kola slo projektu Nzev projektu slo a nzev

Škola: Číslo projektu: Název projektu: Číslo a název šablony klíčové aktivity: Tematická oblast: Gymnázium Václava Hlavatého, Louny, Poděbradova 661, příspěvková organizace CZ. 1. 07/1. 5. 00/34. 0616 Inovace výuky EU-8 - Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol Volitelný předmět matematika (matematický seminář) EU-8 -52 – DERIVACE FUNKCE VIII (derivace složené funkce) Anotace Zopakování pojmu složené funkce, věta o derivování složené funkce, procvičení derivování složené funkce na příkladech. Autor Paed. Dr. Milan Rieger Jazyk Čeština Očekávaný výstup Klíčová slova Druh učebního materiálu Druh interaktivity Cílová skupina Žák chápe princip skládání funkcí a složenou funkci, dovede rozlišit (určit) vnitřní a vnější funkci, umí derivovat složené funkce. Složená funkce, vnitřní funkce, vnější funkce, derivace složené funkce. Pracovní list / Animace / Obrázky / Testy Aktivita / Výklad / Test / Kombinace Žák Stupeň a typ vzdělávání Střední vzdělávání Typická věková skupina 17 – 19 let Datum vytvoření 11. 1. 2013

4 PŘÍKLAD 1: Vytváření „nových“ funkcí skládáním elementárních funkcí.

4 PŘÍKLAD 2: Zopakování rovnosti (nerovnosti, různosti) funkcí f, g. Skládání funkcí není komutativní.

4 PŘÍKLAD 3: „Rozkládání“ složených funkcí na elementární funkce. chceme vypočítat hodnotu této funkce pro dané x R. Máme danou funkci Výpočet hodnoty funkce můžeme vyjádřit takto: Pokud zvolíme x = 2 dostaneme: Podrobněji: Položíme-li a = g(x) [ tedy a = 3 x – 2 ] dostaneme: Danou (složenou) funkci jsme rozložili na dvě elementární funkce:

4 PŘÍKLAD 4: „Rozkládání“ složených funkcí v tabulce. Doplňte tabulku rozložením dané funkce na funkci vnitřní a vnější: y = f(g(x)) y = (5 x – 7) 2 y = sin(6 x +5) y = cos(– 3 x + 8) y = sin 2 x y = tg 3 x y = cotg 5 x y = 27 x– 3 y = ln(9 x+5) y = ln cosx y = ln 2 x a = g(x) y = f(a)

4 PŘÍKLAD 4: Správné doplnění tabulky. y = f(g(x)) a = g(x) y = f(a) a=3 x– 2 y = (5 x – 7) 2 a=5 x– 7 y = a 2 y = sin(6 x + 5) a=6 x+5 y = sin a y = cos(– 3 x + 8) a = – 3 x + 8 y = cos a y = sin 2 x a = sin x y = a 2 y = tg 3 x a = tg x y = a 3 y = cotg 5 x a = cotg x y = a 5 y = 27 x– 3 a=7 x– 3 y = 2 a y = ln(9 x+5) a=9 x+5 y = ln a y = ln cosx a = cos x y = ln a y = ln 2 x a = 2 x y = ln a

4 PŘÍKLAD 5: Derivace elementárních funkcí – opakování. Doplňte tabulku o derivace vnitřní a vnější funkce (vnější funkci derivujte podle proměnné a): y = f(g(x)) a = g(x) a' = ? y = f(a) a=3 x– 2 y = (5 x – 7) 2 a=5 x– 7 y = a 2 y = (4 x + 11)117 a = 4 x + 11 y = a 117 y = sin(6 x + 5) a=6 x+5 y = sin a y = cos(– 3 x + 8) a = – 3 x + 8 y = cos a y = sin 2 x a = sin x y = a 2 y = cos 3 x a = cos x y = a 3 y = tg 4 x a = tg x y = a 4 y = cotg 5 x a = cotg x y = a 5 y'=?

4 PŘÍKLAD 5: Doplnění derivací elementárních funkcí v tabulce. Doplňte tabulku o derivace vnitřní a vnější funkce (vnější funkci derivujte podle proměnné a): y = f(g(x)) a = g(x) a' = ? y = f(a) y'=? a=3 x– 2 a' = 3 y = (5 x – 7) 2 a=5 x– 7 a' = 5 y = a 2 y'=2 a y = (4 x + 11)117 a = 4 x + 11 a' = 4 y = a 117 y ' = 117 a 116 y = sin(6 x + 5) a=6 x+5 a' = 6 y = sin a y ' = cos a y = cos(– 3 x + 8) a = – 3 x + 8 a' = – 3 y = cos a y ' = – sin a y = sin 2 x a = sin x a' = cos x y = a 2 y'=2 a y = cos 3 x a = cos x a' = – sin x y = a 3 y ' = 3 a 2 y = tg 4 x a = tg x a' = 1/cos 2 x y = a 4 y ' = 4 a 3 y = cotg 5 x a = cotg x a' = – 1/sin 2 x y = a 5 y ' = 5 a 4 y ' = – 5/a 2

4 PŘÍKLAD 6: Doplnění tabulky derivací elementárních funkcí. Doplňte tabulku o derivaci vnější funkce vyjádřenou pomocí proměnné x: y = f(g(x)) a = g(x) a' = ? y = f(a) y'=? a=3 x– 2 a' = 3 y = (5 x – 7) 2 a=5 x– 7 a' = 5 y = a 2 y'=2 a y = (4 x + 11)117 a = 4 x + 11 a' = 4 y = a 117 y ' = 117 a 116 y = sin(6 x + 5) a=6 x+5 a' = 6 y = sin a y ' = cos a y = cos(– 3 x + 8) a = – 3 x + 8 a' = – 3 y = cos a y ' = – sin a y = sin 2 x a = sin x a' = cos x y = a 2 y'=2 a y = cos 3 x a = cos x a' = – sin x y = a 3 y ' = 3 a 2 y = tg 4 x a = tg x a' = 1/cos 2 x y = a 4 y ' = 4 a 3 y = cotg 5 x a = cotg x a' = – 1/sin 2 x y = a 5 y ' = 5 a 4 y ' = – 5/a 2 y' (x) = ?

4 PŘÍKLAD 6: Doplnění tabulky derivací elementárních funkcí. Doplňte tabulku o derivaci vnější funkce vyjádřenou pomocí proměnné x: y = f(g(x)) a = g(x) a' = ? a = 3 x– 2 a' = 3 y = (5 x – 7) 2 a = 5 x– 7 a' = 5 y = (4 x + 11)117 a = 4 x+11 y = sin(6 x + 5) y = f(a) y'=? y' (x) = ? y ' = – 5/a 2 y ' = – 5/(3 x-2)2 y = a 2 y'=2 a y ' = 2 (5 x – 7) a' = 4 y = a 117 y ' = 117 a 116 y ' = 117 (4 x+11)116 a = 6 x+5 a' = 6 y = sin a y ' = cos a y'=cos(6 x+5) y = cos(– 3 x + 8) a = – 3 x+8 a' = – 3 y = cos a y ' = – sin a y'=–sin(– 3 x+8) y = sin 2 x a = sin x a' = cos x y = a 2 y'=2 a y ' = 2 sinx y = cos 3 x a = cos x a' = – sin x y = a 3 y ' = 3 a 2 y ' = 3 cos 2 x y = tg 4 x a = tg x a' = 1/cos 2 x y = a 4 y ' = 4 a 3 y ' = 4 tg 3 x y = cotg 5 x a = cotg x a' = – 1/sin 2 x y = a 5 y ' = 5 a 4 y ' = 5 cotg 4 x

4 PŘÍKLAD 7: Výpočet derivace složené funkce. Máme vypočítat derivaci funkce y = f(g(x)) v bodě x 0. 1. Derivaci můžeme vypočítat pomocí definice (není to však nejefektivnější způsob výpočtu).

Máme vypočítat derivaci funkce y = f(g(x)) v bodě x 0. 2. Derivaci můžeme vypočítat efektivně (rychle a správně) (všimneme si souvislostí v předcházejícím výpočtu s výsledky v tabulce, pokusíme se formulovat „pravidlo“ pro výpočet derivace složené funkce – tedy matematickou větu). y = f(g(x)) a = g(x) a' = ? a = 3 x– 2 a' = 3 y = f(a) y'=? y' (x) = ? y ' = – 5/a 2 y ' = – 5/(3 x-2)2

4 PŘÍKLAD 8: Výpočet derivace složené funkce. Máme vypočítat derivaci funkce y = f(g(x)) v bodě x 0 f(g(x)) = (5 x – 7)2 1. Derivaci můžeme vypočítat pomocí vět o derivování funkcí (v případě, že mocnitel bude např. 3 457 už nelze tento výpočet prakticky používat). 2. Derivaci můžeme vypočítat pomocí definice (není to však nejefektivnější způsob výpočtu). Zjednodušeně 3. Derivaci můžeme vypočítat pomocí výpočtů provedených v přecházející tabulce (nejrychlejší výpočet derivace).

4 PŘÍKLAD 9: Rychlé výpočty derivace složené funkce z tabulky (zpaměti). Vypočítejte derivace složených funkcí z tabulky. a' = ? y' (x) = ? y = f(g(x)) a = g(x) derivace vnitřní funkce y = f(a) y'=? y = (5 x – 7) 2 a = 5 x– 7 a' = 5 y = a 2 y'=2 a y ' = 2 (5 x – 7) y = (4 x + 11)117 a = 4 x+11 a' = 4 y = a 117 y ' = 117 a 116 y ' = 117 (4 x+11)116 y = sin(6 x + 5) a = 6 x+5 a' = 6 y = sin a y ' = cos a y'=cos(6 x+5) y = cos(– 3 x + 8) a = – 3 x+8 a' = – 3 y = cos a y ' = – sin a y'=–sin(– 3 x+8) y = sin 2 x a = sin x a' = cos x y = a 2 y'=2 a y ' = 2 sinx y = cos 3 x a = cos x a' = – sin x y = a 3 y ' = 3 a 2 y ' = 3 cos 2 x y = tg 4 x a = tg x a' = 1/cos 2 x y = a 4 y ' = 4 a 3 y ' = 4 tg 3 x y = cotg 5 x a = cotg x a' = – 1/sin 2 x y = a 5 y ' = 5 a 4 y ' = 5 cotg 4 x derivace vnější funkce

4 VĚTA O DERIVOVÁNÍ SLOŽENÉ FUNKCE Jestliže má funkce a = g(x) derivaci v bodě x 0 a jestliže má funkce y = f(a) derivaci v bodě a 0 = g(x 0), má složená funkce y = f(g(x)) derivaci v bodě x 0 a platí [ f(g(x 0)) ]/ = f/(g(x 0)) • g/(x 0). 4 DŮKAZ VĚTY (užitím definice derivace) Derivace složené funkce je rovna součinu derivace vnější funkce a derivace vnitřní funkce (lze také říci: „součinu derivace vnitřní funkce a derivace vnější funkce“). 4 PŘÍKLAD – derivujte funkci y = (x 5+3 x 2+7)9.

AUTOTEST – vypočítejte derivace složených funkcí. MATEMATIKA – příprava k maturitě a k přijímacím zkouškám na vysoké školy, autor Jindra Petáková, vydalo nakladatelství Prometheus, spol. s r. o. , v roce 1998, strana 156, úloha 22. ISBN 80 -7196 -099 -3. p 1) p 2) p 3) p 4) p 5) p 6) p 7) p 8) p 9) p 10) p 11) p 12)

KONTROLA AUTOTESTU p 1) p 2) p 3) p 4) p 5) p 6) p 7) p 8) p 9) p 10) p 11) p 12) Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Milan Rieger.