Matemtica 3 ano Equaes polinomiais MATEMTICA E SUAS

Matemática, 3º ano, Equações polinomiais MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS Ensino Médio, 3º ano Equações Polinomiais

http: //2. bp. blogspot. com/Yr 2 w. Uq 1 e. G 0 E/T 9 l. FT 4 WDs. PI/AAAAke. Y/ Qp. Oc. WTVbc. O 8/s 1600/professora+3 d. gif Matemática, 3º ano, Equações polinomiais “A diferença entre o cubo de um número real e o seu quadrado é igual à soma do triplo do quadrado desse número com 25. Qual é esse número? ”,

Matemática, 3º ano, Equações polinomiais EQUAÇÕES POLINOMIAIS v Denominamos equações polinomiais ou algébricas, às equações da forma: P(x) = 0, onde P(x) é um polinômio de grau n > 0. As raízes da equação algébrica, são as mesmas do polinômio P(x). O grau do polinômio, será também o grau da equação. v Exemplos: ü x 4 + 9 x 2– 10 x + 3 = 0 ü x 10 + 6 x 2 + 9 = 0 Para resolver estas equações é preciso encontrar as raízes do polinômio. As raízes de um polinômio podem ser reais e/ou complexas.

Matemática, 3º ano, Equações polinomiais TEOREMA FUNDAMENTAL DA ÁLGEBRA (T. F. A. ) v Toda equação algébrica de variável complexa e grau n, com n ≥ 1, admite pelo menos uma raiz complexa (real ou imaginária). ü A equação 2 x – 6 = 0 admite a raiz real 3. ü a equação x 2 + 4 = 0 admite as raízes imaginárias 2 i e – 2 i. ü A equação x 4 – 81 = 0 admite a raiz real 3 e a raiz imaginária – 3 i, entre outras.

Matemática, 3º ano, Equações polinomiais FATORAÇÃO DE UM POLINÔMIO v Uma consequência imediata do T. F. A. é o teorema a seguir. Toda equação algébrica de variável complexa e grau n, com n ≥ 1, admite exatamente n raízes complexas (reais ou imaginárias). ü Portanto, uma equação tem sempre tantas raízes quanto for o seu grau.

Matemática, 3º ano, Equações polinomiais DEMONSTRAÇÃO v Suponhamos a equação p(x) = 0, em que o polinômio p(x), de variável complexa e grau n ≥ 1, é dado pela seguinte expressão, com a 0 ≠ 0. p(x) = a 0 xn + a 1 xn– 1 + a 2 xn– 2 +. . . + an– 1 x + an ü Vamos provar que p(x) admite n raízes complexas.

Matemática, 3º ano, Equações polinomiais DEMONSTRAÇÃO v Pelo T. F. A. , p(x) admite uma raiz complexa k 1. p(k 1) = 0 e que p(x) é divisível por (x – k 1). ⇒ p(x) = (x – k 1). q 1(x) (1) ü Pelo T. F. A. , q 1(x) admite uma raiz complexa k 2. q 1(k 2) = 0 e que q 1(x) é divisível por (x – k 2). ⇒ q 1(x) = (x – k 2). q 2(x) (2) ü Substituindo (2) em (1), concluímos que ⇒ p(x) = (x – k 1). (x – k 2). q 2(x)

Matemática, 3º ano, Equações polinomiais DEMONSTRAÇÃO v Aplicando esse raciocínio n vezes, o último quociente, de grau zero, é justamente o coeficiente dominante a 0. Concluímos que: p(x) = a 0. (x – k 1). (x – k 2). (x – k 3). . (x – kn) ü O polinômio tem exatamente n raízes complexas k 1, k 2, k 3, . . . kn reais ou imaginárias; ü Pode ser decomposto no produto de seu coeficiente dominante por n fatores de 1º grau do tipo (x – ki), em que ki, representa cada uma das raízes do polinômio.

Matemática, 3º ano, Equações polinomiais EXEMPLO 1 v Mostrar pelo dispositivo de Briot-Ruffini que 1, – 1 e – 2 são as raízes de p(x) = 2 x 3 + 4 x 2 – 2 x – 4 e escrever p(x) na forma fatorada. 2 4 – 2 1 2 6 4 – 1 2 4 0 – 2 2 0 – 4 0 p(x) = (x – 1). (2 x 2 + 6 x + 4) = (x – 1). (x + 1). (2 x + 4) p(x) = 2. (x – 1). (x + 2)

Matemática, 3º ano, Equações polinomiais EXEMPLO 2 v Quais são os graus das equações (x – 1)2 = 0, (x – 1)5 = 0. A partir do grau, quantas raízes complexas tem cada uma delas? Quais são as raízes, em cada caso? (x – 1)2 = 0 é de 2º grau. (x – 1)2 = (x – 1) = 0 ⇒ a equação admite duas raízes iguais a 1. (x – 1)5 = 0 é de 5º grau. (x – 1)5 = (x – 1) = 0 ⇒ a equação admite cinco raízes iguais a 1.

Matemática, 3º ano, Equações polinomiais EXEMPLO 3 v Escrever o polinômio p(x) = (x 2 – 3 x)(x 2 – 9) como produto de fatores de 1º grau e identificar seu grau e suas raízes. Fatorando as expressões entre parênteses, p(x) =(x 2 – 3 x)(x 2 – 9) = x(x – 3)(x + 3)(x – 3) O polinômio é de 4º grau e suas raízes são os valores que anulam cada um dos seus quatro fatores: x=0 ou x – 3 = 0 ⇒ x = 0 ou x = 3 ou x + 3 = 0 ou x = – 3 ⇒ raízes são 0, 3 , – 3 e 3. ou x – 3 = 0 ou x = 3

Matemática, 3º ano, Equações polinomiais EXEMPLO 4 v Construir o polinômio p(x) de 3 o grau, coeficiente dominante – 1 e raízes 2, – 1 e 3. Coeficiente dominante a 0 = – 1 e raízes k 1 = 2, k 2 = – 1 e k 3 = 3 p(x) = a 0. (x – k 1). (x – k 2). (x – k 3) ⇒ p(x) = – 1(x – 2)(x + 1)(x – 3) ⇒ p(x) = – 1(x – 2)(x 2 – 3 x + x – 3) ⇒ p(x) = – 1(x – 2)(x 2 – 2 x – 3) = – 1(x 3 – 2 x 2 – 3 x – 2 x 2 + 4 x + 6) ⇒ p(x) = –x 3 + 4 x 2 – x – 6

Matemática, 3º ano, Equações polinomiais EXEMPLO 5 v Fatorar o polinômio p(x) = x 2 – 5 x + 6. Primeiro vamos resolver a equação x 2 – 5 x + 6 = 0 a partir da fórmula de Baskhara. As raízes são x’ = 2 e x” = 3 e o coeficiente dominante de p(x) é 1. p(x) = a 0. (x – k 1). (x – k 2) ⇒ p(x) = 1. (x – 2)(x – 3) ⇒ p(x) = (x – 2)(x – 3)

Matemática, 3º ano, Equações polinomiais EXEMPLO 6 v Mostrar que p(x) = x 3 – x 2 – 5 x – 3 é divisível por x – 3. Em seguida, escrever p(x) como produto de fatores de 1º grau e identificar suas raízes. Pelo dispositivo de Briot-Ruffini, vamos dividir p(x) por x – 3. 3 1 – 5 1 2 1 – 3 ⇒ p(x) = (x – 3)(x 2 + 2 x + 1) = (x – 3)(x + 1)2 ⇒ p(x) = (x – 3)(x + 1) ⇒ raízes de p(x) são 3 , – 1 e – 1. 0

Matemática, 3º ano, Equações polinomiais MULTIPLICIDADE DE UMA RAIZ v Observe o seguinte polinômio p(x) = 8(x + 4)(x – 7)(x – 5)(x + 4)(x – 7)(x + 4) p(x) é o produto de uma constante (8) por 6 fatores de 1º grau. Ele é de 6º grau. Suas raízes são – 4, 7, 5, – 4, 7 e – 4. ü – 4 é raiz tripla ou de multiplicidade três; ü 7 é raiz dupla ou de multiplicidade dois; ü 5 é raiz simples ou de multiplicidade um. p(x) = 8(x + 4)3(x – 7)2(x – 5)

Matemática, 3º ano, Equações polinomiais EXEMPLO 1 v Em p(x) = – 3(x + 1)6(x – 3)2(3 x + 2), indicar as raízes e a multiplicidade de cada uma delas. (x + 1)6 = 0 ⇒ raiz – 1 (multiplicidade 6) (x – 3)2 = 0 ⇒ raiz 3 (multiplicidade 2) 3 x + 2 = 0 ⇒ raiz – 2/3 (multiplicidade 1)

Matemática, 3º ano, Equações polinomiais RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES ALGÉBRICAS v No ensino fundamental, aprendemos métodos algébricos simples para resolução de equações de 1º e 2º graus. v A resolução de equações de 3º grau ou grau superior, no entanto, é mais complicada. Em geral, são necessárias informações adicionais que permitem a obtenção de suas raízes. v Existem algumas regras especiais que ajudam a identificar raízes inteiras ou racionais de uma equação.

Matemática, 3º ano, Equações polinomiais EXEMPLO 2 v O polinômio p(x) = –x 3 + x 2 + ax + b admite – 1 como raiz dupla. Obter os valores das constantes a e b, bem como a outra raiz real de p(x). Escrever p(x) na forma fatorada, temos p(x) = – 1(x + 1)2(x – k) = – 1(x 2 + 2 x + 1)(x – k) = (–x 2 – 2 x – 1)(x – k) = –x 3 + kx 2 – 2 x 2 +2 kx – x + k = –x 3 + (k – 2)x 2 + (2 k – 1)x + k k– 2=1 ⇒ k=3 2 k – 1 = a ⇒ 6 – 1 = a ⇒ a = 5 k=b ⇒ b=3

Matemática, 3º ano, Equações polinomiais EXEMPLO 3 v Dado o polinômio p(x) = x 5 – 6 x 4 + 13 x 3 – 14 x 2 + 12 x – 8. Identificar a multiplicidade da raiz 2. Vamos utilizar o dispositivo de Briot-Ruffini para isso. 1 – 6 13 – 14 12 – 8 2 1 – 4 5 – 4 4 0 2 1 – 2 0 2 1 2 5 Obtivemos resto zero nas três primeiras divisões ⇒ 2 é raiz tripla.

Matemática, 3º ano, Equações polinomiais REGRA 1 v Se uma equação algébrica de coeficientes inteiros admite uma raiz inteira e não-nula, essa raiz é um divisor (positivo ou negativo) do termo independente.

Matemática, 3º ano, Equações polinomiais EXEMPLO v Identificar as raízes inteiras da equação 2 x 3 – 5 x 2 – 4 x + 3 = 0. As possíveis raízes inteiras da equação são 1, – 1, 3 e – 3, divisores do termo independente. p(1) = 2 – 5 – 4 + 3 = – 4 (soma dos coeficientes) p(– 1) = 2(– 1)3 – 5(– 1)2 – 4(– 1) + 3 = – 2 – 5 + 4 + 3 p(3) = 2(3)3 – 5(3)2 – 4(3) + 3 =0 = 54 – 45 – 12 + 3 = 0 p(– 3) = 2(– 3)3 – 5(– 3)2 – 4(– 3) + 3 = 54 – 45 + 12 + 3 = – 84 As únicas raízes inteiras da equação são – 1 e 3.

Matemática, 3º ano, Equações polinomiais REGRA 2 v Se uma equação algébrica de coeficientes inteiros admite uma raiz racional não-nula p/q, com p e q inteiros e primos entre si, então p é divisor do termo independente e q é divisor do coeficiente dominante da equação.

Matemática, 3º ano, Equações polinomiais EXEMPLO v Encontrar todas as raízes racionais da equação 2 x 4 + 5 x 3 + 3 x 2 + x – 2 = 0. As possíveis raízes racionais são do tipo p/q, p e q inteiros, sendo que ü p é divisor do termo independente – 2 ⇒ p = – 1 ou p = – 2 ou p = 2 ü q é divisor do coeficiente dominante 2 ⇒ q = – 1 ou q = – 2 ou q = 2 Fazendo todas as combinações possíveis desses valores, p/q ∊ {1, – 1, 2, – 2, 1/2, – 1/2}.

Matemática, 3º ano, Equações polinomiais EXEMPLO v Encontrar todas as raízes racionais da equação 2 x 4 + 5 x 3 + 3 x 2 + x – 2 = 0. p(1) = 2 + 5 + 3 + 1 – 2 = 9 (soma dos coeficientes) p(– 1) = 2(– 1)4 + 5(– 1)3 + 3(– 1)2 + (– 1) – 2 = – 3 p(2) = 2(2)4 + 5(2)3 + 3(2)2 + 2 – 2 = 84 p(– 2) = 2(– 2)4 + 5(– 2)3 + 3(– 2)2 + (– 2) – 2 = 0 p(1/2) = 2(1/2)4 + 5(1/2)3 + 3(1/2)2 + (1/2) – 2 = 0 p(–½) = 2(–½)4 + 5(–½)3 + 3(–½)2 + (–½) – 2 = – 9/4 As únicas raízes racionais da equação são – 2 e 1/2.

Matemática, 3º ano, Equações polinomiais REGRA 3 v Se uma equação algébrica de coeficientes reais admite como raiz o número z = a + bi, então ela admite também, como raiz, o número imaginário z = a – bi, conjugado de z, com a mesma multiplicidade. ü Isso significa que as raízes imaginárias de uma equação algébrica de coeficientes reais aparecem aos pares. ü No caso, o total de raízes imaginárias da equação só pode ser par: 0, 2, 4, 6, . . .

Matemática, 3º ano, Equações polinomiais EXEMPLO 1 v Construir o polinômio de 2º grau, de coeficientes reais e coeficiente dominante – 1, sabendo que uma de suas raízes é 2 – 3 i. O polinômio tem coef. reais. Se 2 – 3 i é raiz, o seu conjugado, 2 + 3 i também é. p(x) = a 0. (x – k 1). (x – k 2) p(x) = – 1. [x – (2 – 3 i)]. [x – (2 + 3 i)] p(x) = – 1. (x – 2 + 3 i). (x – 2 – 3 i) p(x) = – 1. (x – 2)2 – 9 i 2) = – 1. (x 2 – 4 x + 4 + 9) p(x) = –x 2 +4 x + 9

Matemática, 3º ano, Equações polinomiais EXEMPLO 2 v Um polinômio de coeficientes reais admite a raiz simples 5, a raiz dupla 2 – i e a raiz tripla – 3. Qual é o menor grau possível do polinômio? Se 2 – i é raiz dupla, seu conjugado 2 + i também é raiz dupla. ü 5 (raiz simples) ⇒ 1 raiz; ü 2 – i (raiz dupla) ⇒ 2 raízes; ü 2 + i (raiz dupla) ⇒ 2 raízes; ü – 3 (raiz simples) ⇒ 3 raízes; Se o polinômio tem pelo menos essas 8 raízes, ele é de 8º grau, no mínimo.

Matemática, 3º ano, Equações polinomiais RELAÇÕES DE GIRARD v Em 1629, o matemático Albert Girard publicava em obra intitulada Invention nouvelle em l’algébre. Nela, mostrava relações importante envolvendo raízes e coeficientes de uma equação algébrica. v Elas são conhecidas, por isso, como relações de Girar.

Matemática, 3º ano, Equações polinomiais EXEMPLO v Em 3 x 2 – 5 x – 2 = 0, a 0 = 3, a 1 = – 5 e a 2 = – 2 a 1 ü Soma das raízes: x 1 + x 2 = – = a 0 5 3 a 2 – 2 = ü produto das raízes: x 1 + x 2 = a 3 0

Matemática, 3º ano, Equações polinomiais RELAÇÕES NA EQUAÇÃO DE 2º GRAU v A forma geral de uma equação de 2º grau é a 0 x 2 + a 1 x + a 2 = 0, com a 0 ≠ 0. Se x 1 e x 2 são suas raízes complexas, podemos escrever: a 0 x 2 + a 1 x + a 2 = a 0. (x – x 1). (x – x 2) (: a 0) x 2 + + a 2 a 1 x+ a 0 = (x – x 1). (x – x 2) = x 2 – x 2 x – x 1 x + x 1 x 2 a 1 2 – (x + x )x + x x x+ = x 1 2 a 0 a 2 a 1 a 0 = – (x 1 + x 2) a 0 = x 1 x 2

Matemática, 3º ano, Equações polinomiais RELAÇÕES NA EQUAÇÃO DE 2º GRAU v Chegamos às relações que fornecem a soma e o produto das raízes da equação de 2º grau, em função de seus coeficientes. a 1 x 1 + x 2 = – a 0 e a 2 x 1 x 2 = a 0

Matemática, 3º ano, Equações polinomiais RELAÇÕES NA EQUAÇÃO DE 3º GRAU v A forma geral da equação de 3º grau, é a 0 x 3 +a 1 x 2 + a 2 x + a 3 = 0, com a 0 ≠ 0. Suponhamos que x 1, x 2 e x 3 sejam as suas raízes. As relações de Girard, nesse caso, fica assim: a 1 x 1 + x 2 + x 3 = – a 0 a 2 x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 = a 0 a 3 x 1 x 2 x 3 = – a 0

Matemática, 3º ano, Equações polinomiais QUESTÕES http: //zonadaponte. com. sapo. pt/gifs/escola/esc 00 3. gif 1º) Obter a soma, o produto e a soma dos inversos das raízes da equação 2 x 3 + 4 x 2 + 9 x – 6 = 0. 2º) Achar as raízes da equação x 3 – 3 x 2 + 4 = 0, sabendo que uma é dupla. 3º) Resolver a equação 2 x 3 – 3 x 2 – 3 x + 2 = 0, sabendo que uma é o inverso da outra.

Matemática, 3º ano, Equações polinomiais EXTRAS GEOGEBRA ü Utilizar o software geogebra para a representação gráfica de equações polinomiais ou algébricas. ü Este programa é de uso livre e pode ser obtido no endereço: http: //www. baixaki. com. br/download/geogebra. htm.

Matemática, 3º ano, Equações polinomiais REFERÊNCIAS Sites: v http: //www. brasilescola. com/matematica/equacao-polinomial. htm v http: //pt. wikipedia. org/wiki/Equa%C 3%A 7%C 3%A 3 o_polinomial Livros: v I. Silva, Cláudio Xavier da. II. Filho, Benigno Barreto. Matemática aula por aula, 3: ensino médio – São Paulo : FTD, 2009. v Dante, Luiz Roberto. Matemática : volume único - Ática. São Paulo : Ática, 2005. v I. Iezzi, Gelson. II. Dolce, Osvaldo. III. Degenszajn, David. IV. Périgo, Roberto. Matemática : volume único – São Paulo : Atual, 2002.