Matemtica 9 ano Resoluo de problemas envolvendo equaes

Matemática, 9º ano, Resolução de problemas envolvendo equações do 2º grau Binômio de Newton Isaac Newton nasceu na pequena cidade inglesa de Lincolnshire em 4 de janeiro de 1643 e morreu em 31 de março de 1727. Ele foi um menino rebelde, mas você também seria se sua mãe o abandonasse em um colégio interno que ensinava gramática na maior parte do tempo. . . Essa não era a disciplina preferida do jovem Newton, que, como vamos ver, desenvolveu várias teorias que revolucionaram a matemática, física e astronomia. MATEMÁTICA Em Cambridge, Isaac Newton foi o primeiro da classe. Formou-se em 1665 e teve que retornar a sua aldeia natal quando a universidade fechou devido ao surto de peste bubônica. Como a Ensino Fundamental, 9ºtudo ano epidemia o impedia de sair de casa, o jovem se dedicou a rever o que tinha aprendido na faculdade. A partir daí, ele não parou de pesquisar e realizar experimentos. Nessa época, Newton dava os primeiros passos rumo às descobertas mais importantes, como a decomposição da luz, o princípio da gravitação universal, desenvolvimentos matemáticos diversos e as chamadas três leis de Newton. Resolução de problemas envolvendo equações do 2º grau

http: //bestanimations. com/Books/teacher-reading-book-animation. gif Matemática, 9º ano, Resolução de problemas envolvendo equações do 2º grau v Um problema é do 2º grau se, para a sua resolução, formada uma equação do 2º grau. v Na resolução de um problema ajuda: ü Fazer um esquema ou desenho de modo a compreender melhor o enunciado; ü Identificar os dados e a incógnita; ü Formar a equação; ü Resolver a equação; ü Interpretar as soluções da equação no contexto do problema.

Matemática, 9º ano, Resolução de problemas envolvendo equações do 2º grau Ex. 1) O triplo do quadrado do número de filhos de Pedro é igual a 63 menos 12 vezes o número de filhos. Quantos filhos Pedro tem? Sendo x o número de filhos de Pedro, temos que: ü 3 x 2 equivale ao triplo do quadrado do número de filhos; ü 63 - 12 x equivale a 63 menos 12 vezes o número de filhos. Montando a sentença matemática obtemos: 3 x 2 = 63 - 12 x, que pode ser expressa como 3 x 2 + 12 x - 63 = 0. Temos agora uma sentença matemática reduzida à forma ax 2 + bx + c = 0, que é denominada equação do 2° grau.

Matemática, 9º ano, Resolução de problemas envolvendo equações do 2º grau Primeiramente calculemos o valor de Δ: 3 x² + 12 x – 63 = 0 a = 3 b = 12 c = – 63 Δ = b² – 4. a. c Δ = 12² – 4. 3. (– 63) Δ = 144 + 756 Δ = 900 Como Δ é maior que zero, sabemos que a equação possui duas raízes reais distintas. Vamos calculá-las: 3 x² + 12 x – 63 = 0 a = 3 b = 12 c = – 63 x = (– b Δ)/2. a x 1 = (– 12 + 900)/6 x 1 = (– 12 + 30)/6 x 1 = 18/6 x 1 = 3

http: //www. heath ersanimations. com /children/a 1057. gif Matemática, 9º ano, Resolução de problemas envolvendo equações do 2º grau 3 x² + 12 x – 63 = 0 a = 3 b = 12 c = – 63 x 2 = (– 12 – 900)/6 x 2 = (– 12 – 30)/6 x 2 = – 42/6 x 2 = – 7 http: //www. h eathersanima tions. com/chi ldren/a 1059. gif http: //www. heat hersanimations. c om/children/a 10 58. gif A raízes encontradas são 3 e – 7, mas como o número de filhos de uma pessoa não pode ser negativo, descartamos então a raiz – 7. ü Portanto: Pedro tem 3 filhos.

Ex. 2) Uma tela retangular com área de 9600 cm 2 tem de largura uma vez e meia a sua altura. Quais são as dimensões desta tela? Se chamarmos de x a altura da tela, temos que: ü 1, 5 x será a sua largura. ü Sabemos que a área de uma figura geométrica retangular é calculada multiplicando-se a medida da sua largura, pela medida da sua altura. Escrevendo o enunciado na forma de uma sentença matemática obtemos: x. 1, 5 x = 9600 http: //www. heathersanimations. com/schoo l/sc 52. gif Matemática, 9º ano, Resolução de problemas envolvendo equações do 2º grau

Matemática, 9º ano, Resolução de problemas envolvendo equações do 2º grau A sentença matemática x. 1, 5 x = 9600, também pode ser expressa como: 1, 5 x 2 – 9600 = 0 Note que temos uma equação do 2° grau incompleta, que terá duas raízes reais opostas, situação que ocorre sempre que o coeficiente b é igual a zero. Vamos aos cálculos: 1, 5 x 2 – 9600 = 0 1, 5 x 2 = 9600/1, 5 x 2 = 6400 x = 80

Matemática, 9º ano, Resolução de problemas envolvendo equações do 2º grau As raízes reais encontradas são – 80 e 80. No entanto, como uma tela não pode ter dimensões negativas, devemos desconsiderar a raiz – 80. Como 1, 5 x representa a largura da tela, temos então que ela será de 1, 5. 80 = 120. Portanto: ü Esta tela tem as dimensões de 80 cm de altura, por 120 cm de largura.

Matemática, 9º ano, Resolução de problemas envolvendo equações do 2º grau Ex. 3) Comprei 4 lanches a um certo valor unitário. De outro tipo de lanche, com o mesmo preço unitário, a quantidade comprada foi igual ao valor unitário de cada lanche. Paguei com duas notas de cem reais e recebi R$ 8, 00 de troco. Qual o preço unitário de cada produto? http: //bestanimations. com/Food/animatedsandwich. gif O enunciado nos diz que: ü Os dois tipos de lanche têm o mesmo valor unitário. Vamos denominá-lo então de x; ü De um dos produtos eu comprei 4 unidades e do outro eu comprei x unidades. ü Recebi R$ 8, 00 de troco ao pagar R$ 200, 00 pela mercadoria.

Matemática, 9º ano, Resolução de problemas envolvendo equações do 2º grau Temos as informações necessárias para montarmos a seguinte equação: 4. x + x. x + 8 = 200 Ou então: 4 x + x² + 8 = 200 x² + 4 x – 192 = 0 Como x representa o valor unitário de cada lanche, vamos solucionar a equação para descobrimos que valor é este: x² + 4 x – 192 = 0 a = 1 b = 4 c = – 192 Δ = b² – 4. a. c Δ = 4² – 4. 1. (– 192) Δ = 16 + 768 Δ = 784

Matemática, 9º ano, Resolução de problemas envolvendo equações do 2º grau x² + 4 x – 192 = 0 a = 1 b = 4 c = – 192 x = (– b Δ)/2. a x 1 = (– 4 + 784)/2 x 1 = (– 4 + 28)/2 x 1 = 24/2 x 1 = 12 x 2 = (– 4 – 784)/2 x 2 = (– 4 – 28)/2 x 2 = – 32/2 x 2 = – 16 As raízes reais da equação são – 16 e 12. Como o preço não pode ser negativo, a raiz igual – 16 deve ser descartada. üAssim, o preço unitário de cada produto é de R$ 12, 00.

Ex. 4) O produto da idade de Pedro pela idade de Paulo é igual a 374. Pedro é 5 anos mais velho que Paulo. Quantos anos tem cada um deles? Se chamarmos de x a idade de Pedro, teremos: ü x – 5 será a idade de Paulo. ü O produto das idades é igual a 374, logo x. (x – 5) = 374. Esta sentença matemática também pode ser expressa como: x. (x – 5) = 374 x² – 5 x – 374 = 0 http: //www. eurooscar. com/gifs 1/escola 1. htm Matemática, 9º ano, Resolução de problemas envolvendo equações do 2º grau

Matemática, 9º ano, Resolução de problemas envolvendo equações do 2º grau Primeiramente para obtermos a idade de Pedro, vamos solucionar a equação: x² – 5 x – 374 = 0 a = 1 b = – 5 c = – 374 Δ = b² – 4. a. c Δ = (– 5)² – 4. 1. (– 374) Δ = 25 + 1496 Δ = 1521 x = (– b Δ)/2. a x 1 = (5 + 1521)/2 x 1 = (5 + 39)/2 x 1 = 44/2 x 1 = 22

Matemática, 9º ano, Resolução de problemas envolvendo equações do 2º grau x = (– b Δ)/2. a x 2 = (5 – 1521)/2 x 2 = (5 – 39)/2 x 2 = – 34/2 x 2 = – 17 As raízes reais encontradas são – 17 e 22, por ser negativa, a raiz – 17 deve ser descartada. ü Logo a idade de Pedro é de 22 anos. ü Como Pedro é 5 anos mais velho que Paulo, Paulo tem então 17 anos.

Matemática, 9º ano, Resolução de problemas envolvendo equações do 2º grau Ex. 5) Há dois números cujo triplo do quadrado é a igual 15 vezes estes números. Quais números são estes? Definindo a incógnita como x, temos: ü 3 x 2 equivale ao triplo do quadrado do número; ü 15 x equivale a 15 vezes este número. Podemos escrever esta sentença da seguinte forma: 3 x 2 = 15 x Ou ainda como: 3 x 2 – 15 x = 0 http: //bestanimations. com/Books/bo y-reading-book-animation-3. gif

Matemática, 9º ano, Resolução de problemas envolvendo equações do 2º grau Note que temos uma equação do 2° grau incompleta, como apenas o coeficiente c é igual a zero, sabemos que esta equação possui duas raízes reais. Uma é igual a zero e a outra é dada pelo oposto do coeficiente b dividido pelo coeficiente a. Resumindo podemos dizer que: 3 x² – 15 x = 0 x(3 x – 15) = 0 x=0 3 x – 15 = 0 3 x = 15/3 x=5 Assim sendo, os dois números são 0 e 5.

Ex. 6) Quais são as raízes da equação x² – 14 x + 48 = 0? Podemos resolver esta equação simplesmente respondendo esta pergunta: ü Quais são os dois números que somados totalizam 14 e que multiplicados resultam em 48? Sem qualquer esforço chegamos a 6 e 8, pois 6 + 8 = 14 e 6. 8 = 48. Para simples conferência, vamos solucioná-la também através da fórmula de Bháskara: http: //zonadaponte. com. sapo. pt/gifs/livros/liv 017. gif Matemática, 9º ano, Resolução de problemas envolvendo equações do 2º grau

Matemática, 9º ano, Resolução de problemas envolvendo equações do 2º grau x² – 14 x + 48 = 0 a = 1 b = – 14 c = 48 Δ = b² – 4. a. c Δ = (– 14)² – 4. 1. 48 Δ = 196 – 192 Δ=4 x = (– b Δ)/2. a x 1 = (14 + 4)/2 x 1 = (14 + 2)/2 x 1 = 16/2 x 1 = 8 x 2 = (14 – 4)/2 x 2 = (14 – 2)/2 x 2 = 12/2 x 2 = 6

Ex. 7) Resolva a equação biquadrada x 4 – 20 x² – 576 = 0. Substituindo na equação x 4 por y 2 e também x 2 por y temos: y 4 – 20 y² – 576 = 0 Resolvendo-a temos: y 4 – 20 y² – 576 = 0 a = 1 b = – 20 c = – 576 Δ = b² – 4. a. c Δ = (– 20)² – 4. 1. (– 576) Δ = 400 + 2304 Δ = 2704 http: //www. eurooscar. com/gifs 1/escola 1. htm Matemática, 9º ano, Resolução de problemas envolvendo equações do 2º grau

Matemática, 9º ano, Resolução de problemas envolvendo equações do 2º grau y 4 – 20 y² – 576 = 0 a = 1 b = – 20 c = – 576 y = (– b Δ)/2. a y 1 = (20 + 2704)/2 y 1 = (20 + 52)/2 y 1 = 72/2 y 1 = 36 y 2 = (20 – 2704)/2 y 2 = (20 – 52)/2 y 2 = – 32/2 y 2 = – 16

Matemática, 9º ano, Resolução de problemas envolvendo equações do 2º grau Substituindo os valores de y na expressão x 2 = y obtemos as raízes da equação biquadrada: Para y 1 = 36, temos: x² = y x² = 36 x = 36 x= 6 Para y 2 = – 16, como não existe raiz quadrada real de um número negativo, o valor de -16 não será considerado. Desta forma, as raízes da equação biquadrada x 4 – 20 x 2 – 576 = 0 são somente: – 6 e 6.

http: //www. heathersanimations. com/school/sc 28. gif Matemática, 9º ano, Resolução de problemas envolvendo equações do 2º grau Ex. 8) Pai e filho têm hoje 45 e 15 anos, respectivamente. Há quantos anos a idade do pai era igual ao quadrado da idade do filho? Em problemas como esse que envolvem tempo decorrido o sinal de menos (–), não significa “retirar” uma quantidade e sim, voltar no tempo. Representação algébrica das idades do pai e do filho, há x anos: ü idade do pai há x anos: 45 – x ü idade do filho há x anos: 15 – x Equalizando as informações “idade do pai era igual ao quadrado da idade do filho”: 45 – x = (15 – x)².

Matemática, 9º ano, Resolução de problemas envolvendo equações do 2º grau Desenvolvendo a equação 45 – x = (15 – x)², obtemos: 45 – x = 225 – 30 x + x 2 – 29 x + 180 = 0 a = 1 b = – 29 c = 180 Δ = b² – 4. a. c Δ = (– 29) ² – 4. 1. 180 Δ = 841 – 720 Δ = 121 x = (– b Δ)/2. a x 1 = (29 + 121)/2 x 1 = (29 + 11)/2 x 1 = 40/2 x 1 = 20

Matemática, 9º ano, Resolução de problemas envolvendo equações do 2º grau x 2 – 29 x + 180 = 0 a = 1 b = – 29 c = 180 x 2 = (29 – 121)/2 x 2 = (29 – 11)/2 x 2 = 18/2 x 2 = 9 Analisando os resultados encontrados (20 e 9), o valor 20 não pode ser usado no problema, pois, nesse caso, o filho teria idade negativa! ü idade do pai há x anos: 45 – x ü idade do filho há x anos: 15 – x Portando, para x = 9 temos para idades: 36 e 6 anos.

Matemática, 9º ano, Resolução de problemas envolvendo equações do 2º grau Ex. 9) Um retângulo possui a medida de seu lado maior igual ao quádruplo do lado menor, e área medindo 256 m². Determine a medida de seus lados. 4 x 256 m² x Para calcularmos a área de uma região retangular devemos multiplicar o comprimento pela largura. 4 x. x = 256 4 x² = 256 x² = 256/4 x² = 64 x = 8 O lado de maior comprimento (4 x) mede 32 metros e o de menor comprimento (x), 8 metros.

Matemática, 9º ano, Resolução de problemas envolvendo equações do 2º grau Ex. 10) Num congresso havia 50 pessoas entre mulheres e homens. Descubra quantas mulheres e quantos homens estavam presentes, sabendo que o produto das quantidades dois grupos é igual 621 e que a quantidade de mulheres é maior do que a quantidade de homens. http: //www. fotosdahora. com. br/gifs_ path/7190/ol hos_7/ Sendo h: número de homens e m o número de mulheres no congresso, temos que: ü ü h + m = 50 equivale ao total de pessoas no congresso; h. m = 621 equivale ao produto das quantidades dois grupos.

Matemática, 9º ano, Resolução de problemas envolvendo equações do 2º grau Montando a sentença matemática obtemos: h + m = 50 h = 50 – m h. m = 621 Substituindo h por 50 – m na 2ª equação, temos: (50 – m). m = 621 50 m – m² – 621 = 0 x(-1) m² – 50 m + 621 = 0 a = 1 b = – 50 c = 621 = b² – 4. a. c = (– 50)² – 4. 1. 621 = 2500 – 2484 = 16

Matemática, 9º ano, Resolução de problemas envolvendo equações do 2º grau m = (– b )/2. a m = (50 4)/2 m 1 = (50 + 4)/2 m 1 = 54/2 m 1 = 27 m 2 = (50 – 4)/2 m 2 = 46/2 m 2 = 23 Como h + m = 50, e o número de mulheres é maior que o número de homens, então havia 27 mulheres e 23 homens no congresso.

Matemática, 9º ano, Resolução de problemas envolvendo equações do 2º grau EXERCÍCIOS http: //zonadaponte. com. sapo. pt/gifs/escola/esc 003. gif 1º) Um cidadão, ao falecer, deixou uma herança de R$ 200. 000, 00 para ser distribuída, de maneira equitativa, entre os seus x filhos. No entanto, três desses filhos renunciaram às suas respectivas partes nessa herança, fazendo com que os demais x – 3 filhos, além do que receberiam normalmente, tivessem um adicional de R$15. 000, 00 em suas respectivas partes dessa herança. Portanto, o número x de filhos do referido cidadão é: a) 8 b) 10 c) 5 d) 4 e) 7 2º) Em certa cidade há um terreno de formato retangular de 80 m 2 de área, em que um lado tem 2 m a mais que o outro. O prefeito da cidade pretende construir nesse terreno uma praça, fazendo ainda duas passarelas perpendiculares que dividirão a praça em quatro retângulos congruentes. Qual será a área ocupada pelas passarelas se elas tiverem 2 m de largura? 3º) A soma de um número com o seu quadrado é 90. Calcule esses números. 4º) O quadrado de um número aumentado de 25 é igual a dez vezes esse número. Calcule esse número.

Matemática, 9º ano, Resolução de problemas envolvendo equações do 2º grau EXTRAS GEOGEBRA ü Utilizar o software geogebra para realizar algumas atividades sobre equações do 2º grau, bem como revisar seus conceitos. ü Este programa é de uso livre e pode ser obtido no endereço: http: //www. baixaki. com. br/download/geogebra. htm.

Matemática, 9º ano, Resolução de problemas envolvendo equações do 2º grau REFERÊNCIAS Sites: v http: //pt. slideshare. net/Andr. Lus. Nogueira/exerccios-resolvidos-de-problemas-deequaes-do-2 -grau Livros: v I. Silva, Cláudio Xavier da. II. Filho, Benigno Barreto. Matemática aula por aula, 1: ensino médio – São Paulo : FTD, 2009. v Dante, Luiz Roberto. Matemática : volume único - Ática. São Paulo : Ática, 2005. v I. Iezzi, Gelson. II. Dolce, Osvaldo. III. Degenszajn, David. IV. Périgo, Roberto. Matemática : volume único – São Paulo : Atual, 2002.