Derivace funkce Pednka 2 Smrnice seny funkce f

Derivace funkce Přednáška 2

Směrnice sečny funkce f procházející body [a, f(a)] a [b, f(b)] ¡ ¡ poměrná diference s diferenčním krokem h=b-a Směrnice tečny k funkci f v bodě [a, f(a)]

Derivace funkce v bodě x 0 Nechť f je definována v nějakém , potom pokud existuje vlastní nebo nevlastní nazveme ji derivací funkce f v bodě Označení ¡ Ekvivalentní zápis

Derivace zprava a zleva ¡ derivace v bodě existuje, pokud existují jednostranné derivace v bodě a mají stejnou hodnotu. ¡ ¡ ¡ Lokální pojem Globální pojem

Příklad ¡ Jednostranné derivace funkce f(x)=|x|, kde x 0 =0 ¡ Derivace funkce f(x)=|x| v x 0 =0 neexistuje ¡

Derivace funkce xn

Derivace základních funkcí ¡ k je konstanta

Vlastnosti derivace Pokud funkce mají v bodě x vlastní derivaci, potom také má v bodě x vlastní derivaci a platí ¡

Příklad ¡ Zderivujte funkci

Příklad ¡ Zderivujte funkci

Derivace složené funkce ¡ Jestliže funkce je diferencovatelná v bodě a funkce f je diferencovatelná v bodě , potom složená funkce , je diferencovatelná v bodě x a platí: ¡ Derivace vyšších řádů

Příklady ¡ Zderivujte funkci ¡ Spočtěte druhou derivaci funkce

Ekonomický význam derivace ¡ Průměrný poměr změny funkce f(x) ¡ Okamžitý poměr změny funkce f(x)

l’Hospitalovo pravidlo Nechť f a g jsou spojité na nějakém okolí bodu c a nechť nebo Potom ¡ Rovnice tečny Má-li funkce v bodě x=a derivaci, potom tečna ke grafu funkce y=f(x) s dotykovým bodem A=[a, f(a)] má analytické vyjádření y- f(a)= f(a)´(x-a).

Příklad Najděte rovnici tečny grafu funkce ¡ f: y = ex - e-x v bodě T[0, ? ]. ¡

Elasticita funkce ¡ Elasticita funkce f(x) je číslo, které udává míru schopnosti závisle proměnné reagovat na změny nezávisle proměnné x. ¡ Elasticita funkce f(x) v bodě x je číslo E(x), které udává poměr procentuální změny závisle proměnné y k jednoprocentuální změně nezávisle proměnné x

Elasticita funkce poptávky

Mezní příjmy a mezní náklady Celkový příjem TR(Q) ¡ Mezní příjem MR(Q)= TR`(Q) ¡ Celkové náklady TC(Q) ¡ Mezní náklady MC(Q)= TC`(Q) ¡

Extrémy funkce na množině ¡ Definice: Funkce f nabývá na množině M svého maxima Funkce f nabývá na množině M svého minima ¡ Funkce f nabývá na množině M ostrého maxima ¡ Funkce f nabývá na množině M ostrého minima ¡

Základní vlastnosti spojitých funkcí Vlastnost: Nechť f je spojitá na uzavřeném intervalu , potom f je omezená na . ¡ Vlastnost: Nechť f je spojitá na uzavřeném intervalu , potom f nabývá maxima (minima) v . ¡ Vlastnost: Nechť f je spojitá na uzavřeném intervalu a nechť a (resp. a ) , potom existuje bod , že ¡

vztah vlastní derivace a spojitosti funkce Jestliže funkce f má vlastní derivaci v bodě , potom funkce f je v tomto bodě spojitá. ¡ Definice: Řekneme, že funkce f, definovaná na nějakém okolí bodu , má v bodě c ostré lokální maximum (ostré lokální minimum), jestliže

Vlastnosti lokálních extrémů a derivace Vlastnost I. : Má-li funkce f v bodě c lokální extrém a existujeli , pak . ¡ Vlastnost II. : Jestliže a jestliže , potom má funkce f v bodě c ostrý lokální extrém. A to pro ostré lokální minimum, resp. pro ostré lokální maximum. ¡ Vlastnost III. : Nechť a . Jestliže n je sudé, potom f má v bodě c ostrý lokální extrém a to ostré lokální maximum v případě, že nebo ostré lokální minimum v případě, že . Jestliže n je liché, potom v c lokální extrém nemá. ¡

Jak této vlastnosti využít ke zjišťování extrémů funkce f? ¡ ¡ ¡ ¡ Vyšetříme definiční obor funkce Funkci f zderivujeme Derivaci položíme rovnu 0 Nalezneme všechna x, pro která je splněna rovnice Podezřelé body z extrému Nalezneme druhou derivaci funkce f a podezřelé body z extrému dosadíme do druhé derivace funkce f Extrém nastává v těch bodech, ve kterých je druhá derivace funkce f nenulová Rozhodneme, zda se jedná o lokální maximum či lokální minimum

Příklad 1 ¡ Nalezněte lokální extrémy funkce

Příklad 2 ¡ Zjistěte, zda funkce má v bodě lokální extrém, a jaký. ¡ Lokální minimum

Extrémy funkce na intervalu I Funkce definovaná na intervalu I může mít extrémy: ¡ Ve vnitřních bodech intervalu I, v nichž je derivace nulová, ¡ Ve vnitřních bodech intervalu I, v nichž první derivace neexistuje, ¡ V bodech, které jsou krajní body intervalu I (pokud I je uzavřený nebo polouzavřený interval) ¡

Vztah derivace funkce a monotonie funkce ¡ ¡ ¡ Vlastnost IV. : Buď f definovaná na intervalu I a Je-li pro , pak funkce f je rostoucí na . Je-li pro , pak funkce f je klesající na .

Jak vyšetřit intervaly monotonie? A mohu zjistit při vyšetřování intervalů monotonie lokální extrémy funkce f? ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ Určíme definiční obor funkce f Funkci f zderivujeme Derivaci položíme rovnu 0 Nalezneme všechna x, pro která je splněna rovnice Tyto body rozsekají definiční obor funkce na menší intervaly V každém z těchto intervalů vezmeme libovolný vnitřní bod a dosadíme ho do předpisu první derivace funkce f. Pokud je hodnota první derivace funkce f v tomto vnitřním bodě kladná, pak je funkce f rostoucí na celém tomto intervalu Pokud je hodnota první derivace funkce f v tomto vnitřním bodě záporná, pak je funkce f klesající na celém tomto intervalu V krajních bodech intervalů monotonie, ve kterých se funkce mění z rostoucí na klesající nastává lokální maximum V krajních bodech intervalů monotonie, ve kterých se funkce mění z klesající na rostoucí nastává lokální minimum

Příklad 3 ¡ Vyšetřete intervaly monotonie funkce

Konvexní a konkávní funkce Definice: Řekneme, že funkce f je na intervalu I ryze konvexní leží pod spojnicí bodů ¡ konvexní leží pod nebo na spojnici bodů ¡ ryze konkávní leží nad spojnicí bodů ¡ konkávní leží nad nebo na spojnici bodů ¡

Vztah intervalů konkavity a konvexity funkce a derivace funkce Vlastnost: Nechť funkce f je spojitá na intervalu a nechť , potom funkce f je ryze konvexní na . ¡ Jestliže funkce f je spojitá na intervalu a nechť ¡ ¡ , potom funkce f je ryze konkávní na .

Jak najít intervaly konkavity a konvexity? ¡ ¡ ¡ ¡ Vyšetříme definiční obor funkce f Nalezneme druhou derivaci funkce f Nalezneme všechna x, pro která je splněna rovnice Tyto body rozsekají definiční obor funkce na menší intervaly V každém z těchto intervalů vezmeme libovolný vnitřní bod a dosadíme ho do předpisu druhé derivace funkce f. Pokud je hodnota druhé derivace funkce f v tomto vnitřním bodě kladná, pak je funkce f konvexní na celém tomto intervalu Pokud je hodnota druhé derivace funkce f v tomto vnitřním bodě záporná, pak je funkce f konkávní na celém tomto intervalu

Příklad ¡ Nalezněte intervaly, v nichž je funkce ¡ konvexní a konkávní.

příklad ¡

Inflexní bod Definice: Nechť existuje . Řekneme, že funkce f má v bodě c inflexi (c je bodem inflexe funkce f ), jestliže a tak, že f je konkávní (resp. konvexní) v a konvexní (resp. konkávní) v Vlastnost I. : Jestliže a c je bodem inflexe, potom . Vlastnost II. : Jestliže a , potom má funkce f v bodě c inflexi. ¡

Asymptoty grafu funkce Definice : Přímku p nazveme asymptotou grafu funkce f(x), jestliže limita vzdálenosti bodu [x, f(x)]grafu funkce od přímky p je nula. ¡ Vlastnost: Přímka o rovnici x=a je svislou asymptotou grafu funkce f(x), právě když nastává alespoň jedna ze čtyř možností: ¡ nebo ¡

Šikmá asymptota grafu funkce Přímka o rovnici y=kx+q je šikmou asymptotou grafu funkce f(x), právě když nastává alespoň jedna ze dvou možností: ¡ a zároveň ¡ nebo ¡ a zároveň ¡

Příklad: Určete asymptoty ke grafu funkce f: y = x 2(x - 2)-1 ¡ Šikmá asymptota

Výpočet q ¡

Svislá asymptota ¡

Užití derivace k minimalizaci průměrných nákladů a maximalizaci celkových příjmů ¡ Průměrné náklady ¡ Lokální extrém ¡ Množství Q 0, které zaručuje minimální průměrné náklady, je hodnota, ve které se mezní náklady vyrovnají průměrným nákladům.

Maximalizace zisku ¡ ¡ ¡ Funkce zisku Hledání lokálního maxima Množství Q 0, ve kterém dochází k maximalizaci zisku je hodnota, ve které se mezní náklady rovnají mezním příjmům.

Funkce více proměnných

Funkce více proměnných ¡ ¡ ¡ Bod v rovině Bod v Graf funkce v plocha Graf funkce v Vzdálenost dvou bodů v rovině

Graf konstantní funkce

Graf funkce f(x, y)=x ¡

Graf funkce f(x, y)=y ¡

Graf funkce f(x, y)=x+y ¡

Graf funkce f(x, y)=x 2 ¡

Graf funkce f(x, y)=y 2 ¡

Graf funkce f(x, y)=y 2+ x 2 ¡

Graf funkce f(x, y)=sinx ¡

Graf funkce f(x, y)=siny ¡

Graf funkce f(x, y)=sinx+siny ¡

Graf funkce f(x, y)=sin(x+y) ¡

Graf funkce f(x, y)=sinx. siny ¡

Graf funkce f(x, y)=x. y ¡

Graf funkce f(x, y)=x. siny ¡

Co se stane, když jedna proměnná bude neměnná?

Parciální derivace podle x ¡ ¡ Proměnnou y zafixuji. Pak f(x, y)=φ(x) Parciální derivace funkce f(x, y) podle x v bodě A=[x 0, y 0 ] je směrnice tečny ke grafu funkce φ(x) v bodě A=[x 0, y 0 ]

Parciální derivace podle y Proměnnou x zafixuji. Pak f(x, y)=ψ(y) Parciální derivace funkce f(x, y) podle y v bodě A=[x 0, y 0] je směrnice tečny ke grafu funkce ψ(y) v bodě A=[x 0, y 0]

Derivace funkce více proměnných Definice: Derivací funkce v bodě nazveme vektor parciálních derivací této funkce v bodě A. ¡ Nazývá se také gradient funkce. ¡ Geometricky- směr největšího růstu funkce f v okolí bodu A ¡ Definice: Funkce se nazývá hladká v bodě A, jestliže všechny parciální derivace v bodě A existují a jsou spojité. ¡

Příklad ¡ Vypočtěte parciální derivace podle obou proměnných funkce

Parciální derivace vyšších řádů ¡ ¡ ¡ smíšené derivace Vlastnost: Pokud jsou smíšené derivace ( , ) spojité funkce v bodě potom platí = .

Příklad ¡ Vypočtěte druhé parciální derivace funkce

Užití v mikroekonomii ¡ Funkce užitku ¡ je mezní užitek spotřebního statku x 1 a udává, jak se změní užitek v důsledku jednotkové změny prvního spotřebního statku při nezměněné úrovni druhého spotřebního statku ¡ je mezní užitek spotřebního statku x 2 a udává, jak se změní užitek v důsledku jednotkové změny druhého spotřebního statku při nezměněné úrovni prvního spotřebního statku

Lokální a globální extrémy funkcí více proměnných ¡ Definice: V bodě nastává maximum funkce vzhledem k množině M, platí-li

Lokální a globální extrémy funkcí více proměnných ¡ ¡ V bodě nastává minimum funkce vzhledem k množině M, platí-li pro všechna

Lokální a globální extrémy funkcí více proměnných ¡ Značíme Pokud množina globální extrémy ¡ Pokud množina nebo ………lokální extrémy ¡ Body z , v nichž může nastat extrém funkce f, budeme nazývat stacionární body ¡

Nutná podmínka pro extrém Jestliže funkce má v bodě extrém, potom pro každé platí buď nebo neexistuje. ¡

Postačující podmínka pro lokální extrém Jestliže funkce má v bodě ¡ pro každé f má spojitou druhou derivaci v bodě a ¡ pak má funkce v bodě lokální extrém.

A to lokální maximum, jestliže v bodě , lokální minimum, jestliže v bodě , ¡

Sedlový bod Jestliže nemá funkce v bodě lokální extrém, bod se nazývá sedlovým bodem. ¡ Funkce f(x, y)=x 2 -y 2

Příklad Nalezněte lokální extrémy funkce ¡ stacionární bod ¡ ¡ Sedlo v

Příklad ¡ Nalezněte lokální extrémy funkce stacionární body ¡ lok. max ¡ Lok. min

graf

Globální extrémy funkce více proměnných na kompaktní množině ¡ ¡ ¡ Kompaktní množina-omezená a uzavřená množina. Extrémy mohou nastat : v bodech, ve kterých jsou všechny první parciální derivace rovny nule v bodech, ve kterých některé parciální derivace neexistují a zbývající první parciální derivace rovny nule v hraničních bodech definičního oboru. Z těchto podezřelých bodů vybereme ty s největší (nejmenší) funkční hodnotou. V těchto bodech nastává globální maximum (minimum).