Esfera e suas partes Raio Superfcie esfrica 1

Esfera e suas partes • Raio • Superfície esférica

1. Superfície esférica Chama-se superfície esférica o lugar geométrico dos pontos do espaço que distam uma constante R de um ponto fixo O denominado centro da superfície esférica. Pode-se provar que a área A da superfície esférica é dada por 2. Esfera Chama-se esfera a região do espaço limitada por uma superfície esférica. Prova-se que o volume V de uma esfera é dado por

O volume V de uma esfera é dado por o volume V de uma esfera é dado por Quando d = 0, a intersecção de α e λ é um círculo de raio R, que contém o centro O e que é denominado círculo máximo

Quando d = 0, a intersecção de α e λ é um círculo de raio R, que contém o centro O e que é denominado círculo máximo 4. Fuso esférico e cunha esférica

Consideremos dois semiplenos distintos com origem na reta suporte de um dos diâmetros de uma esfera. A superfície fica assim dividida em duas regiões denominadas fusos esféricos e as regiões correspondentes da esfera são denominadas cunhas esféricas. O arco AB é denominado arco equatorial e o ângulo central correspondente α é o ângulo equatorial. Supondo que a esfera seja uma laranja, pode-se dizer que: a) A cunha esférica é o gomo da laranja. b) O fuso esférico é a casca do gomo da laranja

Área do fuso esférico O fuso esférico é parte da superfície esférica. É a casca do gomo da laranja. Sua área é diretamente proporcional ao ângulo equatorial e pode ser calculada por Regra de Três, como se segue:

5. Calota esférica e segmento esférico Um plano secante a uma superfície esférica a divide em duas superfícies denominadas calotas esféricas. A esfera fica dividida por este plano em dois sólidos denominados segmentos esféricos.

Área da calota esférica Sendo R o raio da esfera e h a altura da calota esférica, pode-se provar que a área da calota esférica é dada por

Volume do segmento esférico Sendo h a altura e r o raio da base de um segmento esférico, pode-se provar que o volume do segmento esférico é dado por

Exercícios Resolvidos 1) (ENEM)–Os três recipientes da figura têm formas diferentes, mas a mesma altura e o mesmo diâmetro da boca Neles são colocados líquido até a metade de sua altura, conforme indicado nas figuras. Representando por V 1, V 2 e V 3 o volume de líquido em cada um dos recipientes, tem-se: a)V 1= V 2= V 3 b)V 1< V 3< V 2 c) V 1= V 3< V 2 d)V 3< V 1< V 2

Resolução Resposta: B

2) (FUVEST – MODELO ENEM) – Uma superfície esférica de raio 13 cm é cortada por um plano situado a uma distância de 12 cm do centro da superfície esférica, deter minando uma circunferência. O raio desta circunferência, em cm, é: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 RESOLUÇÃO: R = 13, d = 12 e R 2 = d 2 + r 2 Assim: 132 = 122 + r 2 ⇒ r = 5 Resposta: E

RESOLUÇÃO:

4) (PUC – MODELO ENEM) – Qual é o raio de uma esfera 1 milhão de vezes maior (em volume) que uma esfera de raio 1? a) 100000 RESOLUÇÃO: b) 10 c) 10000 d) 1000 e) 100

5) (UFES – MODELO ENEM) – Um ourives deixou como herança para seus oito filhos uma esfera maciça de ouro. Os herdeiros resolveram fundir o ouro e, com ele, fazer oito esferas iguais. Cada uma dessas esferas terá um raio igual a: RESOLUÇÃO Resposta: A