kola slo projektu Nzev projektu slo a nzev

  • Slides: 9
Download presentation
Škola: Číslo projektu: Název projektu: Číslo a název šablony klíčové aktivity: Tematická oblast: Gymnázium

Škola: Číslo projektu: Název projektu: Číslo a název šablony klíčové aktivity: Tematická oblast: Gymnázium Václava Hlavatého, Louny, Poděbradova 661, příspěvková organizace CZ. 1. 07/1. 5. 00/34. 0616 Inovace výuky EU-8 - Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol Volitelný předmět matematika (matematický seminář) EU-8 -59 – DERIVACE FUNKCE XV (konvexnost a konkávnost funkce, inflexní body) Anotace Animace a obrázky názorně ukazují problematiku inflexních bodů funkce a souvislost s konvexitou a konkavitou funkce v okolí bodu „podezřelého z inflexe“. Zjišťování inflexních bodů funkce pomocí změny znaménka druhé derivace funkce v okolí bodu „podezřelého z inflexe“. Autor Paed. Dr. Milan Rieger Jazyk Čeština Očekávaný výstup Klíčová slova Druh učebního materiálu Druh interaktivity Cílová skupina Žák chápe význam inflexních bodů funkce a tečny v inflexním bodě funkce jako důležitou a zpřesňující informaci a chování funkce v okolí inflexního bodu. Uvedené výpočty budou součástí vyšetřování průběhu funkce. Druhá derivace funkce, konvexnost (konkávnost) funkce v okolí bodu, inflexní bod. Pracovní list / Animace / Obrázky / Testy Aktivita / Výklad / Test / Kombinace Žák Stupeň a typ vzdělávání Střední vzdělávání Typická věková skupina 17 – 19 let Datum vytvoření 21. 12. 2013

4 INFLEXNÍ BOD – animace 1 znaménko 2. derivace + – FUNKCE V BODĚ

4 INFLEXNÍ BOD – animace 1 znaménko 2. derivace + – FUNKCE V BODĚ T MĚNÍ PODSTATNĚ SVŮJ PRŮBĚH vlevo od bodu x 0 4 graf funkce leží „nad tečnou“ 4 funkce je ryze konvexní 4 f //(x) > 0 vpravo od bodu x 0 4 graf funkce leží „pod tečnou“ 4 funkce je ryze konkávní 4 f //(x) < 0

4 INFLEXNÍ BOD – animace 2 znaménko 2. derivace – + FUNKCE V BODĚ

4 INFLEXNÍ BOD – animace 2 znaménko 2. derivace – + FUNKCE V BODĚ T MĚNÍ PODSTATNĚ SVŮJ PRŮBĚH vlevo od bodu x 0 4 graf funkce leží „pod tečnou“ 4 funkce je ryze konkávní 4 f //(x) < 0 vpravo od bodu x 0 4 graf funkce leží „nad tečnou“ 4 funkce je ryze konvexní 4 f //(x) > 0

Ve kterých bodech může mít funkce inflexní bod? INFLEXNÍ BOD Funkce může mít inflexní

Ve kterých bodech může mít funkce inflexní bod? INFLEXNÍ BOD Funkce může mít inflexní bod v bodě x 0 v případě, že je druhá derivace funkce v bodě x 0 rovna nule. Body, ve kterých je druhá derivace funkce rovna nule jsou body „podezřelé z inflexe“.

4ÚLOHY K PROCVIČENÍ Určete body podezřelé z inflexe. p 1) f: y = x

4ÚLOHY K PROCVIČENÍ Určete body podezřelé z inflexe. p 1) f: y = x 3 p 2) f: y = x 4 p 3) f: y = x 3 – 3 x 2 – 9 p 4) f: y = – x 3 + 12 x 2 + 9 p 5) f: y = x 4 – 6 x 2 + 3 x – 4 p 6) f: y = x 4 – 12 x 2 – 5 x + 1 p 7) f: y = – x 4 + 4 x 3 + 5 x – 11 p 8) f: y = x 5 – 10 x 4 + 11 x + 12 p 9) f: y = 2 x 5 – 5 x 4 – 7 x – 8 p 10) f: y = x 6 – 10 x 4 + 7 x – 2 p 12) f: y = x 8 – 4 x 6 p 11) f: y = x 8 – 2 x 4

VĚTA (nutná, nikoliv však postačující podmínka existence inflexního bodu): Má-li funkce f v bodě

VĚTA (nutná, nikoliv však postačující podmínka existence inflexního bodu): Má-li funkce f v bodě x 0 inflexní bod a existuje-li v tomto bodě druhá derivace f // (x 0), potom platí f // (x 0) = 0. 4 PROBLÉM K ŘEŠENÍ – formulujte větu obrácenou a rozhodněte, zda tato věta platí. Obrácená VĚTA: Je-li f // (x 0) = 0, potom má funkce f v bodě x 0 inflexní bod. Vzpomeňte si na mocninnou funkci se sudým přirozeným mocnitelem (např. f(x) = x 6) a hned se můžete k platnosti či neplatnosti této věty kvalifikovaně vyjádřit. f(x) = x 6 f/(x) = 6 x 5 f//(x) = 30 x 4 funkce f má druhou derivaci rovnou nule v bodě x 0 = 0 (to je bod „podezřelý z inflexe“), funkce f však v bodě x 0 = 0 inflexní bod nemá, protože je funkce f vlevo i vpravo od tohoto bodu ryze konvexní (nemění se znaménko druhé derivace vlevo ani vpravo od bodu x 0).

VĚTA: Má-li funkce f druhou derivaci v každém bodě d–okolí bodu x 0 a

VĚTA: Má-li funkce f druhou derivaci v každém bodě d–okolí bodu x 0 a má-li druhá derivace funkce f// (x) v intervalech (x 0 – d; x 0) a (x 0; x 0 + d) různá znaménka, potom je bod x 0 inflexním bodem funkce. 4 ILUSTRATIVNÍ ÚLOHA 1 Určete inflexní bod dané funkce f. Potom najděte rovnici tečny k funkci f v bodě inflexe a načrtněte tečnu, bod inflexe a graf funkce v okolí inflexního bodu. funkce f má v bodě x 0 = - 0, 5 inflexní bod, protože vlevo od bodu x 0 je znaménko druhé derivace záporné a vpravo od bodu x 0 je druhá derivace kladná

4 ILUSTRATIVNÍ ÚLOHA 2 Určete inflexní body dané funkce f. Potom najděte rovnici tečen

4 ILUSTRATIVNÍ ÚLOHA 2 Určete inflexní body dané funkce f. Potom najděte rovnici tečen k funkci f v bodech inflexe a načrtněte tečny, body inflexe a graf funkce v okolí inflexních bodů.

Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Milan Rieger.

Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Milan Rieger.