Metody sztucznej inteligencji Technologie rozmyte i neuronowe 20152016

Metody sztucznej inteligencji - Technologie rozmyte i neuronowe 2015/2016 Systemy rozmyte – wnioskowanie Mamdani’ego I Metody sztucznej inteligencji Automatyka i Robotyka - studia stacjonarne II stopnia Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. Inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Wykład 8 - 2015/2016 Systemy rozmyte – wnioskowanie – podejście Mamdani’ego 1

Metody sztucznej inteligencji - Technologie rozmyte i neuronowe 2015/2016 Systemy rozmyte – wnioskowanie Mamdani’ego I Model lingwistyczny – wnioskowanie Mamdani’ego Zakres stosowania: 1. reguły traktowane jako implikacje w sensie klasycznym; wejścia punktowe „A pociąga za sobą B” 2. reguły traktowane jako implikacje inżynierskie; wejścia punktowe i rozmyte „A powiązane z B” 2

Metody sztucznej inteligencji - Technologie rozmyte i neuronowe 2015/2016 Systemy rozmyte – wnioskowanie Mamdani’ego I Szkic metody Mamdani’iego – stwierdzenie przesłanki jednoatomowe Załóżmy, że wartość wejścia rozmytego x wynosi: dla którego wartość wyjścia rozmytego y jest określana ze złożeniowej reguły wnioskowania dla relacji R danej zbiorem reguł: 3

Metody sztucznej inteligencji - Technologie rozmyte i neuronowe 2015/2016 Systemy rozmyte – wnioskowanie Mamdani’ego I Ponieważ korzystamy z operatorów implikacji inżynierskich czyli z tnorm, więc agregacja reguł zbioru R może być uzyskana za pomocą operatora połączenia max gdzie I jest operatorem t-normy (implikacja inżynierska) zatem: stąd, w oparciu o złożeniową regułę wnioskowania 4

Metody sztucznej inteligencji - Technologie rozmyte i neuronowe 2015/2016 Systemy rozmyte – wnioskowanie Mamdani’ego I Po przekształceniach, otrzymuje się ostatecznie: Oznaczmy Wielkość tę nazywa się stopniem spełnienia (degree of fulfillment) przesłanki i-tej teguły Zatem: 5

Metody sztucznej inteligencji - Technologie rozmyte i neuronowe 2015/2016 Systemy rozmyte – wnioskowanie Mamdani’ego I Wnioskowanie Mamdani’ego 1. Oblicz stopień spełnienia przesłanki każdej z reguł przez dane wejście: 2. Oblicz zbiory rozmyte wyjścia każdej z reguł dla danego wejścia : 3. Zagreguj zbiory rozmyte wyjścia uzyskując odpowiedź systemu: 6

Metody sztucznej inteligencji - Technologie rozmyte i neuronowe 2015/2016 Systemy rozmyte – wnioskowanie Mamdani’ego I Wnioskowanie Mamdani’ego – czysty system rozmyty -ilustracja 7

Metody sztucznej inteligencji - Technologie rozmyte i neuronowe 2015/2016 Systemy rozmyte – wnioskowanie Mamdani’ego I Przykład – model lingwistyczny spalania gazu przy stałym natężeniu dopływu gazu (system SISO) Mieliśmy: Zbiory rozmyte wejścia Zbiory rozmyte wyjścia Baza reguł: Zbiór rozmyty wejścia - Somewhat Low (raczej niskie) 8

Metody sztucznej inteligencji - Technologie rozmyte i neuronowe 2015/2016 Systemy rozmyte – wnioskowanie Mamdani’ego I Procedura wnioskowania Mamdani’ego 1. Obliczenie stopnia spełnienia przesłanek Wybieramy t-normę MIN dla obliczania stopnie spełnienia przesłanek 9

Metody sztucznej inteligencji - Technologie rozmyte i neuronowe 2015/2016 Systemy rozmyte – wnioskowanie Mamdani’ego I 2. Obliczenie zbiorów rozmytych wyjścia: Wybieramy t-normę MIN dla obliczania zbiorów rozmytych wyjścia każdej z reguł 10

Metody sztucznej inteligencji - Technologie rozmyte i neuronowe 2015/2016 Systemy rozmyte – wnioskowanie Mamdani’ego I 3. Zagregowanie zbiorów rozmytych wyjścia: Max Uzyskany uprzednio wynik – podejście formalne Approximately Low 11

Metody sztucznej inteligencji - Technologie rozmyte i neuronowe 2015/2016 Systemy rozmyte – wnioskowanie Mamdani’ego I Przykład – model lingwistyczny poziomu cieczy w zbiorniku Mieliśmy: Zbiory rozmyte wejścia Zbiory rozmyte wyjścia Baza reguł: 12

Metody sztucznej inteligencji - Technologie rozmyte i neuronowe 2015/2016 Systemy rozmyte – wnioskowanie Mamdani’ego I Niech zbiór rozmyty wejścia - singleton R 1: stopień spełnienia przesłanki większy od zera R 2: stopień spełnienia przesłanki większy od zera R 3: stopień spełnienia przesłanki równy zeru 13

Metody sztucznej inteligencji - Technologie rozmyte i neuronowe 2015/2016 Systemy rozmyte – wnioskowanie Mamdani’ego I Agregacja zbioru rozmytego wyjścia Jakiego poziomu spodziewać? cieczy można się Wynik wnioskowania rozmytego B’ jest zbiorem rozmytym ! Jeżeli występuje wymaganie, aby wyjście systemu rozmytego był ostrą liczbą, wyjściowy zbiór rozmyty musi być poddany wyostrzaniu defuzyfikacji 14

Metody sztucznej inteligencji - Technologie rozmyte i neuronowe 2015/2016 Systemy rozmyte – wnioskowanie Mamdani’ego I Wyostrzanie - defuzyfikacja Defuzyfikacja zbioru rozmytego B’(y) (całościowej wynikowej funkcji przynależności zbioru reguł i faktu) to operacja określenia „ostrej” wartości y’ reprezentującej ten zbiór (w sposób jak najbardziej sensowny) Najbardziej znane metody defuzyfikacji: metoda środka maksimum (SM) – Middle of Max (MOM), Mean of Maxima (MOM) metoda pierwszego maksimum (PM) – Smallest of Max (SOM), metoda ostatniego maksimum (OM) – Largest of Max (LOM) metoda środka ciężkości (SC) - Centroid of Area (COA), Center of Gravity (COG) metoda środka sum (SS) - Bisector of Area (BOA) 15

Metody sztucznej inteligencji - Technologie rozmyte i neuronowe 2015/2016 Systemy rozmyte – wnioskowanie Mamdani’ego I Wyostrzanie - defuzyfikacja 16

Metody sztucznej inteligencji - Technologie rozmyte i neuronowe 2015/2016 Systemy rozmyte – wnioskowanie Mamdani’ego I Metoda środka ciężkości (SC) - Centroid of Area (COA), Center of Gravity (COG) Metoda środka ciężkości (SC) za ostrego reprezentanta y’ wynikowego zbioru rozmytego konkluzji B’ zdefiniowanego funkcją przynależności przyjmuje współrzędną y środka ciężkości powierzchni pod krzywą określoną tą funkcją 17

Metody sztucznej inteligencji - Technologie rozmyte i neuronowe 2015/2016 Systemy rozmyte – wnioskowanie Mamdani’ego I Metoda środka maksimum (SM) - Middle of Max (MOM) Metoda środka maksimum (SM) za ostrego reprezentanta y’ wynikowego zbioru rozmytego konkluzji B’ zdefiniowanego funkcją przynależności przyjmuje współrzędną y będącą wartością średnią wyjść dla których wynikowa funkcja przynależności osiąga maksimum 18

Metody sztucznej inteligencji - Technologie rozmyte i neuronowe 2015/2016 Systemy rozmyte – wnioskowanie Mamdani’ego I Metoda środka sum (SS) - Bisector of Area (BOA) Metoda środka sum (SS) za ostrego reprezentanta y’ wynikowego zbioru rozmytego konkluzji B’ zdefiniowanego funkcją przynależności przyjmuje współrzędną y spełniającą zależność gdzie: 19

Metody sztucznej inteligencji - Technologie rozmyte i neuronowe 2015/2016 Systemy rozmyte – wnioskowanie Mamdani’ego I Metoda środka ciężkości (COA, COG) stosowana wnioskowaniu Mamdani’ego (podejście uproszczone) jest we Metoda środka maksimum (MOM) stosowana jest we wnioskowaniu opartym na podejściu formalnym 20

Metody sztucznej inteligencji - Technologie rozmyte i neuronowe 2015/2016 Systemy rozmyte – wnioskowanie Mamdani’ego I Przykład – ponownie, model lingwistyczny spalania gazu przy stałym natężeniu dopływu gazu (system SISO) Approximately Low 21

Metody sztucznej inteligencji - Technologie rozmyte i neuronowe 2015/2016 Podsumowanie : Rozważane dotychczas przypadki: modele Systemy rozmyte – wnioskowanie Mamdani’ego I miały struktury obejmujące - prosta przesłanka – jedna reguła - prosta przesłanka – wiele reguł Skupienie uwagi na: W schemacie wnioskowania Mamdani’ego jako operator implikacji najczęściej stosowany jest operator MIN (zaproponowany oryginalnie przez Mamdani’ego) oraz operator PROD Zbiór rozmyty wejścia A’ jest najczęściej singletonem z jądrem x 0 22

Metody sztucznej inteligencji - Technologie rozmyte i neuronowe 2015/2016 Systemy rozmyte – wnioskowanie Mamdani’ego I Przypadki dotychczas rozważone: I. Jedna reguła – jedna przesłanka Fakt: R: Reguła Wniosek x = A’ JEŚLI x = A TO y = B’ Wynik ogólny: 23

Metody sztucznej inteligencji - Technologie rozmyte i neuronowe 2015/2016 Systemy rozmyte – wnioskowanie Mamdani’ego I Reprezentacja reguły – t-norma Przecięcie zbiorów – t - norma w Stopień spełnienia przesłanki implikacji przez fakt 24

Metody sztucznej inteligencji - Technologie rozmyte i neuronowe 2015/2016 Systemy rozmyte – wnioskowanie Mamdani’ego I Implikacja Mamdaniego lub Larsena oraz wejście - singleton Dla: Implikacja Mamdaniego (MIN), złożenie MIN: Implikacja Larsena (PROD), złożenie PROD: 25

Metody sztucznej inteligencji - Technologie rozmyte i neuronowe 2015/2016 Systemy rozmyte – wnioskowanie Mamdani’ego I Ilustracja graficzna : Implikacja Mamdaniego (MIN), złożenie MIN: Implikacja Larsena (PROD), złożenie (PROD): 26

Metody sztucznej inteligencji - Technologie rozmyte i neuronowe 2015/2016 Systemy rozmyte – wnioskowanie Mamdani’ego I II. Dwie (wiele) reguły – jedna przesłanka x = A’ Fakt: R 1: Reguła JEŚLI x = A 1 TO y = B 1 R 2: Reguła JEŚLI x = A 2 TO y = B 2 Wniosek y = B’ Wynik ogólny: Niech Ponieważ operacja złożenia (implikacja) jest rozdzielna względem operacji połączenia (agregacja reguł) dowolna s-norma (t-konorma) 27

Metody sztucznej inteligencji - Technologie rozmyte i neuronowe 2015/2016 Systemy rozmyte – wnioskowanie Mamdani’ego I Ilustracja graficzna : implikacja Mamdaniego (MIN), złożenie MIN, agregacja MAX: 28

Metody sztucznej inteligencji - Technologie rozmyte i neuronowe 2015/2016 Systemy rozmyte – wnioskowanie Mamdani’ego I implikacja Larsena (PROD), złożenie (PROD), agregacja MAX: 29

Metody sztucznej inteligencji - Technologie rozmyte i neuronowe 2015/2016 Systemy rozmyte – wnioskowanie Mamdani’ego I Model lingwistyczny i proces wnioskowania z wykorzystaniem tego modelu przedstawiony został w ogólny sposób obejmujący przypadki SISO i MIMO Jednak. . . . Rozważane modele miały struktury obejmujące przypadki: - prosta przesłanka – jedna reguła - prosta przesłanka – wiele reguł Oznacza to, że w przypadku MIMO wszystkie zbiory rozmyte modelu rozważane były w jednej przestrzeni wektorowej z wielowymiarowymi funkcjami przynależności A wcześniej mówiliśmy, że. . . . Zwykle stwierdzenia przesłanek i stwierdzenia konkluzji formułowane są jako logiczne zdania w przestrzeni jednowymiarowej z funkcjami przynależności jednej zmiennej 30

Metody sztucznej inteligencji - Technologie rozmyte i neuronowe 2015/2016 Systemy rozmyte – wnioskowanie Mamdani’ego I Dla systemów MIMO: Potrzeba uogólnienia zaprezentowanych wyników na przypadek, kiedy funkcje przynależności występujące w stwierdzeniach są definiowane w przestrzeniach jednowymiarowych Ale na zakończenie Różne A’ Różne B” System rozmyty modeluje zależność wejście – wyjście Aproksymator 31

Metody sztucznej inteligencji - Technologie rozmyte i neuronowe 2015/2016 Systemy rozmyte – wnioskowanie Mamdani’ego I System Mamdaniego – aproksymator Przykład 1 Jeżeli X jest MAŁY TO Y jest MAŁY Jeżeli X jest ŚREDNI TO Y jest ŚREDNI Jeżeli X jest DUŻY TO Y jest DUŻY Realizacja: max – min, środek ciężkości 32

Metody sztucznej inteligencji - Technologie rozmyte i neuronowe 2015/2016 Systemy rozmyte – wnioskowanie Mamdani’ego I Dziękuję – koniec materiału prezentowanego podczas wykładu 33