Odhady parametr zkladnho souboru Parametry zkladnho souboru populace

Odhady parametrů základního souboru

Parametry základního souboru (populace), resp. parametry rozdělení X Výběrové charakteristiky Základní soubor (populace) střední hodnota μ (EX) rozptyl σ2 směrodatná odchylka σ podíl (rel. četnost) π Výběrový soubor (výběr) průměr výběrový rozptyl s 2 výběrová směrodatná odchylka s výběrový podíl p

Rozdělení náhodné veličiny Empirické - hodnoty sledované veličiny Teoretické - matematický model Odhady parametrů Bodový odhad - číselná hodnota prezentující hledaný parametr Intervalový odhad - číselný interval, který s předem danou spolehlivostí vymezí prostor obsahující hledaný parametr

Základní pojmy z terorie odhadu • interval spolehlivosti (konfidenční interval) • spolehlivost odhadu (1 -α) • hladinou významnosti α • parametrický prostor • odhad parametru θ • bodový odhad parametru θ

Vlastnosti „dobrého“ bodového odhadu • Nestrannost (nevychýlenost, nezkreslenost) • Vydatnost (eficience) • Konzistence • Dostatečnost

Chyba bodového odhadu • Bodový odhad – náhodná veličina • Výběrová chyba (odchylka bodového odhadu od skutečné hodnoty parametru) • Střední chyba (směrodatná odchylka nezkresleného bodového odhadu)

Konstrukce intervalových odhadů Intervalový odhad - interval (TD; TH), v němž hledaný parametr leží s předem určenou pravděpodobností (spolehlivostí), kterou označujeme (1 -α)

Typy intervalových odhadů • Jednostranné – Levostranné , – Pravostranné , • Dvoustranné ,

Graf. prezentace intervalového odhadu Nechť interval spolehlivosti obsahuje hledaný parametr s 95%-ní spolehlivostí – připouštíme 5%-ní chybu odhadu (α=0, 05) Dvoustranný interval f(θ) Jednostranný interval (prav. ) 5% 2, 5% θ

Konstrukce intervalových odhadů • Zvolíme vhodnou výběrovou charakteristiku, jejíž rozdělení známe (testová statistika) – T(X) Levostranné odhady Nechť: Je zřejmé, že: A proto:

Úkol: Na základě appletu Rice Virtual Lab in Statistics, Confidence Intervals si uvědomte co znamená spolehlivost odhadu. V appletu jsou konstruovány intervalové odhady střední hodnoty (95% ní a 99% ní) z populace se střední hodnotou 50 a směrodatnou odchylkou 10. Všimněte si, jak se daří odhad střední hodnoty na základě jednoho výběru o zvoleném rozsahu.

Konstrukce intervalových odhadů • Zvolíme vhodnou výběrovou charakteristiku, jejíž rozdělení známe (testová statistika) – T(X) Pravostranné odhady Nechť: Je zřejmé, že: A proto:

Konstrukce intervalových odhadů • Zvolíme vhodnou výběrovou charakteristiku, jejíž rozdělení známe (testová statistika) – T(X) Dvoustranné odhady Nechť: Je zřejmé, že: A proto:

Intervaly spolehlivosti pro parametry normálního rozdělení

Intervalové odhady pro střední hodnotu Známe rozptyl známe Volba vhodné testové statistiky: Levostranný interval spolehlivosti:

Intervalové odhady pro střední hodnotu Známe rozptyl známe Volba vhodné testové statistiky: Pravostranný interval spolehlivosti:

Intervalové odhady pro střední hodnotu Známe rozptyl Volba vhodné testové statistiky: Dvoustranný interval spolehlivosti:

Intervalové odhady pro střední hodnotu Neznáme rozptyl neznáme Volba vhodné testové statistiky: Levostranný interval spolehlivosti: Pravostranný interval spolehlivosti: Dvoustranný interval spolehlivosti:

Řešený příklad: Útvar kontroly podniku Edison testoval životnost žárovek. Kontroloři vybrali z produkce podniku náhodně 50 žárovek a došli k závěru, že průměrná doba života těchto 50 -ti žárovek je 950 hodin a příslušná výběrová směrodatná odchylka doby života je 100 hodin. Určete 95%-ní interval spolehlivosti životnosti žárovek firmy Edison. Řešení:

Intervalové odhady pro rozptyl Volba vhodné testové statistiky: Levostranný interval spolehlivosti: Pravostranný interval spolehlivosti: Dvoustranný interval spolehlivosti:

Intervalové odhady pro směrodatnou odchylku Volba vhodné testové statistiky: Levostranný interval spolehlivosti: Pravostranný interval spolehlivosti: Dvoustranný interval spolehlivosti:

Intervalové odhady pro podíl (relativní četnost) Volba vhodné testové statistiky: Levostranný interval spolehlivosti: Pravostranný interval spolehlivosti: Dvoustranný interval spolehlivosti:

Intervaly spolehlivosti pro rozdíl dvou parametrů normálních rozdělení

Intervalové odhady pro rozdíl dvou středních hodnot Známe rozptyly Volba vhodné testové statistiky: Levostranný interval spolehlivosti: Pravostranný interval spolehlivosti: Dvoustranný interval spolehlivosti:

Intervalové odhady pro rozdíl dvou středních hodnot Neznáme rozptyly Volba vhodné testové statistiky: Levostranný interval spolehlivosti: Pravostranný interval spolehlivosti: Dvoustranný interval spolehlivosti:

Intervalové odhady pro rozdíl dvou podílů (rel. četností) Volba vhodné testové statistiky: Levostranný interval spolehlivosti: Pravostranný interval spolehlivosti: Dvoustranný interval spolehlivosti:

Řešený příklad: Diskety dvou velkých výrobců - Sonik a 5 M byly podrobeny zkoušce kvality. Diskety obou výrobců jsou baleny po 20 -ti kusech. Ve 40 -ti balíčcích fy Sonik bylo nalezeno 24 vadných disket, ve 30 -ti balíčcích 5 M bylo nalezeno 14 vadných disket. Určete 95%-ní interval spolehlivosti pro rozdíl v procentu vadných disket v celkové produkci firem Sonik a 5 M. Řešení:

Spolehlivost intervalového odhadu: Hladina významnosti: Výběrové soubory: Sonik: 5 M:

Po dosazení:

Rozsah výběru Přípustná chyba odhadu Δ • hodnota, o kterou jsme ochotni se zmýlit oproti skutečné hodnotě odhadovaného parametru při dané spolehlivosti odhadu (hladině významnosti) • je rovna polovině šířky oboustranného intervalu spolehlivosti

Rozsah výběru při odhadu střední hodnoty Známe rozptyl Oboustranný intervalový odhad : Příslušný intervalový odhad tedy můžeme vyjádřit ve tvaru: Přípustná chyba odhadu Δ : Požadujeme: