kola slo projektu Nzev projektu slo a nzev

Škola: Číslo projektu: Název projektu: Číslo a název šablony klíčové aktivity: Tematická oblast: Gymnázium Václava Hlavatého, Louny, Poděbradova 661, příspěvková organizace CZ. 1. 07/1. 5. 00/34. 0616 Inovace výuky EU-8 - Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol Volitelný předmět matematika (matematický seminář) EU-8 -48 – DERIVACE FUNKCE IV (věty o derivaci funkcí) Anotace Věty o derivaci funkcí (derivace součinu konstanty a funkce, derivace součtu a rozdílu funkcí). Autor Paed. Dr. Milan Rieger Jazyk Čeština Očekávaný výstup Klíčová slova Druh učebního materiálu Druh interaktivity Cílová skupina Žák chápe věty o derivování funkcí jako nástroj pro efektivní výpočet derivací funkcí a také jako nástroj odvození derivací dalších elementárních funkcí. Žák umí formulované a dokázané věty aplikovat. Derivace, matematická věta, důkaz věty, věta o derivování součinu konstanty a funkce, věta o derivaci součtu funkcí, věta o derivaci rozdílu funkcí, zobecnění. Pracovní list / Animace / Obrázky / Testy Aktivita / Výklad / Test / Kombinace Žák Stupeň a typ vzdělávání Střední vzdělávání Typická věková skupina 17 – 19 let Datum vytvoření 27. 12. 2012

Vojtěch Jarník - Diferenciální počet (I) (z předmluvy k 1. vydání, které vyšlo v roce 1946) Čtenář, který se z diferenciálního počtu - nebo z nějaké jiné matematické nauky naučil napřed početním předpisům pro řešení příkladů a potom teprve se věnoval systematickému studiu, má snad někdy tento dojem: matematika se skládá z řady praktických předpisů pro řešení úloh; a k těmto předpisům si učenci pro okrasu přidali teorii. Byl bych šťasten, kdyby si čtenář ze studia této knihy odnesl dojem právě opačný: obecná teorie je základem - v podstatě velmi jednoduchým – z něhož přirozeně a nenásilně plynou metody k řešení speciálnějších problémů.

4 MOTIVACE VĚTY 1 Na obrázku vidíme funkce y = - 3 [konstanta k] a y = sin x [funkce f(x)]. Jejich vynásobením dostaneme novou funkci o rovnici y = - 3 sin x [to je funkce k. f(x)]. Chceme vypočítat derivaci "nové" funkce v libovolném bodě x 0 definičního oboru této funkce [to je množina všech reálných čísel]. Derivaci dané funkce můžeme vypočítat pomocí definice, lze také počítat efektivněji pomocí následující věty. y = k. f(x) y' = [ k. f(x) ]' = k. f'(x) Derivace součinu konstanty k a funkce f(x) je rovna součinu konstanty k a derivace funkce f(x).

VĚTA 1: Předpokládejme, že k je libovolná reálná konstanta a f(x) je funkce, která má derivaci (vlastní) v bodě x 0. Potom má v bodě x 0 derivaci funkce k. f(x) a platí: [k · f(x)]'(x 0) = k · f '(x 0). Přímý důkaz: 4 UŽITÍM VĚTY 1 VYPOČÍTEJTE ZPAMĚTI DERIVACE NÁSLEDUJÍCÍCH FUNKCÍ:

4 MOTIVACE VĚTY 2 Na obrázku vidíme funkce y = x 2 [funkce f(x)] a y = 2 x [funkce g(x)]. Jejich sečtením dostaneme novou funkci o rovnici y = x 2 + 2 x [to je funkce f(x) + g(x)]. Chceme vypočítat derivaci "nové" funkce v libovolném bodě x 0 definičního oboru této funkce. Derivaci dané funkce můžeme vypočítat dvěma způsoby. 1. Výpočet derivace pomocí definice derivace: 2. Výpočet derivace užitím Věty 2: VĚTA 2: Předpokládejme, že funkce f(x) a g(x) mají derivaci (vlastní) v bodě x 0. Potom má v bodě x 0 derivaci funkce f(x) + g(x) a platí: [f(x) + g(x)]'(x 0) = f'(x 0) + g'(x 0). Derivace součtu dvou funkcí je rovna součtu derivací jednotlivých funkcí.

Přímý důkaz věty 2, věta má dva předpoklady 1. Funkce f(x) má v bodě x 0 vlastní derivaci. To znamená, že existuje limita: 2. Funkce g(x) má v bodě x 0 vlastní derivaci. To znamená, že existuje limita: Pomocí definice derivace a využitím uvedených předpokladů věty dostáváme: 4 UŽITÍM VĚTY 2 VYPOČÍTEJTE DERIVACE NÁSLEDUJÍCÍCH FUNKCÍ: 1. 2. 3. 4. y = x 2 + x 3 y = x 2 + sin x y = x 8 + cos x y = sin x + cos x 5. 6. 7. 8. y = x 3 + x 4 + x 5 y = x 2 + 2. sin x y = 3. x 8 + 4. cos x y = 7. sin x + 8. cos x

4 PROBLÉM K ŘEŠENÍ Formulujte a dokažte větu pro derivování rozdílu funkcí [f(x) - g(x)]'(x 0)= ? VĚTA 3: Předpokládejme, že funkce f(x) a g(x) mají derivaci (vlastní) v bodě x 0. Potom má v bodě x 0 derivaci funkce f(x) - g(x) a platí: [f(x) - g(x)]'(x 0) = f'(x 0) - g'(x 0). Derivace rozdílu dvou funkcí je rovna rozdílu derivací jednotlivých funkcí (při zachování pořadí menšenec menšitel). Přímý důkaz věty 3 4 UŽITÍM VĚTY 3 VYPOČÍTEJTE DERIVACE NÁSLEDUJÍCÍCH FUNKCÍ: 1. 2. 3. 4. y = x 2 - x 3 y = x 2 - sin x y = x 8 - cos x y = sin x - cos x 5. 6. 7. 8. y = x 3 - x 4 - x 5 y = x 2 - 2. sin x y = 3. x 8 - 4. cos x y = 7. sin x - 8. cos x

4 PROBLÉM K ŘEŠENÍ Formulujte a dokažte větu pro derivování funkce [f(x) + g(x) + h(x)]'(x 0)= ? VĚTA 4: Předpokládejme, že funkce f(x), g(x) a h(x) mají derivaci (vlastní) v bodě x 0. Potom má v bodě x 0 derivaci funkce f(x) + g(x) + h(x) a platí: [f(x) + g(x) + h(x)]'(x 0) = f'(x 0) + g'(x 0) + h'(x 0). Přímý důkaz věty Dokážete větu zobecnit? Uvažujte funkce f 1(x), f 2(x), f 3(x), …, fn(x), kde n N. VĚTA 5: Předpokládejme, že funkce f 1(x), f 2(x), …, fn(x) mají derivaci (vlastní) vbodě x 0. Potom má v bodě x 0 derivaci funkce f 1(x) + f 2(x) + … + fn(x) a platí: [f 1(x) + f 2(x) + … + fn(x)]'(x 0) = f 1'(x 0) + f 2'(x 0) + … + fn'(x 0). 4 UŽITÍM VĚTY VYPOČÍTEJTE DERIVACE NÁSLEDUJÍCÍCH FUNKCÍ: 1. 2. 3. 4. y = x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 y = x 2 + sin x + cos x y = x 8 – cos x – sin x + x 12 y = 1 + x 2 + sin x + cos x

4 PROBLÉM K ŘEŠENÍ Formulujte a dokažte větu pro derivování funkce [k. f(x) + m. g(x)]'(x 0), kde k, m R. VĚTA 6: Předpokládejme, že k, m jsou reálná čísla, dále předpokládejme, že funkce f(x) a g(x) mají derivaci (vlastní) v bodě x 0. Potom má v bodě x 0 derivaci funkce k. f(x) + m. g(x) a platí: [k. f(x) + m. g(x)]'(x 0) = k. f'(x 0) + m. g'(x 0). Přímý důkaz věty 4 UŽITÍM VĚTY VYPOČÍTEJTE DERIVACE NÁSLEDUJÍCÍCH FUNKCÍ: 1. 2. 3. 4. y = 5. x 2 + 6. x 3 y = 7. x 2 + 9. sin x y = 4. x 8 – 10. cos x y = 11. x + 12. sin x + 17. cos x

4 Vypčítejte derivace následujících funkcí v libovolném bodě definičního oboru. (Vždy určete definiční obor dané funkce a její derivace. ) Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Milan Rieger.