kola slo projektu Nzev projektu slo a nzev

Škola: Číslo projektu: Název projektu: Číslo a název šablony klíčové aktivity: Tematická oblast: Gymnázium Václava Hlavatého, Louny, Poděbradova 661, příspěvková organizace CZ. 1. 07/1. 5. 00/34. 0616 Inovace výuky EU-8 - Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol Volitelný předmět matematika (matematický seminář) EU-8 -49 – DERIVACE FUNKCE V (věty o derivaci funkcí) Anotace Věty o derivaci funkcí (derivace součinu a podílu funkcí). Autor Paed. Dr. Milan Rieger Jazyk Čeština Očekávaný výstup Klíčová slova Druh učebního materiálu Druh interaktivity Cílová skupina Žák chápe věty o derivování funkcí jako nástroj pro efektivní výpočet derivací funkcí a také jako nástroj odvození derivací dalších elementárních funkcí. Žák umí formulované a dokázané věty aplikovat. Derivace, matematická věta, důkaz věty, věta o derivování součinu a podílu funkcí. Pracovní list / Animace / Obrázky / Testy Aktivita / Výklad / Test / Kombinace Žák Stupeň a typ vzdělávání Střední vzdělávání Typická věková skupina 17 – 19 let Datum vytvoření 28. 12. 2012

4 MOTIVACE VĚTY o derivaci součinu dvou funkcí Na obrázku vidíme graf funkce y = x. sin x [ y = f(x). g(x) ]. Ukažme si nejdříve výpočet derivace použitím definice derivace, pokusme se „objevit“ vzorec pro výpočet derivace součinu dvou funkcí.

4 Výpočet derivace funkce y = x. sin x pomocí definice derivace: y = x. sinx y' = [ x. sinx ]' = (x)'. sinx + x. (sinx)' = sinx + x. cosx y = f(x). g(x) y' = [ f(x). g(x) ]' = f'(x). g(x) + f(x). g'(x) VĚTA 1: Předpokládejme, že funkce f(x) a g(x) mají derivaci (vlastní) v bodě x 0. Potom má v bodě x 0 derivaci funkce f(x). g(x) a platí: [f(x) • g(x)]'(x 0) = f'(x 0) • g(x 0) + f(x 0) • g'(x 0).

Přímý důkaz věty: 1. předpoklad - Funkce f(x) má v bodě x 0 vlastní derivaci. To znamená, že existuje limita: 2. předpoklad - funkce g(x) má v bodě x 0 vlastní derivaci. To znamená, že existuje limita: 3. předpoklad - funkce g(x) má v bodě x 0 vlastní derivaci, to znamená, že platí:

Je tedy patrné, že nemůžeme mechanicky přenášet zkušenost z derivování součtu a rozdílu funkcí na derivování součinu dvou funkcí. 4 ILUSTRATIVNÍ PŘÍKLAD – derivujte funkci

4 MOTIVACE VĚTY o derivaci podílu dvou funkcí Na obrázku vidíme funkce y = x [funkce f(x)] a y = x 2 + 1 [funkce g(x)]. Jejich vydělením [f(x) : g(x)] dostaneme novou funkci o rovnici Chceme vypočítat derivaci "nové" funkce v libovolném bodě x 0 definičního oboru funkce [to je množina všech reálných čísel]. Pomocí definice derivace dostaneme:

Z výpočtu derivace je zřejmé, že nebude platit pravidlo „derivace podílu je rovna podílu derivací“. Jak tedy vypočítáme derivaci podílu dvou funkcí? VĚTA 2: Předpokládejme, že funkce f(x) a g(x) mají derivaci (vlastní) v bodě x 0 a g(x 0) 0. Potom má v bodě x 0 derivaci funkce f(x)/g(x) a platí: Přímý důkaz věty:

1. předpoklad - Funkce f(x) má v bodě x 0 vlastní derivaci. To znamená, že existuje limita: 2. předpoklad – Funkce g(x) má v bodě x 0 vlastní derivaci. To znamená, že existuje limita: 3. předpoklad - funkce g(x) má v bodě x 0 vlastní derivaci, to znamená, že platí: 4. předpoklad - g(x 0) 0

4 ILUSTRATIVNÍ PŘÍKLAD 4 DŮLEŽITÝ PŘÍKLAD – odvození derivace funkce y = tg x pomocí věty 2

4 DŮLEŽITÝ PŘÍKLAD – POROVNÁNÍ odvození derivace funkce y = tg x pomocí definice derivace

4 Vypčítejte derivace následujících funkcí v libovolném bodě definičního oboru. (Vždy určete definiční obor dané funkce a její derivace. )

ŘEŠENÍ ÚLOH Úloha 1 Úloha 2

Úloha 3 Úloha 4

Úloha 5 Úloha 6 Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Milan Rieger.