Las derivadas y las grficas de las funciones

Las derivadas y las gráficas de las funciones Cómo afectan f’ y f” a la forma de la gráfica

Criterio de la primera derivada para crecimiento y decrecimiento Sea f derivable en un intervalo abierto I. • Si f’ > 0 en I, f es creciente en I (y viceversa). • Si f’ < 0 en I, f es decreciente en I (y viceversa).

Criterio de la primera derivada para extremos relativos Sea c un punto crítico de f y f derivable en las cercanías de c. • Si f’ cambia de negativo a positivo en c, f tiene un mínimo relativo en c. • Si f’ cambia de positivo a negativo en c, f tiene un máximo relativo en c. • (Si f’ no cambia de signo en c, no tiene un extremo relativo allí. )

Criterio de la segunda derivada para concavidad Sea f dos veces derivable en un intervalo abierto I. • Si f” > 0 en I, f es cóncava hacia arriba en I. • Si f” < 0 en I, f es cóncava hacia abajo en I.

Criterio de la segunda derivada para extremos relativos Sea c un punto en el dominio de f, y f” continua en las cercanías de c. • Si f’(c) = 0 y f”(c) > 0, f tiene un mínimo relativo en c. • Si f’(c) = 0 y f”(c) < 0, f tiene un máximo relativo en c. • (Si f’(c) = 0 y f”(c) = 0, este criterio no permite concluir nada. )

Ejemplo 1 Gráfica auxiliar de f”

Ejemplo 1 (cont. ) f(x) =x 4 - 4 x 3 (2; -16) (3; -27)

Trazando gráficas de funciones • • Determinar el dominio e imagen, de ser posible. Determinar cruces con los ejes. Determinar asíntotas horizontales y verticales. Hallar derivadas primeras y segundas. Determinar crecimiento y decrecimiento. Determinar concavidad. Determinar puntos críticos y MR , m. R. Determinar puntos de inflexión.

Ejemplo 2

Ejemplo 2 (cont. ) (1; e-1) (2; 2 e-2) f (x) = xe-x