kola slo projektu Nzev projektu slo a nzev

Škola: Číslo projektu: Název projektu: Číslo a název šablony klíčové aktivity: Tematická oblast: Gymnázium Václava Hlavatého, Louny, Poděbradova 661, příspěvková organizace CZ. 1. 07/1. 5. 00/34. 0616 Inovace výuky EU-8 - Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol Volitelný předmět matematika (matematický seminář) EU-8 -64 – DIFERENCIÁLNÍ POČET (shrnutí a opakování na příkladech) Anotace Na 105 úlohách rozdělených do 21 cvičení po 5 příkladech si mohou žáci zopakovat a procvičit základy diferenciálního počtu počínaje limitami až po průběh funkce. V závěru prezentace je uvedeno 15 slovních úloh na hledání globálního extrému. V každém cvičení je pětice úloh od nejjednodušších až po úlohy mírně náročné. Úlohy lze použít pro individuální i skupinovou práci žáků, z úloh lze sestavovat testy či písemné práce. Autor Paed. Dr. Milan Rieger Jazyk Čeština Očekávaný výstup Klíčová slova Druh učebního materiálu Druh interaktivity Cílová skupina Žák dovede aplikovat získané poznatky diferenciálního počtu alespoň na nejjednodušších úlohách jednotlivých cvičení. Limita, spojitost, derivace funkce, průběh funkce, slovní úloha. Pracovní list / Obrázky / Testy Aktivita / Výklad / Test / Kombinace Žák Stupeň a typ vzdělávání Střední vzdělávání Typická věková skupina 17 – 19 let Datum vytvoření 4. 1. 2014

4 VÝPOČET LIMIT – CVIČENÍ 1 Vypočítejte 1. 5 2. 1 3. výsledky úloh 4. 2 5. Matematická cvičení pro střední školy – RNDr. Dag Hrubý, vydalo nakladatelství Prometheus, 1. vydání, 2008. ISBN 978 -80 -7196 -374 -5. Strana 203 – cvičení 194.

4 VÝPOČET LIMIT – CVIČENÍ 2 Vypočítejte 1. 48 2. 3. výsledky úloh 4. 5. Matematická cvičení pro střední školy – RNDr. Dag Hrubý, vydalo nakladatelství Prometheus, 1. vydání, 2008. ISBN 978 -80 -7196 -374 -5. Strana 204 – cvičení 195.

4 VÝPOČET LIMIT – CVIČENÍ 3 Vypočítejte 1. 2. 3. výsledky úloh 4. 8 5. 2 Matematická cvičení pro střední školy – RNDr. Dag Hrubý, vydalo nakladatelství Prometheus, 1. vydání, 2008. ISBN 978 -80 -7196 -374 -5. Strana 204 – cvičení 196.

4 VÝPOČET LIMIT – CVIČENÍ 4 Vypočítejte a) b) c) 1. + - neexistuje 2. + + + 3. + - neexistuje 4. - neexistuje 5. + - neexistuje Matematická cvičení pro střední školy – RNDr. Dag Hrubý, vydalo nakladatelství Prometheus, 1. vydání, 2008. ISBN 978 -80 -7196 -374 -5. Strana 205 – cvičení 197. výsledky úloh

4 GRAF FUNKCE A VÝPOČET LIMIT – CVIČENÍ 5 1. Načrtněte graf funkce a vypočítejte 2. Načrtněte graf funkce a vypočítejte 3. Načrtněte graf funkce a vypočítejte výsledky 0, 0 úloh 4. Načrtněte graf funkce a vypočítejte + , 0 5. Vypočítejte 0 2 Matematická cvičení pro střední školy – RNDr. Dag Hrubý, vydalo nakladatelství Prometheus, 1. vydání, 2008. ISBN 978 -80 -7196 -374 -5. Strana 206 – cvičení 198.

4 DEFINICE DERIVACE FUNKCE – CVIČENÍ 6 1. Je dána funkce f: y = - 4 x + 1 2. Je dána funkce f: y = x 2 + 1. 3. Je dána funkce 4. Je dána funkce f: y = x 3 + 1. 5. Je dána funkce f: y = sin x a číslo x 0. Vypočítejte -4 Vypočítejte výsledky úloh Vypočítejte 3 Vypočítejte cos x 0 Matematická cvičení pro střední školy – RNDr. Dag Hrubý, vydalo nakladatelství Prometheus, 1. vydání, 2008. ISBN 978 -80 -7196 -374 -5. Strana 206 – cvičení 199.

4 TEČNA K FUNKCI V BODĚ DOTYKU – CVIČENÍ 7 1. Napište rovnici tečny grafu funkce Proveďte příslušný náčrtek. f: y = x 2 - 1 v bodě dotyku T [ 1; y 0 ]. y=2 x-2 2. Napište rovnici tečny grafu funkce Proveďte příslušný náčrtek. f: y = x 3 + 1 v bodě dotyku T [ 0; y 0 ]. y=1 3. Napište rovnici tečny grafu funkce Proveďte příslušný náčrtek. v bodě dotyku T [ -1; y 0 ]. výsledky úloh 4. Napište rovnici tečny grafu funkce Proveďte příslušný náčrtek. f: y = - x 2 + 4 v bodě dotyku T [ - 2; y 0 ]. y=4 x+8 5. Napište rovnici tečny grafu funkce Proveďte příslušný náčrtek. f: y = ex v bodě dotyku T [ 0; y 0 ]. Matematická cvičení pro střední školy – RNDr. Dag Hrubý, vydalo nakladatelství Prometheus, 1. vydání, 2008. ISBN 978 -80 -7196 -374 -5. Strana 207 – cvičení 200. y=x+1

4 ASYMPTOTY GRAFU FUNKCE – CVIČENÍ 8 1. Určete asymptoty grafu funkce y = 0, x = - 2, x=2 2. Určete asymptoty grafu funkce y = 2, x = 5 3. Určete asymptoty grafu funkce yvýsledky = x, x = 1 4. Určete asymptoty grafu funkce y = 0, x = 3 5. Určete asymptoty grafu funkce y = x + 2, x = 2 Matematická cvičení pro střední školy – RNDr. Dag Hrubý, vydalo nakladatelství Prometheus, 1. vydání, 2008. ISBN 978 -80 -7196 -374 -5. Strana 208 – cvičení 201. úloh

4 POUŽITÍ DEFINICE DERIVACE FUNKCE – CVIČENÍ 9 1. Pomocí definice derivace vypočítejte derivaci dané funkce f v libovolném bodě x 0 D(f): a) f: y = 1 b) f: y = a x + b 2. Pomocí definice derivace vypočítejte derivaci dané funkce f v libovolném bodě x 0 D(f): f: y = a x 2 + b x + c 3. Pomocí definice derivace vypočítejte derivaci dané funkce f v libovolném bodě x 0 D(f): 4. Pomocí definice derivace vypočítejte derivaci dané funkce f v libovolném bodě x 0 D(f): 5. Pomocí definice derivace vypočítejte derivaci dané funkce f v libovolném bodě x 0 D(f): a) f / (x 0) = 0 b) f / (x 0) = a f / (x 0) = 2 a x 0 + b výsledky úloh f: y = cos x Matematická cvičení pro střední školy – RNDr. Dag Hrubý, vydalo nakladatelství Prometheus, 1. vydání, 2008. ISBN 978 -80 -7196 -374 -5. Strana 209 – cvičení 202. f / (x 0) = - sin x 0

4 POUŽITÍ VĚT O DERIVOVÁNÍ FUNKCÍ – CVIČENÍ 10 1. 2. Vypočítejte f / (x) a f / (1) pro funkci: a) f / (x) = x 2 – 4 x + 5; f / (1) = 2 a) b) f / (x) = 15 x 2 – 15 x 4; f / (1) = 0 b) f: y = 5 x 3 – 3 x 5 Vypočítejte f / (x) a f / (2) pro funkci: a) f / (x) = a; f / (2) = a a) f: y = a x + b b) ) f / (x) = 2 a x + b; f / (2) = 4 a + b b) f: y = a x 2 + b x + c Vypočítejte f / (x) a f / (0) pro funkci: a) a) b) 3. b) Vypočítejte f / (x) a f / (1) pro funkci: a) a) b) výsledky úloh 4. 5. b) Vypočítejte f / (x) a f / (1) pro funkci: a) a) b) b) Matematická cvičení pro střední školy – RNDr. Dag Hrubý, vydalo nakladatelství Prometheus, 1. vydání, 2008. ISBN 978 -80 -7196 -374 -5. Strana 209 – cvičení 203.

4 POUŽITÍ VĚT O DERIVOVÁNÍ FUNKCÍ – CVIČENÍ 11 Vypočítejte f / (x) a f / ( /4) pro funkci: a) a) f: y = 4 sinx + 3 cosx b) 1. 2. b) f: y = tgx - cotgx Vypočítejte f / (x) a f / ( ) pro funkci: a) f / (x) = sinx + x cosx; f / ( ) = - a) f: y = x sinx b) b) výsledky úloh Vypočítejte f / (x) a f / (1) pro funkci: a) f / (x) = x (2 lnx + 1); f / (1) = 1 a) f: y = x 2 lnx b) 3. 4. 5. b) Vypočítejte f / (x) a f / (0) pro funkci: a) f / (x) = ex (1 + x); f / (0) = 1 a) f: y = x ex b) b) Vypočítejte f / (x) pro funkci Matematická cvičení pro střední školy – RNDr. Dag Hrubý, vydalo nakladatelství Prometheus, 1. vydání, 2008. ISBN 978 -80 -7196 -374 -5. Strana 210 – cvičení 204.

4 DERIVACE SLOŽENÉ FUNKCE – CVIČENÍ 12 1. 2. 3. 4. 5. Vypočítejte f / (x) pro funkci: a) f / (x) = 8 x ( x 2 + 1)3 a) f: y = ( x 2 + 1)4 b) f / (x) = 2 (ax 2 + bx + c) (2 ax + b) b) f: y = (ax 2 + bx + c)2 Vypočítejte f / (x) pro funkci: a) a) b) b) Vypočítejte f / (x) pro funkci: a) f: y = sin 2 x b) f: y = sin a) f / (x) = 2 sinx cosx = sin 2 x x 2 b) f Vypočítejte f / (x) pro funkci: a) a) b) b) f: y = tg (x 2 + 1) Vypočítejte f / (x) pro funkci: a) a) b) b) / výsledky (x) = 2 x cosúloh x 2 Matematická cvičení pro střední školy – RNDr. Dag Hrubý, vydalo nakladatelství Prometheus, 1. vydání, 2008. ISBN 978 -80 -7196 -374 -5. Strana 211 – cvičení 205.

4 DERIVACE SLOŽENÉ FUNKCE – CVIČENÍ 13 1. 2. 3. 4. 5. Vypočítejte f / (x) pro funkci: a) f / (x) = cotgx a) f: y = ln(sinx) b) f / (x) = - tgx b) f: y = ln(cosx) Vypočítejte f / (x) pro funkci: a) a) b) b) výsledky úloh Vypočítejte f / (x) pro funkci: a) f / (x) = ex ( sinx + cosx ) a) f: y = ex sinx b) f / (x) = ex ( cosx - sinx ) b) f: y = ex cosx Vypočítejte f / (x) pro funkci: a) f / (x) = 4 x sinx 2 cosx 2 a) f: y = sin 2 x 2 b) b) f: y = ln ln lnx Matematická cvičení pro střední školy – RNDr. Dag Hrubý, vydalo nakladatelství Prometheus, 1. vydání, 2008. ISBN 978 -80 -7196 -374 -5. Strana 212 – cvičení 206.

4 TEČNA A NORMÁLA V BODĚ FUNKCE – CVIČENÍ 14 Napište rovnici tečny a normály grafu funkce f v bodě T[ x 0; y 0 ]: 1. f: y = x 2 + x + 1, x 0 = 1 2. 3. f: y = sin x, x 0 = 0 t: y = x, n: y =výsledky –x 4. f: y = ex, x 0 = 0 t: y = x + 1, n: y = – x + 1 úloh 5. Matematická cvičení pro střední školy – RNDr. Dag Hrubý, vydalo nakladatelství Prometheus, 1. vydání, 2008. ISBN 978 -80 -7196 -374 -5. Strana 213 – cvičení 207.

4 MONOTÓNNOST FUNKCE – CVIČENÍ 15 Určete intervaly monotónnosti funkce: klesající rostoucí 1. f: y = x 2 – x + 1 2. f: y = 2 x 2 – x 4 3. výsledky úloh 4. 5. Matematická cvičení pro střední školy – RNDr. Dag Hrubý, vydalo nakladatelství Prometheus, 1. vydání, 2008. ISBN 978 -80 -7196 -374 -5. Strana 213 – cvičení 208.

4 EXTRÉMY FUNKCE – CVIČENÍ 16 1. Určete lokální extrémy funkce v bodě 0 lokální maximum, f(0) = 0 v bodě 4 lokální minimum, f(4) = - 32 2. Určete lokální extrémy funkce v bodě 3 lokální maximum, f(3) = 3 3. Určete lokální extrémy funkce v bodech -1 a 1 lokální maxima, f(-1) = f(1) = 0, 5 v bodě 0 lokální minimum, f(0) = 0 výsledky úloh 4. Určete globální extrémy funkce v daném intervalu: globální minima v bodech -2 a 2, f(-2) = f(2) = - 24 globální maxima v bodech -1 a 1, f(-1) = f(1) = 3 5. Určete globální extrémy funkce v daném intervalu: globální minimum v bodě 0, f(0) = 0 globální maximum v bodě 4, f(4) = 8 Matematická cvičení pro střední školy – RNDr. Dag Hrubý, vydalo nakladatelství Prometheus, 1. vydání, 2008. ISBN 978 -80 -7196 -374 -5. Strana 214 – cvičení 209.

4 KONVEXNOST, KONKÁVNOST A INFLEXNÍ BODY FUNKCE – CVIČENÍ 17 konvexnost v intervalu (intervalech) 1. 2. konkávnost v intervalu (intervalech) inflexní body Vyšetřete konvexnost, konkávnost a inflexní body funkce f: y = 3 x 4 – 4 x 3. Vyšetřete konvexnost, konkávnost a inflexní body funkce 3. Najděte taková čísla a a b, aby bod x = 1 byl pro funkci f: y = x 3 + a x 2 – 3 x + b inflexním výsledky úloh a = – 3, b = 6 bodem. 4. Je-li počátek inflexním bodem grafu funkce f: y = a x 3 + b x 2 + c x + d, potom je její graf středově souměrný podle počátku. Dokažte. 5. Počátek [ 0; 0 ] leží na grafu funkce, musí tedy platit d = 0. Současně je počátek inflexním bodem, tedy 2. derivace funkce f v bodě 0 se musí rovnat nule. Potom dokážeme lichost funkce. Vyšetřete konvexnost, konkávnost a inflexní body funkce f: y = x 2 e –x. Matematická cvičení pro střední školy – RNDr. Dag Hrubý, vydalo nakladatelství Prometheus, 1. vydání, 2008. ISBN 978 -80 -7196 -374 -5. Strana 215 – cvičení 210.

4 VYŠETŘETE PRŮBĚH FUNKCE – CVIČENÍ 18 Vyšetřete průběh funkce f. 1. graf funkce 2. graf funkce 3. graf funkce 4. graf funkce 5. graf funkce Matematická cvičení pro střední školy – RNDr. Dag Hrubý, vydalo nakladatelství Prometheus, 1. vydání, 2008. ISBN 978 -80 -7196 -374 -5. Strana 216 – cvičení 211.

4 SLOVNÍ ÚLOHY NA EXTRÉMY – CVIČENÍ 19 1. Rozložte číslo a na dva sčítance tak, aby jejich součin byl největší. 2. Součet dvou čísel je 12. Najděte tato čísla, jestliže součet jejich třetích mocnin je nejmenší možný. 3. Určete vzdálenost bodu Q [ 1; 2 ] od paraboly 4. Drát dlouhý se rozdělí na dva kusy. Z jednoho kusu se zhotoví čtverec a z druhého rovnostranný trojúhelník. Jaké by měly být délky kusů, aby součet obsahů obou obrazců byl minimální? 5. Na souřadnicové ose x najděte bod, jehož součet vzdáleností od bodů A [ 0; 4 ] a B [ 4; 2 ] je minimální. 6, 6 výsledky úloh Délka strany čtverce: Délka strany trojúhelníku: 3 cm. Matematická cvičení pro střední školy – RNDr. Dag Hrubý, vydalo nakladatelství Prometheus, 1. vydání, 2008. ISBN 978 -80 -7196 -374 -5. Strana 216 – cvičení 212.

4 SLOVNÍ ÚLOHY NA EXTRÉMY – CVIČENÍ 20 1. Pravoúhelník má obvod 100 cm. Určete délky jeho stran a, b tak, aby jeho obsah byl maximální. 2. Do trojúhelníku se základnou z a výškou v je vepsán pravoúhelník maximálního obsahu. Určete jeho obsah S. 3. Z lepenky tvaru čtverce o straně délky a se v rozích vyříznou stejně velké čtverce a ze zbylé části se slepí krabička. Jak velká musí být strana vyříznutého čtverce, aby byl objem krabičky největší? 4. Určete maximální obsah S lichoběžníku, jehož tři strany mají danou délku b. 5. Dvě chodby široké 2, 4 m a 1, 6 m se protínají pod pravým úhlem. Jaký nejdelší žebřík lze ve vodorovné poloze ještě přenést z jedné chodby do druhé? Matematická cvičení pro střední školy – RNDr. Dag Hrubý, vydalo nakladatelství Prometheus, 1. vydání, 2008. ISBN 978 -80 -7196 -374 -5. Strana 217 – cvičení 213. a = 25 cm b = 25 cm výsledky úloh asi 5, 6 cm

4 SLOVNÍ ÚLOHY NA EXTRÉMY – CVIČENÍ 21 1. Najděte výšku v a poloměr r válce, který má při daném povrchu S maximální objem. 2. Kouli o poloměru r je vepsán kužel maximálního objemu. Určete poloměr podstavy a výšku v kužele. 3. Krabice má tvar kvádru a její délka je dvojnásobkem její šířky. a) Jaký má nejmenší možný povrch (včetně dna a víka), je-li její objem 72 cm 3? b) Jaký má největší možný objem, je-li její povrch 108 cm 2? 4. Do rotačního kužele o podstavě poloměru r a výšce v vepište rotační válec maximálního objemu. Určete poloměr podstavy a výšku h hledaného válce. 5. Navrhněte rozměry otevřeného bazénu se čtvercovým dnem a objemem 32 m 3 tak, aby na vyzdění jeho stěn včetně dna bylo potřeba nejmenší množství materiálu. a)výsledky 108 cm 2 b) úloh 72 cm 3 4 mx 2 m Matematická cvičení pro střední školy – RNDr. Dag Hrubý, vydalo nakladatelství Prometheus, 1. vydání, 2008. ISBN 978 -80 -7196 -374 -5. Strana 218 – cvičení 214. Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Milan Rieger.

4 CVIČENÍ 18 - úloha 1 Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Milan Rieger. zpět na cvičení 18

4 CVIČENÍ 18 - úloha 2 Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Milan Rieger. zpět na cvičení 18

4 CVIČENÍ 18 - úloha 3 Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Milan Rieger. zpět na cvičení 18

4 CVIČENÍ 18 - úloha 4 Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Milan Rieger. zpět na cvičení 18

4 CVIČENÍ 18 - úloha 5 Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Milan Rieger. zpět na cvičení 18