmos o arco côngruo a. Como vimos, consegue dar mais de duas voltas completas e parar em um determinado ponto da circunferência. É justamente neste ponto que encontramos o arco côngruo a , que tem o mesmo seno cosseno deste.

Trigonometria do Ciclo Trigonométrico, 2º Ano Vejamos: 2 voltas Extremidade do arco côngruo a Assim: Então, e são considerados arcos côngruos.

Trigonometria do Ciclo Trigonométrico, 2º Ano Voltando a nossa situação-problema: Portanto, no mês de novembro, a população era de 425 animais.

Trigonometria do Ciclo Trigonométrico, 2º Ano Exercícios Complementares 1) Ache o valor da expressão: 2) Sendo e , qual a relação de ordem que podemos estabelecer entre A e B?

Trigonometria do Ciclo Trigonométrico, 2º Ano 3) A profundidade da água de um porto pode ser modelada por uma função trigonométrica, devido às oscilações das marés oceânicas. Em um porto da costa brasileira, a profundidade da água é dada pela fórmula , onde D é a profundidade da água em metros e t é a medida em horas, após a primeira maré alta do dia. Um comandante deve decidir o horário de atracar seu navio nesse porto, optando entre atracar 7 ou 11 horas, após a primeira maré do dia. Em qual desses dois horários ele teria a maior profundidade da água (2)?

Trigonometria do Ciclo Trigonométrico, 2º Ano 4) A quantidade de energia consumida por uma cidade varia com as horas do dia, e os técnicos da companhia de energia conseguiram aproximar essa necessidade de energia pela função: Em que t é a hora do dia e P a quantidade de energia, em MW (3). a) Em qual horário se consome mais energia nessa cidade, às 6 h 00 ou às 15 h 00? b) Determine a quantidade de energia, em MW, consumida pela cidade ao meio dia.

Trigonometria do Ciclo Trigonométrico, 2º Ano Gabarito 1) 2) A < B 3) 11 horas 4) a) 15 horas b) 54 MW

Trigonometria do Ciclo Trigonométrico, 2º Ano Sugestão de Atividade Confecção do ciclo trigonométrico para melhor apropriação dos conteúdos, buscando estimular o trabalho de equipe e a criatividade dos alunos.

Trigonometria do Ciclo Trigonométrico, 2º Ano Sugestões de Pesquisa http: //www. educ. fc. ul. pt/icm 2000/icm 22/circulo_trigonometrico. htm http: //pt. wikipedia. org/wiki/Ciclo_trigonom%C 3%A 9 trico www. scribd. com/doc/12401611/Como-Usar-o-Ciclo-Trigonometrico

Trigonometria do Ciclo Trigonométrico, 2º Ano Referências DANTE, Luiz Roberto. Matemática: contextos e aplicações, vol. 2. São Paulo: Ática, 2010. GIOVANNI, José Ruy & BONJORNO, José Roberto. Matemática Completa, vol. 2, 2. ed. São Paulo: FTD, 2005. SILVA, Claudio Xavier da & FILHO, Benigno Barreto. Matemática aula por aula, Vol. 2, 2. ed. São Paulo: FTD, 2005.

Trigonometria do Ciclo Trigonométrico, 2º Ano MORETTO, Vasco Pedro. Prova – um momento privilegiado de estudo – não um acerto de contas. 3. ed. Rio de Janeiro: DP&A, 2003. TIBA, Içami. Ensinar aprendendo: novos paradigmas na educação. 18. ed. rev. e atual. São Paulo: Integrare Editora, 2006.

Tabela de Imagens Slide Autoria / Licença 5 e 6 Modificada por, Gustavb usando a original de Eukleides / GNU Free Documentation License. Link da Fonte Data do Acesso http: //pt. wikipedia. org/wiki/Ficheiro: Rtriangle. sv 07/05/2012 g