Metody sztucznej inteligencji technologie rozmyte i neuronowe Systemy

Metody sztucznej inteligencji – technologie rozmyte i neuronowe Systemy rozmyte – podstawy i struktury Systemy/modele rozmyte – podstawy i struktury Systemy rozmyte są modelami przetwarzającymi informację za pomocą zbioru reguł rozmytych „jeżeli – to” Rozmytość jest sposobem reprezentowania niejednoznaczności (niepewności) określeń lingwistycznych (n. p. wysoka temperatura) Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 1

Metody sztucznej inteligencji – technologie rozmyte i neuronowe Systemy rozmyte – podstawy i struktury Wszystkie zbiory definiujemy w przestrzeni rozważań Definicja: - przestrzeń rozważań, uniwersalny zbiór będący przedmiotem naszego zainteresowania Inne nazwy: obszar rozważań, przestrzeń, zbiór, domena rozważań, domena, zakres podstawowy, zbiór odniesienia Przykłady: ü uczniowie klas pierwszych w liceach ü liczby rzeczywiste ü temperatura powietrza w Polsce ü miasta w Polsce Przestrzeń rozważań może być zbiorem dowolnej natury (dziedzina zbioru może być dowolnej natury) – w szczególności może to być dziedzina numeryczna Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 2

Metody sztucznej inteligencji – technologie rozmyte i neuronowe Systemy rozmyte – podstawy i struktury Definicja: zbiór zwykły (1) Zwykły albo klasyczny zbiór jest definiowany jako zestaw elementów w X posiadający pewną specyficzną cechę Przykłady: ü chłopcy uczniowie klas pierwszych w liceach ü dodatnie liczby rzeczywiste ü temperatura powietrza latem w Polsce ü miasta wojewódzkie w Polsce Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 3

Metody sztucznej inteligencji – technologie rozmyte i neuronowe Systemy rozmyte – podstawy i struktury Można inaczej definiować zbiory zwykłe korzystając z pojęcia funkcji przynależności (funkcji charakterystycznej, funkcji wskaźnikowej) Definicja: funkcja przynależności zbioru zwykłego Funkcja przynależności zbioru zwykłego A w przestrzeni rozważań X (oznaczana μA(x)) jest odwzorowaniem z X w zbiór dwuelementowy {0, 1}: μA(x): X {0, 1} takim, że Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 4

Metody sztucznej inteligencji – technologie rozmyte i neuronowe Systemy rozmyte – podstawy i struktury Definicja: zbiór zwykły (2) Niech X , dziedzina rozważań, będzie zbiorem pewnych elementów x. Zbiorem zwykłym A dziedziny rozważań X , nazywamy zbiór par: gdzie: A jest funkcją przynależności zbioru zwykłego A, która każdemu elementowi x X przypisuje dwuwartościowy stopień jego przynależności A(x) do zbioru zwykłego A, przy czym: Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 5

Metody sztucznej inteligencji – technologie rozmyte i neuronowe Systemy rozmyte – podstawy i struktury Definicj: Zbiór rozmyty (fuzzy set) Niech X , dziedzina rozważań, będzie zbiorem pewnych elementów x. Zbiorem rozmytym A dziedziny rozważań X , nazywamy zbiór par: gdzie: A jest funkcją przynależności (membership function) zbioru rozmytego A, która każdemu elementowi x X przypisuje stopień jego przynależności (grade of membership) A (x) do zbioru rozmytego A, przy czym: Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 6

Metody sztucznej inteligencji – technologie rozmyte i neuronowe Systemy rozmyte – podstawy i struktury Przykład: Funkcja przynależności zbioru zwykłego Funkcja przynależności zbioru rozmytego Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 7

Metody sztucznej inteligencji – technologie rozmyte i neuronowe Systemy rozmyte – podstawy i struktury Funkcja przynależności (membership function) i stopień przynależności (grade of membership) Funkcja przynależności realizuje odwzorowanie dziedziny rozważań X danej zmiennej do przedziału [0, 1]: Funkcja przynależności przyporządkowuje każdemu elementowi x X pewną wartość z przedziału [0, 1]: Wartość ta, zwana stopniem przynależności informuje, w jakim stopniu element x X należy do zbioru rozmytego A Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 8

Metody sztucznej inteligencji – technologie rozmyte i neuronowe Systemy rozmyte – podstawy i struktury Funkcja przynależności i stopień przynależności - porównanie Zbiór zwykły Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Zbiór rozmyty Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 9

Metody sztucznej inteligencji – technologie rozmyte i neuronowe Systemy rozmyte – podstawy i struktury Funkcje przynależności i stopień przynależności elementu przestrzeni rozważań do różnych zbiorów Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 10

Metody sztucznej inteligencji – technologie rozmyte i neuronowe Systemy rozmyte – podstawy i struktury Definicja zbioru rozmytego jest subiektywna (zależy od osądów autora) i zależna od kontekstu Wysoki w Chinach Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Wysoki w Europie Wysoki w NBA Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 11

Metody sztucznej inteligencji – technologie rozmyte i neuronowe Systemy rozmyte – podstawy i struktury Przykłady zbiorów rozmytych: zbiór rozmyty na dziedzinie dyskretnej nieuporządkowanej Niech X zbiór miast, spośród których ktoś może wybrać miejsce zamieszkania A – miasto pożądane do zamieszkania Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 12

Metody sztucznej inteligencji – technologie rozmyte i neuronowe Systemy rozmyte – podstawy i struktury zbiór rozmyty na dziedzinie dyskretnej uporządkowanej Niech X zbiór liczby dzieci, jaką rodzina może mieć A – rozsądna liczba dzieci w rodzinie Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 13

Metody sztucznej inteligencji – technologie rozmyte i neuronowe Systemy rozmyte – podstawy i struktury zbiór rozmyty na dziedzinie ciągłej Niech X możliwy wiek ludzi A – ludzie w wieku około 50 lat gdzie: Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 14

Metody sztucznej inteligencji – technologie rozmyte i neuronowe Systemy rozmyte – podstawy i struktury Funkcja przynależności może być wyrażona w postaci: diagramu ciągłego lub dyskretnego, wzoru matematycznego, tabeli, wektora przynależności, sumy lub całki Przykłady: Ciągła (a) i dyskretna (b) graficzna forma (diagram) funkcji przynależności liczby rozmytej „około zera” Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 15

Metody sztucznej inteligencji – technologie rozmyte i neuronowe Systemy rozmyte – podstawy i struktury Funkcja przynależności w postaci wzoru dla liczby rozmytej „około zera” Dyskretna funkcja przynależności w postaci tabeli dla liczby rozmytej „około zera” xi X (x) x 1=-a 0 x 2=-0. 75 a x 3=-0. 5 a x 4=-0. 25 a x 5=0 x 6=0. 25 a x 7=0. 5 a 0. 25 0. 75 1 0. 75 0. 5 x 8=0. 75 a 0. 25 x 9=a 0 Elementami xi w tabeli mogą być nie tylko liczby xi X (x) Firma 1 Firma 2. . . Firma (n-1) Firman 0. 4 0. 5 1. 0 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. . . 1. 0 Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 16

Metody sztucznej inteligencji – technologie rozmyte i neuronowe Systemy rozmyte – podstawy i struktury Dyskretna funkcja przynależności w postaci wektora dla liczby rozmytej „około zera” Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 17

Metody sztucznej inteligencji – technologie rozmyte i neuronowe Systemy rozmyte – podstawy i struktury Dyskretna funkcja przynależności w postaci sumy dla liczby rozmytej „około zera” Ciągła funkcja przynależności w postaci całki dla liczby rozmytej „około zera” Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 18

Metody sztucznej inteligencji – technologie rozmyte i neuronowe Systemy rozmyte – podstawy i struktury Pionowa reprezentacja zbioru rozmytego jest A jest formą przedstawiania zbioru rozmytego jako zbioru par (element x zbioru A, stopień przynależności elementu x do zbioru A) Przykłady pionowej reprezentacji zbioru rozmytego Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 19

Metody sztucznej inteligencji – technologie rozmyte i neuronowe Systemy rozmyte – podstawy i struktury Pozioma reprezentacja zbioru rozmytego A polega na przedstawianiu tego zbioru za pomocą tzw. - przekrojów A tego zbioru. - przekrój Aα zbioru rozmytego A jest nierozmytym podzbiorem przestrzeni rozważań X , którego elementy wszystkie posiadają stopień przynależności równy lub większy - przekrój Aα jest nazywany ścisłym jeżeli Wartość nazywana jest - poziomem Oznaczenia (inne): - przekrój(A), przekrój(A, ), A α , A>α Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 20

Metody sztucznej inteligencji – technologie rozmyte i neuronowe Systemy rozmyte – podstawy i struktury Ilustracja graficzna Przykładowe - przekroje zbioru rozmytego A Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 21

Metody sztucznej inteligencji – technologie rozmyte i neuronowe Systemy rozmyte – podstawy i struktury Charakterystyczne parametry zbioru rozmytego: Nośnik zbioru rozmytego A (support): Nośnik zbioru rozmytego A jest to podzbiór nierozmyty dziedziny rozważań X, którego wszystkie elementy mają niezerowy stopień przynależności do zbioru A Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 22

Metody sztucznej inteligencji – technologie rozmyte i neuronowe Systemy rozmyte – podstawy i struktury Jądro zbioru rozmytego A (core, kernel): Jądro zbioru rozmytego A jest to podzbiór nierozmyty dziedziny rozważań X złożony ze wszystkich elementów o stopniu przynależności równym 1 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 23

Metody sztucznej inteligencji – technologie rozmyte i neuronowe Systemy rozmyte – podstawy i struktury Wysokość zbioru rozmytego A (height): Wysokością zbioru rozmytego A nazywamy supremum funkcji przynależności elementów zbioru A w całej dziedzinie rozważań zbioru X Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 24

Metody sztucznej inteligencji – technologie rozmyte i neuronowe Systemy rozmyte – podstawy i struktury Wypukłość zbioru rozmytego A: Zbiór rozmyty zdefiniowany w przestrzeni rozważań Rn jest wypukły jeżeli każdy jego - przekrój jest zbiorem wypukłym Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 25

Metody sztucznej inteligencji – technologie rozmyte i neuronowe Systemy rozmyte – podstawy i struktury Przykład: wiek kierowcy wysokiego ryzyka dla ubezpieczeń samochodów Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 26

Metody sztucznej inteligencji – technologie rozmyte i neuronowe Systemy rozmyte – podstawy i struktury Liczba kardynalna zbioru rozmytego A: Mocą zbioru rozmytego A, A lub liczbą kardynalną card(A) tego zbioru określonego na przestrzeni dyskretnej X nazywamy a w przypadku przestrzeni ciągłej Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 27

Metody sztucznej inteligencji – technologie rozmyte i neuronowe Systemy rozmyte – podstawy i struktury Charakterystyczne zbiory rozmyte Pusty zbiór rozmyty Zbiór A, którego funkcja przynależności A(x) posiada wartość zero dla wszystkich elementów dziedziny rozważań X nazywa się zbiorem pustym i oznaczany jest symbolem : Uniwersalny zbiór rozmyty Zbiór A, którego funkcja przynależności A(x) posiada wartość jeden dla wszystkich elementów dziedziny rozważań X nazywa się zbiorem uniwersalnym i oznaczany jest symbolem U: Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 28

Metody sztucznej inteligencji – technologie rozmyte i neuronowe Systemy rozmyte – podstawy i struktury Normalny zbiór rozmyty Zbiór A, którego funkcja przynależności A(x) przyjmuje wartości pomiędzy 0 a 1, łącznie z 1, nazywany jest zbiorem normalnym rozmytym Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 29

Metody sztucznej inteligencji – technologie rozmyte i neuronowe Systemy rozmyte – podstawy i struktury Normalny zbiór rozmyty A (trochę inaczej): Zbiór rozmyty A jest normalny, jeżeli x X taki, że μA(x)=1. Zbiór rozmyty, który nie jest normalny nazywany jest subnormalnym Operator normalizacji: Operator jest nazywany operatorem normalizacji, tzn. Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 30

Metody sztucznej inteligencji – technologie rozmyte i neuronowe Systemy rozmyte – podstawy i struktury Liczba rozmyta: Pojęcie liczby rozmytej jest używane (czasem) dla wskazania zbioru rozmytego normalnego i wypukłego określonego na R Singleton (jednoelementowy zbiór rozmyty): Singleton jest to taki zbiór rozmyty A, którego nośnik S(A) zawiera tylko jeden element o stopniu przynależności różnym od zera Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 31

Metody sztucznej inteligencji – technologie rozmyte i neuronowe Systemy rozmyte – podstawy i struktury Rodzaje funkcji przynależności zbiorów rozmytych jednowymiarowe - funkcje przynależności złożone z odcinków prostych Kształty najczęściej stosowanych odcinkowo – liniowych funkcji przynależności Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 32

Metody sztucznej inteligencji – technologie rozmyte i neuronowe Systemy rozmyte – podstawy i struktury Zalety wielokątnych funkcji przynależności: mała liczba danych potrzebna do zdefiniowania funkcji przynależności łatwość modyfikacji parametrów funkcji przynależności w oparciu o dane pomiarowe wejście – wyjście systemu Wady wielokątnych funkcji przynależności: są nieróżniczkowalne Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 33

Metody sztucznej inteligencji – technologie rozmyte i neuronowe Systemy rozmyte – podstawy i struktury Trójkątna funkcja przynależności: Przykład: triangle(x; 20, 60, 80) Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 34

Metody sztucznej inteligencji – technologie rozmyte i neuronowe Systemy rozmyte – podstawy i struktury Trapezowa funkcja przynależności: Przykład: trapezoid(x; 10, 20, 60, 95) Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 35

Metody sztucznej inteligencji – technologie rozmyte i neuronowe Systemy rozmyte – podstawy i struktury - intuicyjne funkcje przynależności Aksjomaty: A 1. Intuicyjne funkcje przynależności (x) są ciągłe w całym zakresie dziedziny rozważań A 2. Pierwsza pochodna (nachylenie) intuicyjnej funkcji przynależności (x) jest ciągła w całym zakresie dziedziny rozważań A 3. Druga pochodna (krzywizna) intuicyjnej funkcji przynależności (x) jest ciągła w całym zakresie dziedziny rozważań A 4. Zakrzywienia intuicyjnej funkcji przynależności (x) są minimalne Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 36

Metody sztucznej inteligencji – technologie rozmyte i neuronowe Systemy rozmyte – podstawy i struktury Matematyczne reprezentacje intuicyjnych funkcji przynależności: 1. Symetryczna funkcja Gaussa 2. Sigmoidalne funkcje przynależności 3. Harmoniczne funkcje przynależności 4. Wielomianowe funkcje przynależności Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 37

Metody sztucznej inteligencji – technologie rozmyte i neuronowe Systemy rozmyte – podstawy i struktury Gaussowska funkcja przynależności: Przykład: gaussian(x; 50, 20) Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 38

Metody sztucznej inteligencji – technologie rozmyte i neuronowe Systemy rozmyte – podstawy i struktury Dzwonowa funkcja przynależności: Przykład: bell(x; 20, 4, 50) Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 39

Metody sztucznej inteligencji – technologie rozmyte i neuronowe Systemy rozmyte – podstawy i struktury Dzwonowa funkcja przynależności – znaczenie parametrów: Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 40

Metody sztucznej inteligencji – technologie rozmyte i neuronowe Systemy rozmyte – podstawy i struktury Dzwonowa funkcja przynależności – wpływ zmian wartości parametrów na kształt FP: Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 41

Metody sztucznej inteligencji – technologie rozmyte i neuronowe Systemy rozmyte – podstawy i struktury Sigmoidalna funkcja przynależności: Przykłady Dwie prawe FP sigmoidalne Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Prawa i lewa FP sigmoidalne Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 42

Metody sztucznej inteligencji – technologie rozmyte i neuronowe Systemy rozmyte – podstawy i struktury Poza jednowymiarowymi przestrzeniami rozważań możemy mieć do czynienia z wielowymiarowymi przestrzeniami rozważań, które są iloczynem kartezjańskim X przestrzeni składowych X 1, X 2, . . , Xn wielkości o różnym charakterze Przykład: X 1 – zbiór obywateli X 2 – zbiór banków Definiowanie zbiorów przestrzeni rozważań rozmytych dla wielowymiarowych Bezpośrednio Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 43

Metody sztucznej inteligencji – technologie rozmyte i neuronowe Systemy rozmyte – podstawy i struktury Modyfikatory lingwistyczne zbiorów rozmytych Weźmy zmienną lingwistyczną wiek Dziedzina rozważań lingwistyczna tej zmiennej) może być podana w następujący sposób: (wartości Xwiek = {młody, nie młody, bardzo młody, nie bardzo młody, . . . średniego wieku, nie średniego wieku, . . . stary, nie stary, bardzo stary, mniej więcej stary, nie bardzo stary, . . nie bardzo młody i nie bardzo stary, . . . } W tej dziedzinie możemy wyróżnić: podstawowe (pierwotne) wartości lingwistyczne zmiennej – primary term (młody, średniego wieku, stary) zmieniane przez negację - negation (nie) (nie stary) i/lub modyfikatory – hedges (bardzo, mniej więcej, całkiem, krańcowo, . . . ) i następnie powiązane łącznikami – connectives (i, lub albo. . . albo, ani. . . ani, . . ) Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 44

Metody sztucznej inteligencji – technologie rozmyte i neuronowe Systemy rozmyte – podstawy i struktury Modyfikatory umożliwiają tworzenie pochodnych zbiorów rozmytych na bazie zbiorów podstawowych bez ponownego definiowania funkcji przynależności Wyróżnia się przy tym - modyfikatory mocy (powered hedges) -modyfikatory przesunięcia (shifted hedges) Modyfikatory mocy są realizowane za pomocą funkcji, które działają na stopniach przynależności i mają ogólną postać Modyfikatory przesunięcia przemieszczają funkcję przynależności w jej dziedzinie Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 45

Metody sztucznej inteligencji – technologie rozmyte i neuronowe Systemy rozmyte – podstawy i struktury Przykładowe inne i podane wcześniej modyfikatory mocy Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 46

Metody sztucznej inteligencji – technologie rozmyte i neuronowe Systemy rozmyte – podstawy i struktury Przykładowe inne i podane wcześniej modyfikatory mocy Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 47

Metody sztucznej inteligencji – technologie rozmyte i neuronowe Systemy rozmyte – podstawy i struktury Operacje (logiczne, mnogościowe) na zbiorach rozmytych Główne operatory logiczne: 1. Operacja przecięcia (intersection) zbiorów rozmytych 2. Operacja połączenia (union) zbiorów rozmytych 3. Operacja negacji (complement) zbioru rozmytego Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 48

Metody sztucznej inteligencji – technologie rozmyte i neuronowe Systemy rozmyte – podstawy i struktury Operacja przecięcia (intersection) zbiorów rozmytych Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 49

Metody sztucznej inteligencji – technologie rozmyte i neuronowe Systemy rozmyte – podstawy i struktury Definicja: T - norma Operator T – normy jest funkcją dwuargumentową spełniającą następujące warunki: 1. dziedziny odwzorowania 2. zerowanie (boudary) 3. tożsamość jedynki (boundary) 4. monotoniczność (monotonicity) 5. przemienność (commutativity) 6. łączność (associativity) Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 50

Metody sztucznej inteligencji – technologie rozmyte i neuronowe Systemy rozmyte – podstawy i struktury Operatory T – normy dzielą się na nastawialne (sparametryzowane) i nienastawialne Niektóre nienastawialne operatory T – normy Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 51

Metody sztucznej inteligencji – technologie rozmyte i neuronowe Systemy rozmyte – podstawy i struktury Niektóre nastawialne operatory T – normy Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 52

Metody sztucznej inteligencji – technologie rozmyte i neuronowe Systemy rozmyte – podstawy i struktury Uwagi: Największe wartości funkcji przynależności daje operator MIN, inne operatory T – normy dają wartości mniejsze Twierdzenie: Wszystkie operatory T – normy są ograniczone od dołu przez operator iloczynu drastycznego a od góry przez operator MIN Do realizacji operacji przecięcia zbiorów rozmytych stosuje się nie tylko operatory będące T - normami Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 53

Metody sztucznej inteligencji – technologie rozmyte i neuronowe Systemy rozmyte – podstawy i struktury Operacja połączenia (union) zbiorów rozmytych Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 54

Metody sztucznej inteligencji – technologie rozmyte i neuronowe Systemy rozmyte – podstawy i struktury Definicja: S - norma Operator S – normy jest funkcją dwuargumentową spełniającą następujące warunki: 1. dziedziny odwzorowania 2. zerowanie (boudary) 3. tożsamość zera (boundary) 4. monotoniczność (monotonicity) 5. przemienność (commutativity) 6. łączność (associativity) Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 55

Metody sztucznej inteligencji – technologie rozmyte i neuronowe Systemy rozmyte – podstawy i struktury Operatory S – normy dzielą się na nastawialne (sparametryzowane) i nienastawialne Niektóre nienastawialne operatory S – normy Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 56

Metody sztucznej inteligencji – technologie rozmyte i neuronowe Systemy rozmyte – podstawy i struktury Niektóre nastawialne operatory S – normy Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 57

Metody sztucznej inteligencji – technologie rozmyte i neuronowe Systemy rozmyte – podstawy i struktury Uwagi: Najmniejsze wartości funkcji przynależności daje operator MAX, operatory S – normy dają wartości większe Twierdzenie: Wszystkie operatory S – normy są ograniczone od dołu przez operator MAX a od góry przez operator sumy drastycznej Do realizacji operacji połączenia zbiorów rozmytych stosuje się nie tylko operatory będące S - normami Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 58

Metody sztucznej inteligencji – technologie rozmyte i neuronowe Systemy rozmyte – podstawy i struktury Operatory T – normy i S – normy tworzą pary komplementarne spełniające warunek: Komplementarne pary T – norm i S - norm T – norma (S – konorma) Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. S – norma (T – konorma) Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 59

Metody sztucznej inteligencji – technologie rozmyte i neuronowe Systemy rozmyte – podstawy i struktury Operacja negacji (complement, negation) zbioru rozmytego W logice nierozmytej: Definicja: Negacja (complement) zbioru rozmytego Negacja zbioru rozmytego A jest zbiorem rozmytym A, określonym zależnością: Przykład: Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 60

Metody sztucznej inteligencji – technologie rozmyte i neuronowe Systemy rozmyte – podstawy i struktury Inne operacje negacji 1. Negacje Sugeno (parametryzowane) gdzie 2. Negacje Yager’a (parametryzowane) gdzie Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 61

Metody sztucznej inteligencji – technologie rozmyte i neuronowe Systemy rozmyte – podstawy i struktury Dla wyróżnienia operatory: przecięcie połączenie negacja są nazywane klasycznymi lub standardowymi operatorami rozmytymi Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 62

Metody sztucznej inteligencji – technologie rozmyte i neuronowe Systemy rozmyte – podstawy i struktury Operacje na zbiorach możemy przeprowadzać zdefiniowanych w jednej przestrzeni rozważań na zbiorach Jak realizować operacje na zbiorach rozmytych zdefiniowanych w różnych przestrzeniach rozważań? Rozszerzenie cylindryczne zbioru rozmytego Każdy n-wymiarowy zbiór rozmyty może być rozszerzony do wymiaru n+1 za pomocą rozszerzenie cylindrycznego Projekcja zbioru rozmytego Każdy n+1 - wymiarowy zbiór rozmyty może być ścieśniony do wymiaru n za pomocą projekcji Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 63

Metody sztucznej inteligencji – technologie rozmyte i neuronowe Systemy rozmyte – podstawy i struktury Definicja: Rozszerzenie cylindryczne Jeżeli X 1 i X 2 są przestrzeniami rozważań, a zbiór rozmyty A zdefiniowany jest na X 1 to rozszerzeniem cylindrycznym zbioru A na przestrzeń rozważań X = X 1 x X 2 nazywamy odwzorowanie określone wzorem dla przestrzeni dyskretnej (skończonej) i dla przestrzeni ciągłej dla wszystkich dwójek x=(x 1, x 2) X 1 x X 2 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 64

Metody sztucznej inteligencji – technologie rozmyte i neuronowe Systemy rozmyte – podstawy i struktury Przykład: rozszerzenie cylindryczne z R do R 2 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 65

Metody sztucznej inteligencji – technologie rozmyte i neuronowe Systemy rozmyte – podstawy i struktury Definicja: Projekcja Jeżeli X 1 i X 2 są dziedzinami rozważań, a zbiór rozmyty A zdefiniowany jest na przestrzeni iloczynowej X=X 1 x. X 2 to projekcją tego zbioru na dziedzinę X 1 jest odwzorowanie: określone zależnością: dla przestrzeni dyskretnej (skończonej) i dla przestrzeni ciągłej Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 66

Metody sztucznej inteligencji – technologie rozmyte i neuronowe Systemy rozmyte – podstawy i struktury Przykład: projekcja z R 2 do R Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 67

Metody sztucznej inteligencji – technologie rozmyte i neuronowe Systemy rozmyte – podstawy i struktury Przykład: Zbiór A określony na przestrzeni X 1 x. X 2 dyskretnej. Należy określić projekcje tego zbioru na przestrzeń X 1 Zbiór A(x 1, x 2) - dyskretny Projekcja zbioru A(x 1, x 2) na przestrzeń X 1 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 68

Metody sztucznej inteligencji – technologie rozmyte i neuronowe Systemy rozmyte – podstawy i struktury Operacje takie jak połączenie lub przecięcie zastosowane do zbiorów rozmytych zdefiniowanych w różnych przestrzeniach rozważań prowadzą do wielowymiarowych zbiorów rozmytych na iloczynach kartezjańskich tych przestrzeni Definiowanie zbiorów przestrzeni rozważań rozmytych dla wielowymiarowych Operacje na zbiorach rozmytych W istocie operacje takie realizowane są poprzez, najpierw realizację rozszerzenia cylindrycznego a dopiero potem samej wymaganej operacji na rozszerzeniach zbiorów Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 69

Metody sztucznej inteligencji – technologie rozmyte i neuronowe Systemy rozmyte – podstawy i struktury Iloczyn kartezjański zbiorów rozmytych Niech A i B będą zbiorami rozmytymi w przestrzeniach X i Y odpowiednio, określonymi w nich funkcjami przynależności μA(·) i μB(·). Iloczyn kartezjański zbiorów A i B, oznaczony Ax. B, jest zbiorem rozmytym w przestrzeni X x Y mającym funkcję przynależności np. Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 70

Metody sztucznej inteligencji – technologie rozmyte i neuronowe Systemy rozmyte – podstawy i struktury Przykład: C = A 1 x. A 2 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 71

Metody sztucznej inteligencji – technologie rozmyte i neuronowe Systemy rozmyte – podstawy i struktury Suma kartezjańska zbiorów rozmytych Niech A i B będą zbiorami rozmytymi w przestrzeniach X i Y odpowiednio, określonymi w nich funkcjami przynależności μA(·) i μB(·). Suma kartezjańska zbiorów A i B, oznaczona A+B, jest zbiorem rozmytym w przestrzeni X x Y mającym funkcję przynależności np. Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 72

Metody sztucznej inteligencji – technologie rozmyte i neuronowe Systemy rozmyte – podstawy i struktury Przykład: Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 73

Metody sztucznej inteligencji – technologie rozmyte i neuronowe Systemy rozmyte – podstawy i struktury Przykład: Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 74

Metody sztucznej inteligencji – technologie rozmyte i neuronowe Systemy rozmyte – podstawy i struktury Dziękuję – koniec materiału prezentowanego podczas wykładu Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 75