Funkce Linern funkce a jej vlastnosti 2 Funkce

Funkce Lineární funkce a její vlastnosti 2

Funkce − definice Funkce je předpis, který každému číslu z definičního oboru, který je podmnožinou množiny všech reálných čísel R, přiřazuje právě jedno reálné číslo. Funkci značíme obvykle písmenkem f, ale nic nebrání tomu, abychom použili i jiná písmenka, např. g, h… Obvykle ji zapisujeme ve tvaru: y = f(x), např. y = 2 x+1 nebo ve tvaru: f: y = 2 x + 1 kde proměnná x je argument funkce.

Opakování − zápis funkce f: y = 2 x + 1 kde proměnná x je argument funkce neboli nezávisle proměnná. Nezávislost je dána tím, že její hodnotu můžeme libovolně měnit, ovšem jen v rámci definované množiny, definičního oboru. Množina všech přípustných hodnot argumentu x, tedy všechny hodnoty, kterých může proměnná x pro danou funkci nabývat, se nazývá definiční obor. Značí se: D(f)

Opakování − obor hodnot Ke všem přípustným hodnotám argumentu x přísluší právě jedna funkční hodnota. Ty všechny dohromady tvoří obor hodnot (obor funkčních hodnot). Funkční hodnota neboli závisle proměnná je číslo, které funkce přiřadí konkrétnímu argumentu x. Jinak řečeno − výstupní hodnota funkce. Obvykle ji značíme y nebo f(x). Hodnota závisle proměnné je pro danou Obor hodnot je množina všech reálných čísel, které funkci jednoznačně dostaneme jako výstupní hodnotu funkce f, jestliže určena hodnotou argumentu x - proto za x dosadíme všechny přípustné hodnoty z D(f). „závisle“ proměnná. Značí se: H(f)

Opakování − zadání, zápis funkce 1) Předpisem (vzorcem, rovnicí) f: y = 2 x + 1 3) Grafem 2) Tabulkou x -2 -1 0 1 2 y -3 -1 1 3 5

Lineární funkce je funkce daná rovnicí y = ax + b kde a, b jsou libovolná reálná čísla a definičním oborem množina všech reálných čísel. Poznámka: Je-li definičním oborem podmnožina (část) množiny všech reálných čísel, hovoříme o části lineární funkce. y= + x -3 y = -5 x 1, 5 y = 2 x + 3/4 y = 0, 5 x - 3 +1 y= x 2 / -1 5 7 , – 0

Graf lineární funkce Sestrojte graf funkce f: y = 2 x - 1, pro x R. x -2 -1 0 y 1 2 -5 -3 -1 1 3 Grafem funkce je přímka. Slovo přímka pochází z latinského „linea“, což označuje čáru nebo přímku. Funkci, jejímž grafem je přímka, říkáme lineární funkce.

Graf lineární funkce Je grafem lineární funkce každá přímka? Ano. Funkce je předpis, který každému číslu z definičního oboru, který je podmnožinou množiny všech Proč? reálných čísel R, přiřazuje právě jedno reálné číslo. Ano. Ne!

Vlastnosti lineárních funkcí Sestrojte v téže soustavě souřadnic grafy funkcí: x 2 4 y 2 1 x 2 4 y 0 -1 x 2 4 y -2 -3 Jsou-li dvě lineární rovnice určeny rovnicemi y = a 1 x + b 1; y = a 2 x + b 2 a jestliže a 1 = a 2, pak grafy těchto funkcí jsou navzájem rovnoběžné přímky.

Vlastnosti lineární funkce Budeme měnit, a tudíž šetřit, jak graf ovlivňuje koeficient b (koeficient a = 1). b = 2: y = x + 2 b = 1: y = x + 1 b = 0: y = x b = -1: y = x - 1 b = -2: y = x - 2 x 0 1 y 2 3 x 0 1 y 1 2 x 0 1 y 0 1 x 0 1 y -1 0 x 0 1 y -2 -1 Koeficient b určuje posunutí grafu ve směru osy y. Udává y-ovou souřadnici průsečíku s osou y.

Vlastnosti lineární funkce y = ax + b y = - 5 x + 3/4 , 5 nyní zkoumat, 1 Budeme + x 3 se mění graf lineární funkce jak y= y = 0, 5 x - 3 v závislosti na změně – 0, 75 y = 2 x x 2 / +1 koeficientu a. - 1 y=

Vlastnosti lineární funkce Budeme měnit, a tudíž šetřit, jak graf ovlivňuje koeficient a (koeficient b = 1). a = 2: y = 2 x + 1 x 0 1 y 1 3

Vlastnosti lineární funkce Budeme měnit, a tudíž šetřit, jak graf ovlivňuje koeficient a (koeficient b = 1). a = 2: y = 2 x + 1 a = 1: y = x + 1 x 0 1 y 1 3 x 0 1 y 1 2

Vlastnosti lineární funkce Budeme měnit, a tudíž šetřit, jak graf ovlivňuje koeficient a (koeficient b = 1). a = 2: y = 2 x + 1 a = 1: y = x + 1 a = 0: y = 1 x 0 1 y 1 3 x 0 1 y 1 2 x 0 1 y 1 1

Vlastnosti lineární funkce Budeme měnit, a tudíž šetřit, jak graf ovlivňuje koeficient a (koeficient b = 1). a = 2: y = 2 x + 1 a = 1: y = x + 1 a = 0: y = 1 a = -1: y = -x + 1 x 0 1 y 1 3 x 0 1 y 1 2 x 0 1 y 1 1 x 0 1 y 1 0

Vlastnosti lineární funkce Budeme měnit, a tudíž šetřit, jak graf ovlivňuje koeficient a (koeficient b = 1). a = 2: y = 2 x + 1 a = 1: y = x + 1 a = 0: y = 1 a = -1: y = -x + 1 a = -2: y = -2 x + 1 x 0 1 y 1 3 x 0 1 y 1 2 x 0 1 y 1 1 x 0 1 y 1 0 x 0 1 y 1 -1

Vlastnosti lineární funkce Budeme měnit, a tudíž šetřit, jak graf ovlivňuje koeficient a (koeficient b = 1). a = 2: y = 2 x + 1 a = 1: y = x + 1 a = 0: y = 1 a = -1: y = -x + 1 a = -2: y = -2 x + 1 x 0 1 y 1 3 x 0 1 y 1 2 x 0 1 y 1 1 x 0 1 y 1 0 x 0 1 y 1 -1 a>1 funkce rostoucí Funkce f je rostoucí, právě když pro každé dvě hodnoty x 1, x 2 jejího definičního oboru D platí: Je-li x 1 < x 2, pak f(x 1) < f(x 2).

Vlastnosti lineární funkce Budeme měnit, a tudíž šetřit, jak graf ovlivňuje koeficient a (koeficient b = 1). a = 2: y = 2 x + 1 a = 1: y = x + 1 a = 0: y = 1 a = -1: y = -x + 1 a = -2: y = -2 x + 1 x 0 1 y 1 3 x 0 1 y 1 2 x 0 1 y 1 1 x 0 1 y 1 0 x 0 1 y 1 -1 a<1 funkce klesajícící Funkce f je klesající, právě když pro každé dvě hodnoty x 1, x 2 jejího definičního oboru D platí: Je-li x 1 < x 2, pak f(x 1) > f(x 2).

Vlastnosti lineární funkce Budeme měnit, a tudíž šetřit, jak graf ovlivňuje koeficient a (koeficient b = 1). a = 2: y = 2 x + 1 a = 1: y = x + 1 a = 0: y = 1 a = -1: y = -x + 1 a = -2: y = -2 x + 1 x 0 1 y 1 3 x 0 1 y 1 2 x 0 1 y 1 1 x 0 1 y 1 0 x 0 1 y 1 -1 a=0 funkce konstantní Zvláštní případ lineární funkce y = b se nazývá konstantní funkce. Grafem konstantní funkce je přímka rovnoběžná s osou x.

Příklady − Vlastnosti lineárních funkcí Rozhodněte, zda daná lineární funkce je rostoucí, nebo klesající. Své rozhodnutí zdůvodněte. y = 2 x + 1 y = 0, 5 x - 3 y = -3 x + 1, 5 y = -0, 75 y = -5 x + 3/4

Příklady − Vlastnosti lineárních funkcí Rozhodněte, zda daná lineární funkce je rostoucí, nebo klesající. Své rozhodnutí zdůvodněte. y = 2 x + 1 rostoucí y = 0, 5 x - 3 rostoucí y = -3 x + 1, 5 klesající y = -0, 75 konstantní y = -5 x + 3/4 klesající

Příklady − Vlastnosti lineárních funkcí Rozhodněte, zda daná lineární funkce je rostoucí, nebo klesající. Své rozhodnutí zdůvodněte. y = 5 x + 9 y = -3 – 5 x y = 1, 5 + 0, 5 x y = 5, 25 y = -1/2 x + 3/4 y = 2/5 - x

Příklady − Vlastnosti lineárních funkcí Rozhodněte, zda daná lineární funkce je rostoucí, nebo klesající. Své rozhodnutí zdůvodněte. y = 5 x + 9 rostoucí y = -3 – 5 x klesající y = 1, 5 + 0, 5 x rostoucí y = 5, 25 konstantní y = -1/2 x + 3/4 klesající y = 2/5 - x klesající

Příklady − Vlastnosti lineárních funkcí V téže soustavě souřadnic sestrojte grafy lineárních funkcí: y=x+1 y = 3 x + 1 y = -3 x + 1

Příklady − Vlastnosti lineárních funkcí V téže soustavě souřadnic sestrojte grafy lineárních funkcí: y=x+1 y = 3 x + 1 y = -3 x + 1