Equaes diferenciais ordinrias Problemtica w Equaes diferencias aparecem

Equações diferenciais ordinárias

Problemática w Equações diferencias aparecem em modelos que descrevem quantitativamente fenômenos em diversas áreas. w Equações diferenciais são equações que envolvem derivada das funções. w Por exemplo, num movimento uniforme, temos: ; V 0 é uma velocidade constante.

Equação diferencial ordinária w Uma equação diferencial é ordinária somente se ela tem uma variável independente: w Uma solução de uma equação diferencial ordinária é uma função de variável independente que satisfaça a equação:

Ordem, linearidade w A ordem de uma equação diferencial é o grau mas alta de derivação da equação: y”’=0 é de terceira ordem. w Uma equação diferencial é linear se a função e suas derivadas aparecem linearmente na equação: xy’=x-y é linear, y”+y²y’+y=0 não é linear.

Solução única w Uma equação diferencial não possui uma solução única. Para individualizar uma solução única devemos impor condições suplementares. w Por exemplo, y(0)=1; y’(4)=0; . .

Problema de valor inicial, de valor de contorno w Dada uma equação de ordem m, se a função como suas derivadas até ordem m-1 são especificadas num mesmo ponto, é um problema de valor inicial. w Se as condições não são todas dadas num mesmo ponto, temos um problema de valor de contorno.

Problema de valor inicial w A razão maior do uso de métodos numéricos para encontrar solução de equações diferenciais é o fato que não existe sempre soluções analíticas. w Em muitos casos a teoria garante a existencia e unicidade da solução, mas não produz a solução analítica.

Método numérico w PVI: Estudo do caso: w Vamos considerar x 1, . . . , xn igualmente espaçados (xk+1 -xk=h) (condição necessária mas útil) e vamos calcular yi=y(xi) para cada ponto usando as informações dos pontos anteriores.

Método numérico w Se para determinar yj precisamos somente de yj-1, o método é de passo simples. Se precisamos de mais valores, o método é de passo múltiplo. w No caso de PVI, temos uma aproximação inicial para y(x 0), o método é auto-iniciante.

Método de Euler w Conhecendo x 0 e y 0=y(x 0), podemos calcular f(x 0, y 0)=y’(x 0). w Nesse ponto, podemos aproximar a curva com a tangente em x 0: y(x 0)+(x-x 0)y’(x 0). Escolhido h (xk+1 -xk), podemos aproximar y 1 com: y 1=y 0+hf(x 0, y 0). w O raciocino é repetido e assim, temos: yk+1=yk+hf(xk, yk)

Método de série de Taylor w A serie de Taylor de y em torno de x=xn é: w Considerando h=xn+1 -xn, temos: w Com erro de truncamento:

Método de série de Taylor w Para aplicar esse método de ordem k, temos que calcular: y”, y”’, . . . , y(k) y’=f(x, y(x)), y”(x)=fx(x, y(x))+y’(x)fy(x, y(x)), . . y”’= w Podemos ver a dificuldade dos cálculos. O método de Euler é o método de série de Taylor de ordem 1.

Exemplo w Calcular y(2, 1) sabendo que: Temos:

Método de Runge-Kutta w A idéia do método é aproveitar as qualidades dos métodos de série de Taylor: precisão e ao mesmo tempo eliminar seu maior defeito: calculo de derivadas de f(x, y). Basicamente, n n n São de passo 1 Não exigem cálculo de derivada Coincide com a expressão do método de serie de Taylor

Método de Runge-Kutta w Ordem 1: o método de Euler satisfaz as características precedentes, ela é o método de Runge-Kutta de ordem 1.

Método de Euler Aperfeiçoado w O método de Euler aperfeiçoado usa, no lugar da inclinação da tangente num ponto para aproximar o ponto seguinte, a media das inclinações no ponto e no ponto seguinte.

Runge-Kutta de ordem 2 w No caso de Euler aperfeiçoado, obtemos: w A forma geral dos métodos de Runge-Kutta de ordem 2 é a seguinte:

Runge-Kutta de ordem 3

Runge-Kutta de ordem 4