Material de apoio interaco gravtica q Lei Universal

Material de apoio: interacção gravítica q Lei Universal da Gravitação – Isaac Newton sec. XVII cada partícula do Universo atrai outra com uma força que é proporcional ao produto das suas massas e inversamente proporcional ao quadrado da distância entre elas força que m 1 exerce em m 2 formam par acção/reacção força que m 2 exerce em m 1 constante gravítica universal Nota: Lei formulada para massas pontuais

Material de apoio: interacção gravítica q massa gravítica e massa inercial massa gravítica força gravítica que M exerce em m referencial do CM de M massa inercial lei fundamental da dinâmica experiência mostra que a razão das massa gravítica e inercial tem o mesmo valor para todos os objectos massas gravítica e inercial podem ser feitas iguais por ajuste da constante G

Material de apoio: interacção gravítica Baseado na lei anterior, válida para massas pontuais, Newton demonstrou que a força gravítica exercida por uma camada esférica de massa M homogénea e sem espessura: Ø numa massa m, colocada num ponto que lhe é exterior de vector posição , é igual à que seria produzida por uma massa M pontual colocada no seu centro geométrico

Material de apoio: interacção gravítica Baseado na lei anterior, válida para massas pontuais, Newton demonstrou que a força gravítica exercida por uma camada esférica de massa M homogénea e sem espessura: Ø numa massa m, colocada num ponto que lhe é interior, é nula; o cancelamento de todas as forças é exacto

Material de apoio: interacção gravítica Consequência - a força gravítica exercida por uma esfera homogénea de massa M, raio R e densidade r : Ø numa massa m, colocada num ponto que lhe é exterior de vector posição , é igual à que seria produzida por uma massa M pontual colocada no seu centro geométrico

Material de apoio: interacção gravítica Consequência - a força gravítica exercida por uma esfera homogénea de massa M, raio R e densidade r: Ø numa massa m, colocada num ponto que lhe é interior de vector posição , é equivalente à força que seria exercida uma massa M’ pontual colocada no seu centro, onde M’ é a massa contida na esfera de raio r camada que não contribui para a força gravítica

Material de apoio: interacção gravítica q Campo gravítico, posição , gerado pela massa M no ponto P de vector - no referencial fixo ao CM de M condição criada no espaço por M, tal que uma massa m colocada em P fica sujeita à força gravítica Nota: pode ser interpretado como a força gravítica que M exerce numa massa unitária colocada em P

Material de apoio: interacção gravítica q Peso da massa m – força gravítica que o planeta, de massa Mp e raio Rp, exerce em m à altura h da superfície vertical do lugar horizontal do lugar raio do planeta correcção do peso com a altura massa do planeta aproximação corrente Terra -

Material de apoio: interacção gravítica q Energia potencial gravítica Ø força gravítica conservativa deriva de uma energia potencial da massa m sob a acção do campo gravítico criado por M no referencial fixo ao CM de M – só depende do módulo de : resulta do facto da força ser central

Material de apoio: interacção gravítica q Energia potencial gravítica de m à altura h da superfície de um planeta de massa Mp e raio Rp vertical do lugar horizontal do lugar raio do planeta massa do planeta aproximação corrente Terra -

Material de apoio: interacção gravítica q Energia mecânica de m sujeita apena à acção da força gravítica conserva-se no referencial do CM de M conserva-se energia potencial aumenta com r energia cinética diminui com r

Material de apoio: interacção gravítica q Energia potencial do sistema de duas massas no referencial do CM do sistema energia potencial do sistema só depende da coordenada relativa independente do sistema de referência

Material de apoio: interacção gravítica q Energia mecânica do sistema de duas massas no referencial do CM do sistema energia mecânica do sistema conserva-se m 1>>>m 2 CM do sistema coincide aproximadamente com CM de m 1 e v 1~0 dinâmica do sistema é descrita pela dinâmica de m 2 no referencial do CM de m 1

Material de apoio: interacção gravítica q potencial gravítico, V(r), gerado pela massa M no ponto P de vector posição - no referencial fixo ao CM de M condição criada por M no espaço, tal que uma massa m colocada em P adquire a energia potencial gravítica Ep Nota: V(r) pode ser interpretado como a energia potencial gravítica de uma massa unitária colocada no campo gravítico criado por M em P

Material de apoio: interacção gravítica q Campo e potencial gravítico gerado por uma distribuição de N massas no ponto P, de vector posição campo gravítico total criado pela distribuição de N massas no ponto P campo criado pela massa mi força exercida numa massa unitária força é uma grandeza aditiva potencial gravítico total criado pela distribuição das N massas no ponto P potencial criado pela massa mi energia de uma massa unitária energia é uma grandeza aditiva

Material de apoio: interacção gravítica q Momento Angular força central vectores paralelos momentos calculados relativamente ao sistema soliário com CM de M Ø momento angular de um objecto sob a acção de uma força gravítica conserva-se Ø perpendicular ao plano da trajectória formado por Ø constante plano da trajectória constante movimento plano e

Material de apoio: interacção gravítica q Momento Angular w e r variam por forma a que L permaneça constante

Material de apoio: interacção gravítica q Força gravítica e trajectória circular Ø ex: órbita circular de um satélite em torno de um planeta Ø Ø planeta e satélites esferas homogéneas referencial do CM do planeta força puramente normal norma da velocidade é constante raio do planeta altitude da órbita relação entre o raio da órbita e a velocidade com que é descrita

Material de apoio: interacção gravítica q Força gravítica e trajectória circular Ø satélite geoestacionário: em órbita equatorial, mantem-se sobre o mesmo ponto da superfície do planeta movimentos de rotação do planeta e satélite têm a mesma velocidade angular Ø velocidade angular constante período do movimento de rotação do planeta altitude de um satélite geoestacionário Ex: satélite geoestacionário da Terra

Material de apoio: interacção gravítica q Velocidade de escape - ve Ø velocidade mínima comunicada a um objecto à superfície de um planeta por forma a escapar ao seu campo gravítico velocidade que lhe permite chegar ao infinito com velocidade nula Ø conservação da energia mecânica energia no infinito energia à superfície do planeta massa do objecto massa do planeta raio do planeta objecto escapa - trajectória aberta Ex: Terra - objecto não escapa - trajectória fechada

Material de apoio: interacção gravítica q § § Velocidade de escape - ve Ø objecto escapa, independentemente da direcção de lançamento, desde que Ø momento angular é conservado em qualquer das situações: lançamento radial lançamento não radial vectores paralelos por continuidade indeterminação matemática vectores não paralelos por continuidade indeterminação matemática

Material de apoio: interacção gravítica q Ø Distância máxima num lançamento com vi<ve E<0 lançamento radial § trajectória rectilínea conservação do momento angular vectores paralelos ponto de distância máxima - ponto onde a velocidade se anula § conservação da energia mecânica equação que determina

Material de apoio: interacção gravítica Distância máxima num lançamento com vi<ve E<0 q Ø lançamento não radial § trajectória curvilínea conservação do momento angular vectores não paralelos a velocidade nunca se pode anular ponto de distância máxima: instante que maximiza a distância máxima no ponto de distância máxima o vector posição é perpendicular à velocidade

Material de apoio: interacção gravítica q Ø Distância máxima num lançamento com vi<ve E<0 lançamento não radial § trajectória curvilínea conservação do momento angular ângulo de lançamento vectores perpendiculares § conservação da energia mecânica sistema de equações que determina rmax