Metody sztucznej inteligencji Technologie rozmyte i neuronowe 20152016

Metody sztucznej inteligencji - Technologie rozmyte i neuronowe 2015/2016 Systemy rozmyte – wnioskowanie formalne Metody sztucznej inteligencji Automatyka i Robotyka - studia stacjonarne II stopnia Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. Inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Wykład 7 - 2015/2016 Systemy rozmyte – wnioskowanie – podejście formalne 1

Metody sztucznej inteligencji - Technologie rozmyte i neuronowe 2015/2016 Systemy rozmyte – wnioskowanie formalne Wnioskowanie rozmyte, nazywane też rozumowaniem przybliżonym, jest procedurą wnioskowania, która wyprowadza wnioski w oparciu o zbiór rozmytych reguł IF-THEN i znane fakty Wnioskowanie w systemie opartym o reguły jest procesem opartym na złożeniowej zasadzie wnioskowania (Zadeh-1973) Złożeniowa reguła wnioskowania - analogie z klasyczną analizą Zadania: a) znaleźć wartość b opowiadającą wartości a przy zadanym odwzorowaniu f punktowym b) znaleźć przedział b odpowiadający przedziałowi a przy zadanym odwzorowaniu f przedziałowym 2

Metody sztucznej inteligencji - Technologie rozmyte i neuronowe 2015/2016 Systemy rozmyte – wnioskowanie formalne Inaczej: Wnioskowanie rozmyte, jest procesem wyznaczania rozmytego zbioru wyjścia systemu w oparciu o zbiór rozmytych reguł IF-THEN i rozmyte zbiory wejścia Każda reguła może być rozważana jako relacja rozmyta (rozmyte ograniczenie na jednoczesne występowanie określonych wartości x oraz y) z funkcją przynależności obliczaną z formuły (dla uproszczenia zapisu opuścimy dalej indeks i) 3

Metody sztucznej inteligencji - Technologie rozmyte i neuronowe 2015/2016 Systemy rozmyte – wnioskowanie formalne Operator I może być: implikacją rozmytą w sensie klasycznym implikacją rozmytą inżynierską (t-normą) I implikacja rozmyta w sensie klasycznym: - jeżeli przesłanka zachodzi to konkluzja musi zachodzić - jeżeli przesłanka nie zachodzi nie potrafimy nic powiedzieć o zachodzeniu konkluzji - relacja nie może być odwrócona (nie jest symetryczna) 4

Metody sztucznej inteligencji - Technologie rozmyte i neuronowe 2015/2016 Systemy rozmyte – wnioskowanie formalne Przykłady implikacji rozmytej klasycznej: - implikacja Łukasiewicza - implikacja Kleene-Diene 5

Metody sztucznej inteligencji - Technologie rozmyte i neuronowe 2015/2016 Systemy rozmyte – wnioskowanie formalne I implikacja rozmyta w sensie inżynierskim: - implikacja zachodzi jeżeli zachodzi przesłanka i konkluzja - relacja może być odwrócona (jest symetryczna) Przykłady implikacji rozmytej inżynierskiej: - implikacja Mamdani’ego (t-norma MIN) - implikacja Larsena (t-norma PROD) 6

Metody sztucznej inteligencji - Technologie rozmyte i neuronowe 2015/2016 Niech: Systemy rozmyte – wnioskowanie formalne Złożeniowa reguła wnioskowania (Zadeh’a) - relacja rozmyta określona na przestrzeni rozważań - zbiór rozmyty określona na przestrzeni rozważań oraz: - funkcja przynależności pary - funkcja przynależności do relacji rozmytej do zbioru rozmytego Pamiętając, że: wynik złożenia zbioru A oraz relacji F rzutowany na przestrzeń Y jest określony 7

Metody sztucznej inteligencji - Technologie rozmyte i neuronowe 2015/2016 Systemy rozmyte – wnioskowanie formalne Używając np. t-normy min dla operacji przecięcia: i rzutując to przecięcie na przestrzeń Y otrzymamy funkcję wyniku złożenia w tej przestrzeni Zbiór B możemy zatem wyrazić: 8

Metody sztucznej inteligencji - Technologie rozmyte i neuronowe 2015/2016 Ilustracja: Relacja rozmyta F Systemy rozmyte – wnioskowanie formalne Zbiór rozmyty A i jego rozszerzenie cylindryczne Zadanie: Dana relacja rozmyta F na przestrzeni rozważań Xx. Y oraz zbiór rozmyty A na przestrzeni rozważań X Przecięcie F i A Projekcja przecięcia F i A na przestrzeń Y Znaleźć wynik złożenia relacji F i zbioru A określony w przestrzeni rozważań Y 9

Metody sztucznej inteligencji - Technologie rozmyte i neuronowe 2015/2016 Systemy rozmyte – wnioskowanie formalne Złożeniowa reguła wnioskowania (Zadeh’a) Jeżeli A jest zbiorem rozmytym określonym na przestrzeni rozważań X, a R jest dwuargumentową relacją zdefiniowaną na iloczynie kartezjańskim przestrzeni X x Y, to złożenie A i R oznaczone jako A R daje zbiór rozmyty określony w przestrzeni rozważań Y funkcją przynależności B(x, y) określoną wzorem: gdzie: A jest rozszerzeniem cylindrycznym A na przestrzeń X x Y 10

Metody sztucznej inteligencji - Technologie rozmyte i neuronowe 2015/2016 Systemy rozmyte – wnioskowanie formalne Uogólniona złożeniowa reguła wnioskowania Jeżeli A jest zbiorem rozmytym określonym na przestrzeni rozważań X, a R jest dwuargumentową relacją zdefiniowaną na iloczynie kartezjańskim przestrzeni X x Y, to złożenie A i R oznaczone jako A R daje zbiór rozmyty określony w przestrzeni rozważań Y funkcją przynależności B(x, y) określoną wzorem: gdzie: A jest rozszerzeniem cylindrycznym A na przestrzeń X x Y 11

Metody sztucznej inteligencji - Technologie rozmyte i neuronowe 2015/2016 Systemy rozmyte – wnioskowanie formalne Wykorzystując złożeniową regułę wnioskowania można sformułować procedurę wnioskowania rozmytego Każda reguła IF-THEN może być traktowana jako relacja rozmyta (rozmyte ograniczenie na jednoczesne pojawienie się x oraz y): R: (Xx. Y) [0, 1] obliczana Operator I może być typu (i) „A pociąga za sobą B” - uogólnienie implikacji klasycznej, albo typu (ii) „A powiązane z B” – operacja przecięcia realizowana t-normą 12

Metody sztucznej inteligencji - Technologie rozmyte i neuronowe 2015/2016 Systemy rozmyte – wnioskowanie formalne Niech A, A’ oraz B będą zbiorami rozmytymi (wartościami zmiennej lingwistycznej) w przestrzeniach rozważań X, X oraz Y, odpowiednio. Załóżmy, że implikacja rozmyta A B jest dana relacją rozmytą R określoną na X x Y. Wówczas zbiór rozmyty B’ indukowany przez fakt „x jest A’ ” oraz regułę „jeżeli x jest A to y jest B” jest określony przez funkcję przynależności: lub równoważnie: 13

Metody sztucznej inteligencji - Technologie rozmyte i neuronowe 2015/2016 Systemy rozmyte – wnioskowanie formalne Realizacje: Podejście formalne oparte o relacje rozmyte – systemy czystej logiki rozmytej Podejście uproszczone – wnioskowanie Mamdaniego – systemy z rozmywaniem i wyostrzaniem 14

Metody sztucznej inteligencji - Technologie rozmyte i neuronowe 2015/2016 Systemy rozmyte – wnioskowanie formalne Podejście formalne 1. Przedstaw każdą regułę IF-THEN jako relację rozmytą 2. Zagreguj posiadane relacje w jedną reprezentatywną dla całej bazy reguł 3. Mając określone wejście, użyj reguły złożeniowej dla określenia odpowiadającego mu wyjścia 15

Metody sztucznej inteligencji - Technologie rozmyte i neuronowe 2015/2016 Systemy rozmyte – wnioskowanie formalne Wnioskowanie z jedną regułą 1. Oblicz funkcję przynależności relacji implikacji 2. Użyj regułę złożeniową dla obliczenia B’ z A’ Przykład graficzny: 16

Metody sztucznej inteligencji - Technologie rozmyte i neuronowe 2015/2016 Systemy rozmyte – wnioskowanie formalne Praktycznie obliczenia relacyjne mogą być prowadzone w dyskretnych przestrzeniach rozważań Przykład: Rozważmy regułę: ze zbiorami rozmytymi A oraz B danymi Niech zbiór rozmyty wejścia 17

Metody sztucznej inteligencji - Technologie rozmyte i neuronowe 2015/2016 Systemy rozmyte – wnioskowanie formalne Używając t-normy min (implikacja Mamadaniego) macierz relacji RM reguły IF-THEN otrzymujemy w postaci 18

Metody sztucznej inteligencji - Technologie rozmyte i neuronowe 2015/2016 Systemy rozmyte – wnioskowanie formalne Zbiory wejścia: przesłanki A i faktu A’ Stosując regułę złożeniową wnioskowania obliczymy zbiór wyjścia 19

Metody sztucznej inteligencji - Technologie rozmyte i neuronowe 2015/2016 Systemy rozmyte – wnioskowanie formalne Wybierając ponownie zastosowanie t-normy min jako operatora przecięcia obliczymy je dla aktualnego zbioru wejścia i relacji 20

Metody sztucznej inteligencji - Technologie rozmyte i neuronowe 2015/2016 Systemy rozmyte – wnioskowanie formalne Zbiory wyjścia: konkluzji B i faktu B’ 21

Metody sztucznej inteligencji - Technologie rozmyte i neuronowe 2015/2016 Systemy rozmyte – wnioskowanie formalne Używając operatora implikacji Łukasiewicza otrzymamy macierz relacji RŁ reguły IF-THEN w postaci 22

Metody sztucznej inteligencji - Technologie rozmyte i neuronowe 2015/2016 Systemy rozmyte – wnioskowanie formalne Wybierając zastosowanie jako operatora przecięcia t-normę Łukasiewicza 23

Metody sztucznej inteligencji - Technologie rozmyte i neuronowe 2015/2016 Systemy rozmyte – wnioskowanie formalne Zbiory wyjścia: konkluzji B i faktu B’ 24

Metody sztucznej inteligencji - Technologie rozmyte i neuronowe 2015/2016 Systemy rozmyte – wnioskowanie formalne Implikacja inżynierska Implikacja klasyczna - Przyjmuje wartość zero kiedy tylko przesłanka lub konkluzja, bądź obydwie nie są prawdziwe - Przyjmuje wartość zero tylko, kiedy przesłanka jest prawdziwa, a konkluzja nie - Kiedy przesłanka nie jest prawdziwa, przyjmuje wartość 1 niezależnie od wartości konkluzji Wpływ na wynik wnioskowania i wybór metody wyostrzania! 25

Metody sztucznej inteligencji - Technologie rozmyte i neuronowe 2015/2016 Systemy rozmyte – wnioskowanie formalne Wnioskowanie z wieloma regułami 1. Oblicz relację implikacji dla każdej z relacji 2. Zagreguj relacje Ri w jedną całościową 3. Użyj regułę złożeniową dla obliczenia B’ z A’ 26

Metody sztucznej inteligencji - Technologie rozmyte i neuronowe 2015/2016 Systemy rozmyte – wnioskowanie formalne Agregacja reguł Baza reguł jest przedstawiana za pomocą agregacji relacji Ri odpowiadających poszczególnym regułom w pojedynczą relację Jeżeli Ri jest typu „A pociąga za sobą B” (implikacja w sensie klasycznym) reguła całościowa jest uzyskiwana za pomocą operatora przecięcia poszczególnych relacji Ri (operatora t-normy) Jeżeli Ri jest typu „A powiązane z B” (implikacja inżynierska) reguła całościowa jest uzyskiwana za pomocą operatora połączenia poszczególnych relacji Ri (operatora s-normy) 27

Metody sztucznej inteligencji - Technologie rozmyte i neuronowe 2015/2016 Systemy rozmyte – wnioskowanie formalne Przykład – model lingwistyczny spalania gazu przy stałym natężeniu dopływu gazu Dyskretyzacja przestrzeni rozważań Tablice funkcji przynależności: Przesłanek Wartość lingwistyczna Konkluzji Element dziedziny 0 1 2 3 Low 1. 0 0. 6 0. 0 OK 0. 0 0. 4 1. 0 0. 4 High 0. 0 0. 1 1. 0 Wartość lingwistyczna Element dziedziny 0 25 50 75 100 Low 1. 0 0. 6 0. 0 High 0. 0 0. 3 0. 9 1. 0 28

Metody sztucznej inteligencji - Technologie rozmyte i neuronowe 2015/2016 Systemy rozmyte – wnioskowanie formalne Baza reguł: Dziedziny lingwistyczne reguł: R 1: Lowx. Low; R 2: OKx. High; R 3: Highx. Low; Macierze implikacji dla poszczególnych reguł: wybieramy t-normę MIN: R 1: Lowx. Low 29

Metody sztucznej inteligencji - Technologie rozmyte i neuronowe 2015/2016 Systemy rozmyte – wnioskowanie formalne R 2: OKx. High R 3: Highx. Low 30

Metody sztucznej inteligencji - Technologie rozmyte i neuronowe 2015/2016 Systemy rozmyte – wnioskowanie formalne Agregacja reguł: 31

Metody sztucznej inteligencji - Technologie rozmyte i neuronowe 2015/2016 Systemy rozmyte – wnioskowanie formalne Relacje reguł graficznie i ich agregacja – graficzna ilustracja (większa rozdzielczość dyskretyzacji przestrzeni rozważań): R 1: Lowx. Low R= R 1 R 2 R 3 R 2: OKx. High R 3: Highx. Low 32

Metody sztucznej inteligencji - Technologie rozmyte i neuronowe 2015/2016 Systemy rozmyte – wnioskowanie formalne Grafik/wykres rozmyty Wykres rozmyty modelu lingwistycznego z przykładu. Ciemniejsze zacieniowanie odpowiada większemu stopniowi przynależności. Linia ciągła jest możliwą funkcją punktową reprezentującą podobną relację jak model rozmyty 33

Metody sztucznej inteligencji - Technologie rozmyte i neuronowe 2015/2016 Systemy rozmyte – wnioskowanie formalne Wnioskowanie Niech zbiór rozmyty wejścia - Somewhat Low (raczej niskie) 34

Metody sztucznej inteligencji - Technologie rozmyte i neuronowe 2015/2016 Systemy rozmyte – wnioskowanie formalne Wybieramy t-normę złożenia - MIN: Approximately Low 35

Metody sztucznej inteligencji - Technologie rozmyte i neuronowe 2015/2016 Systemy rozmyte – wnioskowanie formalne Niech teraz zbiór rozmyty wejścia - Approximately więcej OK) OK (mniej 36

Metody sztucznej inteligencji - Technologie rozmyte i neuronowe 2015/2016 Systemy rozmyte – wnioskowanie formalne Wybieramy t-normę złożenia - MIN: Approximately High 37

Metody sztucznej inteligencji - Technologie rozmyte i neuronowe 2015/2016 Systemy rozmyte – wnioskowanie formalne Niedogodność metody formalnej: konieczność wykonywania i przechowywania wyników obliczeń relacyjnych Można pokazać, że dla przypadków 1. korzystania do reprezentacji reguł z implikacji rozmytych klasycznych i dla punktowych (crisp) wejść 2. korzystania do reprezentacji reguł z t – norm (tzw. implikacje inżynierskie) i dla wejść zarówno punktowych (crisp) jak i rozmytych schemat wnioskowania może być uproszczony przez ominięcie obliczeń relacyjnych 38

Metody sztucznej inteligencji - Technologie rozmyte i neuronowe 2015/2016 Systemy rozmyte – wnioskowanie formalne Dla korzystania do reprezentacji reguł z t – norm (tzw. implikacje inżynierskie) i dla wejść zarówno punktowych (crisp) jak i rozmytych uproszczenia te prowadzą do powszechnie znanego schematu wnioskowania nazywanego wnioskowaniem Mamdaniego Ebrahim MAMDANI Imperial College of Science, Technology and Medicine, University of London 39

Metody sztucznej inteligencji - Technologie rozmyte i neuronowe 2015/2016 Systemy rozmyte – wnioskowanie formalne Dziękuję za uwagę – koniec materiału prezentowanego podczas wykładu 40