Teorie sel Prvoslo Eulerova funkce n Prvn hodnoty

Teorie čísel • • • Prvočíslo Eulerova funkce φ(n) První hodnoty funkce φ: 1, 1, 2, 2, 4, 2, 6, 3, 6, 4 Pro a, b nesoudělná φ(ab)= φ(a). φ(b) P prvočíslo: φ(p)=p-1

Vlastnosti prvočísel • Binomický koeficient (p nad i) mod p = 0, pro i=1. . p-1 • (a+b)p mod p=ap+bp • Pro c menší než p je cpmod p = c, cp-1 mod p = 1 • N je součin dvou prvočísel p, q. φ(N)=(p -1)(q-1), c φ(N) mod N = 1 • Malá Fermatova věta

Distribuce klíčů D-H *1976 Whitfield Diffie *1944 Martin Hellban *1945 Massachusetts Institute of Technology (Boston) Protokol SSL

Metoda Diffie Hellman • Použiji jednosměrnou funkci f(x)=px mod q p, q jsou velká prvočísla. • Uživatel A zvolí tajný klíč t, uživatel B tajný klíč s. • Uživatel A spočítá f(t) = pt mod q = α a pošle • Uživatel B spočítá f(s) = ps mod q = β a pošle

Metoda Diffie Hellman • A spočítá βt mod q = pst mod q = K. • B spočítá αs mod q = pts mod q = K. • K se použije jako klíč pro jednorázovou šifru (např. DES)

RSA šifra *1977 • Ronald Rivest *1947 Leonard Adelman *1945 Adi Shamir *1952 University of Southern California, Los Angeles Protokol PGP

RSA šifra • • Dvě prvočísla p, q Šifrovací modul N=p. q Dešifrovací exponent t nesoudělný s N Φ(N)=(p-1). (q-1) s je řešení kongurence s. t mod Φ(N)=1 Veřejný klíč: N, s Tajný klíč: p, q, Φ(N), t

RSA šifra • Šifrovací zobrazení y=xs mod N • Dešifrovací zobrazení x=yt mod N • xst mod N = xkΦ(N)+1 mod N = 1 k. x mod N = x

Příklad • • • p=7, q=13 N=91, Φ(N)=6. 12=72 t=7 s. 7 mod 72 = 1, s=31 Veřejný klíč s=31, N=91, y=x 31 mod 91 Tajný klíč t=7, p=7, q=13, Φ(N)=72, x=y 7 mod 91

Příklad • x=24 • y= x 31 mod 91= 2431 mod 91 = (2416 mod 91). (248 mod 91). (244 mod 91). (242 mod 91). (241 mod 91) = 24. 30. 81. 9. 81 mod 91= 42515280 mod 91 = 80 • x = 807 mod 91= (801 mod 91). (802 mod 91). (804 mod 91) = 80. 30. 81 mod 91 = 24

Elektronický podpis • X=yt mod N, y =xs mod A • y=yst mod N = y

Jak vybrat prvočísla p, q • Prvočísel je nekonečně mnoho • Počet prvočísel menších než n: π(n)≈n/ln(n) • Počet 100 místných prvočísel: π(10100)π(1099) ≈4, 3*1097 • ln(10100) ≈ 230, každé 230 číslo je prvočíslo

Algoritmus pro hledání prvočísla • Zvol náhodné číslo n • Otestuj, jestli je prvočíslo • Pokud ne, polož n: =n+1

Test prvočíselnosti • Vyzkoušet všechny dělitele – nereálné • Malá Fermatova věta, pro c<p, p prvočíslo platí: cp-1 mod p = 1 • Obrácené tvrzení neplatí • Čísla, která splňují cp-1 mod p = 1 pro každé c a nejsou prvočísla, Carmichaelova čísla, nejmenší 561=3*11*17