Matemtica e suas Tecnologias Matemtica Ensino Mdio 1

Matemática e suas Tecnologias - Matemática Ensino Médio, 1º Ano Função exponencial e sua relação com a Progressão Geométrica

MATEMÁTICA, 1º Ano do Ensino Médio Função exponencial e sua relação com a Progressão Geométrica Objetivos • Entender a definição de função exponencial; • Compreender a definição de progressão geométrica (PG); • Identificar a relação existente entre a função exponencial e a progressão geométrica, e • Utilizar conhecimentos algébricos/geométricos como recursos para construção de argumentação.

MATEMÁTICA, 1º Ano do Ensino Médio Função exponencial e sua relação com a Progressão Geométrica Definição de uma função exponencial As bactérias são seres vivos que possuem a capacidade de se duplicar. Nas colônias de bactérias, quando o número de componentes dobra, a nova colônia mantém as mesmas características da anterior, duplicando em número no mesmo período de tempo que o anterior. Sabendo que determinada colônia, iniciada por uma única bactéria, dobra seu número a cada 10 minutos, quantas bactérias existirão após 1 hora e 20 minutos?

MATEMÁTICA, 1º Ano do Ensino Médio Função exponencial e sua relação com a Progressão Geométrica Após um período de 10 minutos, teremos 2 (2¹) bactérias. Após dois períodos de 10 minutos, ou seja, 20 minutos, teremos 4 (2²) bactérias. Após 1 hora e 20 minutos, ou seja, 8 períodos de 10 minutos, teremos 256 (28) bactérias. Da mesma forma, após x períodos de 10 minutos, o número n de bactérias será dado por n = 2 x. Esse é um exemplo de função com variável no expoente.

MATEMÁTICA, 1º Ano do Ensino Médio Função exponencial e sua relação com a Progressão Geométrica Uma função f: ℝ→ℝ*+ chama-se função exponencial quando existe um número real a, com a > 0 e a ≠ 1, tal que f(x) = ax, para todo x ∈ ℝ. Quando a > 1, f é crescente. Quando 0 < a < 1, f é decrescente. Exemplos: g é decrescente h é decrescente i é crescente

MATEMÁTICA, 1º Ano do Ensino Médio Função exponencial e sua relação com a Progressão Geométrica Definição de uma progressão geométrica Segundo dados do Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE), a população brasileira no ano de 2004 era de, aproximadamente, 180 milhões de pessoas. Considerando um crescimento populacional de 2% ao ano, qual foi a estimativa da população, feita naquele ano, para 2008? Para calcular esse valor, partimos do número de brasileiros em 2004.

MATEMÁTICA, 1º Ano do Ensino Médio Função exponencial e sua relação com a Progressão Geométrica Ano Número de habitantes 2004 180. 000 2005 180. 000 ∙ 1, 02 = 183. 600. 000 2006 183. 600. 000 ∙ 1, 02 = 187. 272. 000 2007 187. 272. 000 ∙ 1, 02 = 191. 017. 440 2008 191. 017. 440 ∙ 1, 02 = 194. 837. 788 Observe que, com exceção de 2004, a estimativa do número de brasileiros de um ano, foi obtida multiplicando-se o número de brasileiros no anterior pela constante 1, 02. Em 2004, estimava-se que o país teria 194. 837. 788 brasileiros em 2008 A sequência (180. 000; 183. 600. 000; 187. 272. 000; 191. 017. 440; 194. 837. 788) é um exemplo de progressão geométrica.

MATEMÁTICA, 1º Ano do Ensino Médio Função exponencial e sua relação com a Progressão Geométrica Uma progressão geométrica (PG) é uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é obtido multiplicando-se o anterior por uma constante q chamada razão da PG. • Uma PG é constante quando q = 1 ou quando a 1 = 0 e q é um valor constante • Uma PG é estacionária quando a 1 ≠ 0 e q = 0 • Uma PG é oscilante quando a 1 ≠ 0 e q < 0 • Uma PG é crescente quando a 1 > 0 e q > 1 ou quando a 1 < 0 e 0 < q < 1 • Uma PG é decrescente quando a 1 > 0 e 0 < q < 1 ou quando a 1 < 0 e q > 1

MATEMÁTICA, 1º Ano do Ensino Médio Função exponencial e sua relação com a Progressão Geométrica Dada uma PG (a 1, a 2, a 3, a 4, . . . , an, . . . ) de razão q, podemos escrever qualquer termo em função do primeiro. Para isso, basta considerar a definição de PG: a 2 = a 1 ∙ q a 3 = a 1 ∙ q² a 4 = a 1 ∙ q³ Dessa maneira, encontramos o termo geral, que ocupa a enésima posição na PG: an = a 1 ∙ qn - 1, com n ∈ ℕ* Observe que essa fórmula é a lei de formação de uma função, e que n é o número de termos da PG até o termo an. Observação: quando em uma PG, o primeiro termo é representado por a 0 , o termo geral é dado por an = a 0 ∙ qn, com n ∈ ℕ.

MATEMÁTICA, 1º Ano do Ensino Médio Função exponencial e sua relação com a Progressão Geométrica Comparando as definições Uma função f: ℝ→ℝ*+ chama-se função exponencial quando existe um número real a, com a > 0 e a ≠ 1, tal que f(x) = ax, para todo x ∈ ℝ. Uma progressão geométrica (PG) é uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é obtido multiplicando-se o anterior por uma constante q chamada razão da PG. Conforme termo geral: an = a 0 ∙ qn, com n ∈ ℕ. (com o primeiro termo sendo a 0)

MATEMÁTICA, 1º Ano do Ensino Médio Função exponencial e sua relação com a Progressão Geométrica As funções exponenciais do tipo f(x) = b ∙ ax assemelham-se a uma progressão geométrica. Note que: f(x) = b ∙ ax e an = a 0 ∙ qn , onde f(x) = an b = a 0 a= q x=n

MATEMÁTICA, 1º Ano do Ensino Médio Função exponencial e sua relação com a Progressão Geométrica Entretanto, deve-se atentar para o domínio das relações com que trabalhamos. • Na função exponencial, o termo geral vale para todo x∈ℝ • Na progressão geométrica, o termo geral vale para todo n ∈ ℕ, uma vez que estamos considerando uma PG cujo primeiro termo é a 0. Ou seja, quando o problema apresentado envolver o domínio ℕ, pode-se utilizar qualquer uma das relações. Quando a situação envolver o domínio ℝ , não se pode utilizar a progressão geométrica.

MATEMÁTICA, 1º Ano do Ensino Médio Função exponencial e sua relação com a Progressão Geométrica Comparando os gráficos O valor de um automóvel daqui a t anos é dados pela lei V = 20. 000 ∙ (0, 9)t (em dólares). Calcule o valor desse automóvel daqui a 4 anos. Resolução: Aplicando-se o valor dado t = 4 na fórmula, obtemos: V = 20. 000 ∙ (0, 9)4 V = 20. 000 ∙ 0, 6561 V = 13. 122

MATEMÁTICA, 1º Ano do Ensino Médio Função exponencial e sua relação com a Progressão Geométrica Montando-se o gráfico dessa função: y 20. 000 18. 000 16. 200 14. 580 13. 122 1 2 3 4 x

MATEMÁTICA, 1º Ano do Ensino Médio Função exponencial e sua relação com a Progressão Geométrica Agora, digamos que o valor inicial do automóvel fosse 30. 000 dólares. Entretanto, vamos analisar a situação usando um método diferente, a progressão geométrica. Tempo (anos) 0 1 2 3 Valor (US$) 30. 000 27. 000 24300 21870 O valor do automóvel, em função do tempo em anos após sua compra, forma uma PG decrescente (30. 000, 27. 000, 24. 300, 21870, . . . ), em que a 0 = 30. 0000 e q = 0, 9.

MATEMÁTICA, 1º Ano do Ensino Médio Função exponencial e sua relação com a Progressão Geométrica Como o termo geral de uma PG é an = a 0 ∙ qn, com n ∈ ℕ, na PG temos: a 4 = 30. 000 ∙ (0, 9)4 → a 4 = 19. 683. Considerando a fórmula an = a 0 ∙ qn de uma PG cujo primeiro termo é a 0 e cuja razão é q, percebemos que uma PG se assemelha a uma função exponencial f(x) = a 0 ∙ qx, com q ≠ 1, só que com uma restrição do domínio ao conjunto dos números naturais. Dessa maneira, podemos construir o gráfico de uma PG.

MATEMÁTICA, 1º Ano do Ensino Médio Função exponencial e sua relação com a Progressão Geométrica y 30. 000 27. 000 24. 300 21. 870 19. 683 1 2 3 4 x

MATEMÁTICA, 1º Ano do Ensino Médio Função exponencial e sua relação com a Progressão Geométrica Comparando os gráficos feitos, fica evidente que ambos podem ser obtidos tanto pela função exponencial quanto pela progressão aritmética. y 20. 000 18. 000 16. 200 14. 580 13. 122 1 2 3 4 x y 30. 000 27. 000 24. 300 21. 870 19. 683 1 2 3 4 x

MATEMÁTICA, 1º Ano do Ensino Médio Função exponencial e sua relação com a Progressão Geométrica Sugestão de atividade ATIVIDADE: apresentação de uma situação-problema para ser resolvida tanto por PG como por função exponencial. OBJETIVO: validar o que foi apresentado ao longo da aula. MATERIAL NECESSÁRIO: malha quadriculada, régua, lápis grafite e borracha. PROCEDIMENTOS: através de uma situação-problema (propomos uma no slide seguinte), os alunos da turma serão divididos em dois grupos. Um grupo apresentará a solução do problema por PG e o outro grupo utilizará a função exponencial. No final, serão comparados e analisados os resultados encontrados. Atenção: explorar os resultados alunos e ficar atento para as divergências no tocante à escala utilizada na construção do gráficos.

MATEMÁTICA, 1º Ano do Ensino Médio Função exponencial e sua relação com a Progressão Geométrica Analise a situação Uma obra de arte foi comprada por um investidor, por R$ 8. 000, 00. O investidor espera uma valorização de 10% ao ano. a) Determine a lei de formação da função (ou o termo geral da PG). b) Seis anos após a compra, qual será o valor da obra? c) Em quanto tempo a obra dobrará de valor? (arredonde para o inteiro mais próximo). d) Construa os gráficos com os valores obtidos.

MATEMÁTICA, 1º Ano do Ensino Médio Função exponencial e sua relação com a Progressão Geométrica Resolução: Como há duas maneiras de se resolver a situaçãoproblema, respondemos todos os itens de pergunta comparando os dois métodos de resolução, como o quadro abaixo demonstra: a) Função Exponencial V(t) = 8000 ∙ (1, 1)t PG an = a 0 ∙ (1, 1)n

MATEMÁTICA, 1º Ano do Ensino Médio Função exponencial e sua relação com a Progressão Geométrica b) Função Exponencial Vamos tirar os dados da questão: • O tempo t, em anos, é de 6 anos. Portanto, t = 6. PG Vamos tirar os dados da questão: • O valor inicial da obra é R$ 8000, 00. Então a 0 = 8000 • O tempo n, em anos, é 6 anos. Portanto n = 6.

MATEMÁTICA, 1º Ano do Ensino Médio Função exponencial e sua relação com a Progressão Geométrica Função Exponencial Calculando: V(t) = 8000 ∙ (1, 1)t V(6) = 8000 ∙ (1, 1)6 V(6) ≈ 8000 ∙ 1, 771 V(6) ≈ 14. 168 Pode-se utilizar o logaritmo para responder a questão. Mas, também, é possível encontrar a resposta por meio de aproximações. PG Calculando: an = a 0 ∙ (1, 1)n a 6 = 8000 ∙ (1, 1)6 a 6 ≈ 8000 ∙ 1, 771 a 6 ≈ 14. 168 Pode-se utilizar o logaritmo para responder a questão. Mas, também, é possível encontrar a resposta por meio de aproximações.

MATEMÁTICA, 1º Ano do Ensino Médio Função exponencial e sua relação com a Progressão Geométrica c) Função Exponencial Vamos tirar os dados da questão: • Se o valor deve dobrar então V(t) = 16000. Calculando: V(t) = 8000 ∙ (1, 1)t 16000 = 8000 ∙ (1, 1)t = 16000 : 8000 (1, 1)t = 2 t≈7 PG Vamos tirar os dados da questão: • Se o valor deve dobrar então an = 16000. Calculando: an = a 0 ∙ (1, 1)n 16000 = 8000 ∙ (1, 1)t = 16000 : 8000 (1, 1)t = 2 t≈7

MATEMÁTICA, 1º Ano do Ensino Médio Função exponencial e sua relação com a Progressão Geométrica d) Função Exponencial 16000 14000 12000 10000 8000 6000 4000 2000 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8

MATEMÁTICA, 1º Ano do Ensino Médio Função exponencial e sua relação com a Progressão Geométrica PG 16000 14000 12000 10000 8000 6000 4000 2000 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8

MATEMÁTICA, 1º Ano do Ensino Médio Função exponencial e sua relação com a Progressão Geométrica Referências Bibliográficas • BARROSO, Juliane Matsubara. Matemática : construção e significados. Vol. 1. 1. ed. São Paulo Moderna: 2008 • RIBEIRO, Jackson. Matemática: ciência, linguagem e tecnologia, 1 ensino médio. 1. ed. São Paulo Scipione: 2010 • GIOVANNI, José Ruy & BONJORNO, José Roberto. Matemática completa. 2. ed. renov. FTD: 2005