Systemy dynamiczne 20152016 Odpowiedzi systemy liniowe stacjonarne Systemy

Systemy dynamiczne 2015/2016 Odpowiedzi – systemy liniowe stacjonarne Systemy dynamiczne - studia stacjonarne Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Wykład 3 - 2015/2016 Odpowiedzi - systemy liniowe stacjonarne Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 1

Systemy dynamiczne 2015/2016 Odpowiedzi – systemy liniowe stacjonarne System ciągły; model stanu (przestrzeni stanu) - odpowiedzi Poszukujemy rozwiązań x – stany u – wejścia y - wyjścia Rozważmy najpierw przypadek skalarny (jednowymiarowy, rzędu pierwszego) Klasyczne podejście 1. Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 2

Systemy dynamiczne 2015/2016 Odpowiedzi – systemy liniowe stacjonarne 2. 3. Składowa swobodna Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Składowa wymuszona Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 3

Systemy dynamiczne 2015/2016 Odpowiedzi – systemy liniowe stacjonarne 4. Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 4

Systemy dynamiczne 2015/2016 Odpowiedzi – systemy liniowe stacjonarne Przykład v. C(0 - ) = 1 V Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. x(t) = uc(t) Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 5

Systemy dynamiczne 2015/2016 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Odpowiedzi – systemy liniowe stacjonarne Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 6

Systemy dynamiczne 2015/2016 Odpowiedzi – systemy liniowe stacjonarne System ciągły; model stanu (przestrzeni stanu) – odpowiedzi Poszukujemy rozwiązań x – stany u – wejścia y - wyjścia Weźmy równanie stanu: Rozwiązanie: Składowa swobodna Składowa wymuszona Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 7

Systemy dynamiczne 2015/2016 Odpowiedzi – systemy liniowe stacjonarne Składowa swobodna – rozwiązanie równania jednorodnego Rozwiązanie równania jednorodnego proponujemy w postaci: gdzie Sprawdzenie Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 8

Systemy dynamiczne 2015/2016 Odpowiedzi – systemy liniowe stacjonarne Rozwiązanie ogólne – rozwiązanie równania jednorodnego, zatem: gdzie Przejdziemy do wyznaczenia rozwiązania szczególnego wymuszonej – rozwiązania równania niejednorodnego – składowej Rozwiązanie równania niejednorodnego proponujemy w postaci: Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 9

Systemy dynamiczne 2015/2016 Odpowiedzi – systemy liniowe stacjonarne Rozwiązanie to musi spełniać równanie niejednorodne z drugiej strony, podstawiając proponowane rozwiązanie do równania stanu porównując Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 10

Systemy dynamiczne 2015/2016 Odpowiedzi – systemy liniowe stacjonarne podstawiając ostatni wynik do proponowanego rozwiązania Rozwiązanie szczególne – rozwiązanie równania niejednorodnego, zatem: Podsumowując – rozwiązanie równania stanu Składowa swobodna Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Składowa wymuszona Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 11

Systemy dynamiczne 2015/2016 Odpowiedzi – systemy liniowe stacjonarne Weźmy równanie wyjścia: Wyjście policzymy podstawiając uzyskany wynik rozwiązania równania stanu Podsumowanie: Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 12

Systemy dynamiczne 2015/2016 Odpowiedzi – systemy liniowe stacjonarne Kluczowy problem przy korzystaniu z tego rozwiązania – obliczenie - macierz tranzycji stanu – macierz fundamentalna I sposób – z definicji szeregu wykładniczego Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 13

Systemy dynamiczne 2015/2016 Odpowiedzi – systemy liniowe stacjonarne Przykład 1: Model części mechanicznej silnika prądu stałego, przy zaniedbaniu dynamiki obwodu twornika, wpływu na ten odwód obwodu wzbudzenia i pominięciu momentu obciążenia zewnętrznego można zapisać Przyjmując: otrzymamy Przyjmijmy rachunków: dla uproszczenia oraz Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 14

Systemy dynamiczne 2015/2016 Odpowiedzi – systemy liniowe stacjonarne Policzmy potęgi A: Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 15

Systemy dynamiczne 2015/2016 Odpowiedzi – systemy liniowe stacjonarne Korzystamy z definicji Czasem nie ma potrzeby liczenia granicy szeregu Przykład 2: Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 16

Systemy dynamiczne 2015/2016 Odpowiedzi – systemy liniowe stacjonarne Policzmy potęgi A: Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 17

Systemy dynamiczne 2015/2016 Odpowiedzi – systemy liniowe stacjonarne Szereg potęgowy zawiera skończoną liczbę wyrazów Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 18

Systemy dynamiczne 2015/2016 Odpowiedzi – systemy liniowe stacjonarne Wynik ten można uogólnić na dowolne n Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 19

Systemy dynamiczne 2015/2016 Odpowiedzi – systemy liniowe stacjonarne II sposób pokażemy znajdując najpierw model przestrzeni stanu w dziedzinie zmiennej s Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 20

Systemy dynamiczne 2015/2016 Odpowiedzi – systemy liniowe stacjonarne Przez porównanie rozwiązania równania stanu i wyjścia Możemy napisać Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 21

Systemy dynamiczne 2015/2016 Odpowiedzi – systemy liniowe stacjonarne Przykład 3: macierz dołączona wyznacznik Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 22

Systemy dynamiczne 2015/2016 Odpowiedzi – systemy liniowe stacjonarne Otrzymujemy: Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 23

Systemy dynamiczne 2015/2016 Odpowiedzi – systemy liniowe stacjonarne Rozkład na ułamki proste elementów macierzy Podobnie Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 24

Systemy dynamiczne 2015/2016 Odpowiedzi – systemy liniowe stacjonarne Otrzymujemy Ostatecznie macierz tranzycji Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 25

Systemy dynamiczne 2015/2016 Odpowiedzi – systemy liniowe stacjonarne Przykład 4: Policzymy odpowiedzi układu przy zadanych warunkach początkowych na jednostkowe wymuszenie skokowe Policzmy najpierw: Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 26

Systemy dynamiczne 2015/2016 Odpowiedzi – systemy liniowe stacjonarne Stąd: Stąd bezpośrednio: Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 27

Systemy dynamiczne 2015/2016 Odpowiedzi – systemy liniowe stacjonarne Dla podanych warunków początkowych składowa swobodna odpowiedzi stanu i wyjścia : Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 28

Systemy dynamiczne 2015/2016 Odpowiedzi – systemy liniowe stacjonarne Dla skokowego jednostkowego wejścia transformata Laplace’a składowej wymuszonej odpowiedzi stanu i wyjścia (w dziedzinie zmiennej s) Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 29

Systemy dynamiczne 2015/2016 Odpowiedzi – systemy liniowe stacjonarne Dla skokowego jednostkowego wejścia składowa wymuszona odpowiedzi stanu i wyjścia Pełna odpowiedź stanu i wyjścia Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 30

Systemy dynamiczne 2015/2016 Odpowiedzi – systemy liniowe stacjonarne Związki z transmitancją Dla układu SISO: Odpowiedź wyjścia: Funkcja przejścia transmitancja Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Funkcja tranzycji stanu Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 31

Systemy dynamiczne 2015/2016 Odpowiedzi – systemy liniowe stacjonarne Otrzymaliśmy: Transmitancja: Odpowiedź impulsowa: Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 32

Systemy dynamiczne 2015/2016 Odpowiedzi – systemy liniowe stacjonarne System dyskretny; model stanu (przestrzeni stanu) – odpowiedzi Poszukujemy rozwiązań Będziemy przyjmowali: Rozwiązanie równania stanu w postaci rekursywnej: Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 33

Systemy dynamiczne 2015/2016 Odpowiedzi – systemy liniowe stacjonarne W ogólnej postaci: Macierz tranzycji stanu: Jest to odpowiednik w dziedzinie czasu ciągłego macierzy Porównanie odpowiedzi stanu Składowa swobodna Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Składowa wymuszona 34

Systemy dynamiczne 2015/2016 Odpowiedzi – systemy liniowe stacjonarne Odpowiedź wyjścia: Możemy np. policzyć odpowiedź wyjścia na sekwencję impulsu jednostkowego: Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 35

Systemy dynamiczne 2015/2016 Odpowiedzi – systemy liniowe stacjonarne Transformata Z Odpowiednikiem transformacji s Laplace’a transformacja z dla systemów dyskretnych dla systemów ciągłych jest Interesują nas podobnie: sygnały o wartości zero dla ujemnych chwil czasowych i jednostronna transformacja z Dwa alternatywne sposoby zdefiniowania: Definicja 1: Mając daną sekwencję sygnałów jej transformację z definiujemy jako Zmienną z-1 możemy traktować w podanej definicji jako operator opóźnienia w czasie – wskaźnik pozycji sygnału w sekwencji Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 36

Systemy dynamiczne 2015/2016 Odpowiedzi – systemy liniowe stacjonarne Pożytki: Zastąpienie nieskończonego ciągu, jego sumą (szeregiem) mogącą mieć użyteczną postać do analizy Pytania: - istnienie sumy – zbieżność szeregu - możliwość odtworzenia z wynikowego wyrażenia zmiennej z, elementów sekwencji w dziedzinie czasu Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 37

Systemy dynamiczne 2015/2016 Odpowiedzi – systemy liniowe stacjonarne Definicja druga związana jest z sekwencją uzyskaną z próbkowania z okresem Ts sygnału ciągłego i transformacją Laplace’a Ilustracja związków dziedzina ciągła – dziedzina dyskretna poprzez idealny impulsator gdzie Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 38

Systemy dynamiczne 2015/2016 Odpowiedzi – systemy liniowe stacjonarne Definicja 2: Mając daną sekwencję sygnałów z próbkowania ciągłej funkcji f(t) z okresem T s w postaci Transformacja Laplace’a tej sekwencji dana jest Definiując zmienną z Otrzymujemy Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 39

Systemy dynamiczne 2015/2016 Odpowiedzi – systemy liniowe stacjonarne Doszliśmy do określenia transformacji z lub z zastrzeżeniem, że transformata z istnieje tylko wtedy, gdy istnieje pewne z dla którego szereg z definicji jest zbieżny Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 40

Systemy dynamiczne 2015/2016 Odpowiedzi – systemy liniowe stacjonarne Przykład 5 Rozważmy sekwencję skoku jednostkowego z określonym okresem próbkowania Mamy Jeżeli szereg jest zbieżny i transformata z istnieje Szereg geometryczny zbieżny Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 41

Systemy dynamiczne 2015/2016 Odpowiedzi – systemy liniowe stacjonarne Przykład 6 Rozważmy funkcję Przy próbkowaniu z okresem Transformata z Jeżeli szereg jest zbieżny i transformata istnieje Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 42

Systemy dynamiczne 2015/2016 Odpowiedzi – systemy liniowe stacjonarne Transformaty z wybranych sekwencji sygnałów Sekwencja Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Transformata Z Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 43

Systemy dynamiczne 2015/2016 Odpowiedzi – systemy liniowe stacjonarne Wybrane właściwości - transformaty z funkcji przesuniętych w czasie gdzie k jest dodatnie oraz - przesunięcie wstecz - przesunięcie wprzód - twierdzenie o wartości początkowej - twierdzenie o wartości końcowej Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 44

Systemy dynamiczne 2015/2016 Odpowiedzi – systemy liniowe stacjonarne Korzystając z definicji i podanych własności możemy dokonać transformacji dyskretnego równania stanu i znaleźć jego odpowiednik w dziedzinie zmiennej z otrzymamy Ostatnie równanie może być rozwiązane względem transformaty X(z) Wprowadzając oznaczenie Możemy to rozwiązanie zapisać w postaci Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 45

Systemy dynamiczne 2015/2016 Odpowiedzi – systemy liniowe stacjonarne Równanie wyjścia w dziedzinie zmiennej z Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 46

Systemy dynamiczne 2015/2016 Odpowiedzi – systemy liniowe stacjonarne Przez porównanie rozwiązania równania stanu i wyjścia Możemy napisać Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 47

Systemy dynamiczne 2015/2016 Odpowiedzi – systemy liniowe stacjonarne Dla skorzystania z tej ostatniej zależności potrzebna jest umiejętność przeprowadzania transformacji odwrotnej z, czyli znajdowania wartości funkcji w chwilach próbkowania Transformacja odwrotna znajduje tylko wartości funkcji w chwilach próbkowania, ale nie umożliwia znalezienia okresu próbkowania Dla znajdowania wartości funkcji w chwilach próbkowania – sekwencji wartości, praktycznie znajduje się wykorzystując dzielenie wielomianów rozkład na ułamki Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 48

Systemy dynamiczne 2015/2016 Odpowiedzi – systemy liniowe stacjonarne Dzielenie wielomianów Z definicji transformacji Z Jeżeli w jakiś sposób potrafimy przedstawić funkcję F(z) w postaci to jest oczywiste, że Jeżeli F(z) jest funkcją wymierną – ułamkiem wielomianów, to wartości ci mogą być znalezione drogą dzielenia wielomianów Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 49

Systemy dynamiczne 2015/2016 Odpowiedzi – systemy liniowe stacjonarne Przykład 7 Znaleźć f[k] - dzielimy licznik i mianownik przez największa potęgę z Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 50

Systemy dynamiczne 2015/2016 Odpowiedzi – systemy liniowe stacjonarne - dzielimy licznik przez mianownik Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 51

Systemy dynamiczne 2015/2016 Odpowiedzi – systemy liniowe stacjonarne - obliczamy wartość początkową Otrzymaliśmy Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 52

Systemy dynamiczne 2015/2016 Odpowiedzi – systemy liniowe stacjonarne rozkład na ułamki Metoda prawie identyczna to metody używanej w odwrotnej transformacji Laplace’a Ponieważ większość funkcji z ma składnik z w liczniku, jest czasem dogodniej przeprowadzać rozkład na ułamki proste dla F(z)/z niż dla F(z) Procedura 1. znaleźć rozkład na ułamki proste F(z)/z lub F(z) 2. określ odwrotną transformatę f[k] korzystając z tablic transformat z Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 53

Systemy dynamiczne 2015/2016 Odpowiedzi – systemy liniowe stacjonarne Przykład 8 Przypadek: pojedyncze pierwiastki rzeczywiste Znaleźć transformatę odwrotną funkcji: z dzieleniem F(z)/z - rozkład na ułamki proste Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 54

Systemy dynamiczne 2015/2016 Odpowiedzi – systemy liniowe stacjonarne stąd - spojrzenie w tablice Można zauważyć zatem Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 55

Systemy dynamiczne 2015/2016 Odpowiedzi – systemy liniowe stacjonarne bez dzielenia F(z) - rozkład na ułamki proste stąd Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 56

Systemy dynamiczne 2015/2016 Odpowiedzi – systemy liniowe stacjonarne - spojrzenie w tablice zatem Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 57

Systemy dynamiczne 2015/2016 Odpowiedzi – systemy liniowe stacjonarne Wyprowadziliśmy uprzednio równanie stanu i równanie wyjścia dla systemu dyskretnego Odwrotna transformacja Z wyprowadzonych równań Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 58

Systemy dynamiczne 2015/2016 Odpowiedzi – systemy liniowe stacjonarne Dla warunku początkowego Wyjście Funkcja przejścia transmitancja Wejście Transmitancja systemu dyskretnego Transformata wyjścia systemu dyskretnego Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 59

Systemy dynamiczne 2015/2016 Odpowiedzi – systemy liniowe stacjonarne Model dyskretny systemu ciągłego (patrz Podstawy modelowania i identyfikacji) Odpowiedź stanu systemu ciągłego (t 0 = 0) lub Dla dwóch kolejnych chwil próbkowania Przemnażając przez Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. wyrażenie na i odejmując od wyrażenia na Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 60

Systemy dynamiczne 2015/2016 Odpowiedzi – systemy liniowe stacjonarne Przyjmując, że u(t) jest stałe pomiędzy chwilami próbkowania Odpowiedź stanu systemu ciągłego (t 0 = 0) Zmieniając zmienna całkowania Definiujemy macierze możemy napisać równanie stanu lub w postaci uproszczonej Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 61

Systemy dynamiczne 2015/2016 Odpowiedzi – systemy liniowe stacjonarne Odpowiadające równanie wyjścia przy czym Dla wartości własnych macierzy A oraz AD zachodzi (twierdzenie Frobenius’a) Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 62

Systemy dynamiczne 2015/2016 Odpowiedzi – systemy liniowe stacjonarne Podsumowanie Mając model systemu ciągłego: Model systemu dyskretnego: przy czym: Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 63

Systemy dynamiczne 2015/2016 Odpowiedzi – systemy liniowe stacjonarne Przykład 9 Dany jest model transmitancyjny systemu ciągłego Zbudować model stanu ciągły i dyskretny Metoda zmiennej pomocniczej Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 64

Systemy dynamiczne 2015/2016 Odpowiedzi – systemy liniowe stacjonarne Zmienne stanu Równania stanu w dziedzinie zmiennej s Równania stanu w dziedzinie zmiennej t Równania wyjścia w dziedzinie zmiennej s Równania wyjścia w dziedzinie zmiennej t Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 65

Systemy dynamiczne 2015/2016 Odpowiedzi – systemy liniowe stacjonarne Ostatecznie Macierz tranzycji w dziedzinie zmiennej s (rezolwenta) Macierz tranzycji w dziedzinie zmiennej t Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 66

Systemy dynamiczne 2015/2016 Odpowiedzi – systemy liniowe stacjonarne Wprowadzenie impulsatora i ekstrapolatora zerowego rzędu Dla okresu próbkowania Ts = 1 s Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 67

Systemy dynamiczne 2015/2016 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Odpowiedzi – systemy liniowe stacjonarne Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 68

Systemy dynamiczne 2015/2016 Odpowiedzi – systemy liniowe stacjonarne Przykład 10 Dany jest model systemu ciągłego w przestrzeni stanu Znaleźć odpowiedź modelu dyskretnego na wymuszenie skokowe jednostkowe Wartości własne systemu są zespolone, sprzężone Układ drugiego rzędu oscylacyjny, o pulsacji drgań nietłumionych i współczynniku tłumienia odpowiednio Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 69

Systemy dynamiczne 2015/2016 Odpowiedzi – systemy liniowe stacjonarne Dyskretyzacja z wprowadzeniem impulsatora i ekstrapolatora zerowego rzędu Dla Ts = 0. 1 otrzymamy I oczywiście Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 70

Systemy dynamiczne 2015/2016 Odpowiedzi – systemy liniowe stacjonarne Wartości własne macierz AD Sprawdzić! Stan i wyjście policzymy rekurencyjnie, zakładając zerowe warunki początkowe Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 71

Systemy dynamiczne 2015/2016 Odpowiedzi – systemy liniowe stacjonarne Wynik Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 72

Systemy dynamiczne 2015/2016 Odpowiedzi – systemy liniowe stacjonarne Przebieg zmiennych stanu, Ts = 0. 1 s Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 73

Systemy dynamiczne 2015/2016 Odpowiedzi – systemy liniowe stacjonarne Przebieg zmiennej wyjścia, Ts = 0. 1 s Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 74

Systemy dynamiczne 2015/2016 Odpowiedzi – systemy liniowe stacjonarne Przebieg zmiennej wyjścia, Ts = 0. 5 s Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 75

Systemy dynamiczne 2015/2016 Odpowiedzi – systemy liniowe stacjonarne Przebieg zmiennej wyjścia, Ts = 2 s Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 76

Systemy dynamiczne 2015/2016 Odpowiedzi – systemy liniowe stacjonarne Transmitancja, Ts = 0. 1 s Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 77

Systemy dynamiczne 2015/2016 Odpowiedzi – systemy liniowe stacjonarne Ostatecznie Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 78