kola slo projektu Nzev projektu slo a nzev

Škola: Číslo projektu: Název projektu: Číslo a název šablony klíčové aktivity: Tematická oblast: Gymnázium Václava Hlavatého, Louny, Poděbradova 661, příspěvková organizace CZ. 1. 07/1. 5. 00/34. 0616 Inovace výuky EU-8 - Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol Volitelný předmět matematika (matematický seminář) EU-8 -51 – DERIVACE FUNKCE VII (derivace inverzní funkce, derivace cyklometrických funkcí) Anotace Zopakování pojmu inverzní funkce k elementárním funkcím, odvození vztahu mezi derivací funkce f v bodě x 0 a derivací k ní inverzní funkce f-1 v bodě y 0 = f(x 0). Použití vztahu k odvození derivací cyklometrických funkcí. Autor Paed. Dr. Milan Rieger Jazyk Čeština Očekávaný výstup Klíčová slova Druh učebního materiálu Druh interaktivity Cílová skupina Žák chápe pojem inverzní funkce a myšlenku obecného odvození derivace inverzní funkce pomocí znalosti derivace dané funkce. Žák chápe odvození derivace cyklometrických funkcí, odvozené vzorce dovede používat při řešení úloh. Intuitivně chápe pojem nevlastní derivace na základě animací. Inverzní funkce a její derivace, derivace cyklometrických funkcí. Pracovní list / Animace / Obrázky / Testy Aktivita / Výklad / Test / Kombinace Žák Stupeň a typ vzdělávání Střední vzdělávání Typická věková skupina 17 – 19 let Datum vytvoření 3. 1. 2013

4 PŘIPOMENUTÍ POJMU INVERZNÍ FUNKCE Osová souměrnost podle osy prvního a třetího kvadrantu (y = x) nabízí rozšíření elementárních funkcí o funkce tzv. inverzní. Pokud je funkce f prostá (rostoucí, klesající) v D(f), existuje k ní inverzní funkce f -1. Platí: D(f -1) = H(f), H(f -1) = D(f); [x; y] f [y; x] f -1; y = f(x) x = f -1(y). 4 PŘÍKLAD 1: Napište rovnici inverzní funkce k funkci f: y = 2 x + 1.

4 PŘÍKLAD 2: Inverzní funkce k lineární lomené funkci.

4 PŘÍKLAD 3: Funkce y = arcsin x je inverzní funkce k funkci y = sin x.

4 PŘÍKLAD 4: Funkce y = arccos x je inverzní funkce k funkci y = cos x.

4 PŘÍKLAD 5: Funkce y = arctg x je inverzní funkce k funkci y = tg x.

4 PŘÍKLAD 6: Funkce y = arccotg x je inverzní funkce k funkci y = cotg x.

4 PŘÍKLAD 7: Derivace inverzní funkce. Derivace elementárních funkcí rozšíříme o derivace cyklometrických funkcí (y = arcsin x, y = arccos x, y = arctg x, y = arccotg x), exponenciálních a logaritmických funkcí. Pro usnadnění odvození derivací těchto funkcí se pokusíme „objevit“ vztah mezi derivací funkce y = f(x) a funkce k ní inverzní. Podívejte se na následující obrázek. Víme, že f ' (x 0) = tg a, (f -1) ' (y 0) = tg (90°- a). Jaký je vztah mezi těmito derivacemi?

4 PŘÍKLAD 8: Derivace funkce y = arcsin x. OTÁZKY: 1. Podívejte se na uvedenou animaci. Umíte určit derivaci funkce y = arcsin x v bodě 1 zleva? 2. Podívejte se na uvedenou animaci. Umíte určit derivaci funkce y = arcsin x v bodě - 1 zprava?

4 PŘÍKLAD 9: Derivace funkce y = arccos x. OTÁZKY: 1. Podívejte se na uvedenou animaci. Umíte určit derivaci funkce y = arccos x v bodě 1 zleva? 2. Podívejte se na uvedenou animaci. Umíte určit derivaci funkce y = arccos x v bodě - 1 zprava?

4 PŘÍKLAD 10: Derivace funkce y = arctg x.

4 PŘÍKLAD 11: Derivace funkce y = arccotg x.

4 SHRNUTÍ

4 SHRNUTÍ

4 PŘÍKLAD 12 Napište rovnici tečny a normály k funkci f: y = arcsin x v bodě T [ 0, 5; ? ].

4 AUTOTEST 1. Napište rovnici tečny a normály k funkci f: y = arccos x v bodě T [ – 0, 5; ? ]. 2. Napište rovnici tečny a normály k funkci f: y = arctg x v bodě T [ 1 ; ? ]. 3. Napište rovnici tečny a normály k funkci f: y = arccotg x v bodě T [ – 1 ; ? ]. 4. Derivujte funkce: a) f: y = arcsin x + arccos x b) f: y = arctg x + arccotg x Řešení úlohy 1:

Řešení úlohy 2:

Řešení úlohy 3:

Řešení úlohy 4 a: Řešení úlohy 4 b: Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Milan Rieger.