KONVEXNOST A KONKVNOST FUNKCE INFLEXN BODY KONVEXNOST A

KONVEXNOST A KONKÁVNOST FUNKCE INFLEXNÍ BODY

KONVEXNOST A KONKÁVNOST FUNKCE Def. : Funkce se nazývá konvexní v intervalu I, právě když pro libovolná čísla x 1, x 2, x 3 I, která splňují nerovnost x 1 < x 2 < x 3, platí, že bod [x 2, f(x 2)] leží pod přímkou procházející body [x 1, f(x 1)], [x 3, f(x 3)] nebo na ní. Funkce se nazývá konkávní v intervalu I, právě když pro libovolná čísla x 1, x 2, x 3 I, která splňují nerovnost x 1 < x 2 < x 3, platí, že bod [x 2, f(x 2)] leží nad přímkou procházející body [x 1, f(x 1)], [x 3, f(x 3)] nebo na ní.

Def. : Funkce je ryze konvexní v bodě x 0, jestliže má v bodě x 0 vlastní derivaci ´(x 0) a existuje-li takové číslo >0, tak, že pro každé x (x 0 - ; x 0) (x 0; x 0 + ) platí: (x) > ´(x 0)(x – x 0) + (x 0). Funkce je ryze konkávní v bodě x 0, jestliže má v bodě x 0 vlastní derivaci ´(x 0) a existuje-li takové číslo >0, tak, že pro každé x (x 0 - ; x 0) (x 0; x 0 + ) platí: (x) < ´(x 0)(x – x 0) + (x 0). Je-li funkce konvexní (konkávní) v každém bodě intervalu I, říkáme, že je konvexní (konkávní) v int. I.

V: Jestliže v každém bodě intervalu I platí, že ´´(x) > 0, ( ´´(x) < 0), pak je funkce v intervalu I konvexní (konkávní). Př. Určete intervaly konvexnosti a konkávnosti funkce f: y = (x - 1)3. Určíme první a druhou derivaci dané funkce: Určíme nulové body druhé derivace: Zřejmě pro x >1 je ´´(x) > 0 a pro x < 1 je ´´(x) < 0. To znamená, že funkce je v int. (- ; 1) konkávní a v int. (1; ) konvexní.

INFLEXNÍ BOD FUNKCE Def. : Nechť funkce má v bode x 0 derivaci. Přechází-li v tomto bodě graf funkce z polohy „nad tečnou“ do polohy „pod tečnou“ nebo z polohy „pod tečnou“ do polohy „nad tečnou“, nazýváme bod x 0 inflexní bod funkce . V: Je-li bod x 0 inflexním bodem funkce a má-li funkce v tomto bodě druhou derivaci, pak ´´(x 0) = 0. V: Nechť funkce má druhou derivaci v každém bodě nějakého -okolí bodu x 0 a nechť tato druhá derivace ´´(x) má v intervalech (x 0 - ; x 0) a (x 0; x 0 + ) různá znaménka, pak bod x 0 je inflexním bodem funkce .

Př. Určete inflexní body funkce: Určíme druhou derivaci dané funkce: Určíme nulové body druhé derivace a znaménka na vzniklých intervalech: Na intervalech (- ; 0) a (0, 5; ) má 2. derivace kladné znaménko, tj. funkce je konvexní, na intervalu (0; 0, 5) má 2. derivace záporné znaménko, tj. funkce je konkávní. Protože v obou bodech 2. derivace mění znaménko, jsou tyto inflexními body.