I VETTORI Se ti chiedo Che et hai

I VETTORI

Se ti chiedo: “Che età hai? ” con quanti numeri rispondi? (NUMERI, bada, non “cifre”)

E se ti chiedo: “Che temperatura c’è nell’aula? ” con quanti numeri rispondi?

In tutti i casi è sufficiente 1 numero

In tutti i casi è sufficiente 1 numero Ho 14 anni

In tutti i casi è sufficiente 1 numero Ho 14 anni Ci sono 22 gradi

E se ti ordino: “Spostati di 5 metri” tu che cosa fai?

vai qui?

vai qui?

vai qui?

vai qui?

vai qui?

vai qui?

vai qui?

vai qui? 5 metri

SBAGLIATO!

Allora vai qui?

Allora vai qui?

Allora vai qui?

Allora vai qui?

Allora vai qui?

Allora vai qui?

Allora vai qui?

Allora vai qui? 5 metri

SBAGLIATO!

Come mai non riesci ad andare là dove voglio io?

Come mai non riesci ad andare là dove voglio io?

Come mai non riesci ad andare là dove voglio io?

Come mai non riesci ad andare là dove voglio io?

Come mai non riesci ad andare là dove voglio io?

Come mai non riesci ad andare là dove voglio io?

Come mai non riesci ad andare là dove voglio io?

Evidentemente un solo numero non è sufficiente per darti tutte le informazioni che voglio!

Proviamo così:

40° 55° 82°

Spostati di 5 metri in direzione 82° rispetto all’asse X 40° 55° 82° X

Spostati di 5 metri in direzione 82° rispetto all’asse X 82° X

vai qui? 82° X

vai qui? 82° X

vai qui? 82° X

vai qui? 82° X

vai qui? 82° X

vai qui? 82° X

vai qui? 82° X

vai qui? 82° X

5 metri vai qui? 82° X

5 metri SBAGLIATO! vai qui? 82° X

5 metri Sì: ancora sbagliato! Evidentemente nemmeno 2 numeri sono sufficienti a darti l’informazione giusta. 82° X

5 metri Proviamo con una terza informazione 82° X

Spostati di 5 metri in direzione 82° rispetto all’asse X 40° 55° 82° X

Spostati di 5 metri in direzione 82° rispetto all’asse X verso l’asse X 40° 55° 82° X

Spostati di 5 metri in direzione 82° rispetto all’asse X verso l’asse X 82° X

Spostati di 5 metri in direzione 82° rispetto all’asse X verso l’asse X 82° X

Spostati di 5 metri in direzione 82° rispetto all’asse X verso l’asse X 82° X

Spostati di 5 metri in direzione 82° rispetto all’asse X verso l’asse X 82° X

Spostati di 5 metri in direzione 82° rispetto all’asse X verso l’asse X 82° X

Spostati di 5 metri in direzione 82° rispetto all’asse X verso l’asse X 82° X

Spostati di 5 metri in direzione 82° rispetto all’asse X verso l’asse X X

Bravo! Proprio lì, dovevi andare! X

Bravo! Proprio lì, dovevi andare! X

Occorrono quindi almeno 3 informazioni per comunicare in modo corretto una grandezza come lo spostamento.

Occorrono quindi almeno 3 informazioni per comunicare in modo corretto una grandezza come lo spostamento. Più una quarta informazione, per dirti da dove devi partire.

I matematici hanno inventato uno strumento proprio adatto a questo scopo: il VETTORE

I matematici hanno inventato uno strumento proprio adatto a questo scopo: il VETTORE

Esso ha una intensità

Esso ha una intensità (corrisponde alla sua lunghezza)

Esso ha una intensità una direzione

Esso ha una intensità una direzione (corrisponde alla retta alla quale appartiene il segmento)

Esso ha una intensità una direzione un verso

Esso ha una intensità una direzione un verso (corrisponde all’orientamento della freccia)

Esso ha una intensità una direzione un verso ed un punto di applicazione

Esso ha una intensità una direzione un verso ed un punto di applicazione (corrisponde all’origine della freccia)

I VETTORI SI SOMMANO

Se ti dico: spostati di 2 metri, in direzione x, verso il +, a partire da A poi spostati di 3 metri, in direzione y, verso il +, a partire da dove sei arrivato. Tu che cosa fai? Y + A + X

Se ti dico: spostati di 2 metri, in direzione x, verso il +, a partire da A poi spostati di 3 metri, in direzione y, verso il +, a partire da dove sei arrivato. Tu che cosa fai? Y + A 2 metri B + X

Se ti dico: spostati di 2 metri, in direzione x, verso il +, a partire da A poi spostati di 3 metri, in direzione y, verso il +, a partire da dove sei arrivato. Tu che cosa fai? C + Y 3 metri A 2 metri B + X

Il risultato di questa operazione è che: sei partito da A e sei arrivato in C Y C + 3 metri A 2 metri B + X

Il risultato di questa operazione è che: sei partito da A e sei arrivato in C come se fossi andato direttamente da A a C Y C + 3 metri A 2 metri B + X

Il risultato di questa operazione è che: sei partito da A e sei arrivato in C come se fossi andato direttamente da A a C Y C + 3 metri A 2 metri B + X

Il risultato di questa operazione è che: sei partito da A e sei arrivato in C come se fossi andato direttamente da A a C Y C + In altre parole possiamo dire che il vettore S è la somma dei vettori S 1 ed S 2. S S 2 S = S 1 + S 2 S 1 A B + X

E se ti avessi detto: spostati di 3 metri, in direzione y, verso il +, a partire da A poi spostati di 2 metri, in direzione x, verso il +, a partire da dove sei arrivato. Tu che cosa avresti fatto? Y + A + X

E se ti avessi detto: spostati di 3 metri, in direzione y, verso il +, a partire da A poi spostati di 2 metri, in direzione x, verso il +, a partire da dove sei arrivato. Tu che cosa avresti fatto? B + Y 3 metri A + X

E se ti avessi detto: spostati di 3 metri, in direzione y, verso il +, a partire da A poi spostati di 2 metri, in direzione x, verso il +, a partire da dove sei arrivato. Tu che cosa avresti fatto? B C + Y 2 metri 3 metri A + X

E se ti avessi detto: spostati di 3 metri, in direzione y, verso il +, a partire da A poi spostati di 2 metri, in direzione x, verso il +, a partire da dove sei arrivato. Tu che cosa avresti fatto? B C + Y 2 metri 3 metri A + X

E se ti avessi detto: spostati di 3 metri, in direzione y, verso il +, a partire da A poi spostati di 2 metri, in direzione x, verso il +, a partire da dove sei arrivato. Tu che cosa avresti fatto? B C + Questo è lo stesso risultato Y 2 metri dell’operazione precedente! quindi: 3 metri S 1 + S 2 = S 2 + S 1 che è la proprietà commutativa rispetto alla somma. A + X

Y + A C + X

Y + A C + X

Y + A C + X

Y + A C + X

Questo procedimento va sotto il nome di REGOLA DEL PARALLELOGRAMMA in quanto la risultante della somma di due vettori corrisponde alla diagonale di un parallelogrammo i cui lati sono gli stessi vettori C + Y A + X

Vediamo un esempio

Vediamo un esempio Sommiamo il vettore V al vettore P

Vediamo un esempio Sommiamo il vettore V al vettore P V P

Vediamo un esempio Sommiamo il vettore V al vettore P V P Come si procede

Vediamo un esempio Sommiamo il vettore V al vettore P Come si procede 1 - si spostano i vettori parallelamente a sé stessi, fino a mettere in comune i punti di applicazione V P

Vediamo un esempio Sommiamo il vettore V al vettore P Come si procede 1 - si spostano i vettori parallelamente a sé stessi, fino a mettere in comune i punti di applicazione V P

Vediamo un esempio Sommiamo il vettore V al vettore P V P Come si procede 1 - si spostano i vettori parallelamente a sé stessi, fino a mettere in comune i punti di applicazione

Vediamo un esempio Sommiamo il vettore V al vettore P V Come si procede 1 - si spostano i vettori parallelamente a sé stessi, fino a mettere in comune i punti di applicazione 2 - si tracciano le parallele ai vettori che passano per le punte delle “frecce” P

Vediamo un esempio Sommiamo il vettore V al vettore P V Come si procede 1 - si spostano i vettori parallelamente a sé stessi, fino a mettere in comune i punti di applicazione 2 - si tracciano le parallele ai vettori che passano per le punte delle “frecce” P

Vediamo un esempio Sommiamo il vettore V al vettore P V Come si procede 1 - si spostano i vettori parallelamente a sé stessi, fino a mettere in comune i punti di applicazione 2 - si tracciano le parallele ai vettori che passano per le punte delle “frecce” P

Vediamo un esempio Sommiamo il vettore V al vettore P V Come si procede 1 - si spostano i vettori parallelamente a sé stessi, fino a mettere in comune i punti di applicazione 2 - si tracciano le parallele ai vettori che passano per le punte delle “frecce” P 3 - si traccia la diagonale che congiunge i punti di applicazione allo spigolo opposto del parallelogramma

Vediamo un esempio Sommiamo il vettore V al vettore P Come si procede 1 - si spostano i vettori parallelamente a sé stessi, fino a mettere in comune i punti di applicazione V S 2 - si tracciano le parallele ai vettori che passano per le punte delle “frecce” P 3 - si traccia la diagonale che congiunge i punti di applicazione allo spigolo opposto del parallelogramma

Vediamo un esempio Sommiamo il vettore V al vettore P V S P Il vettore S così ottenuto è la somma dei vettori Ve. P Come si procede 1 - si spostano i vettori parallelamente a sé stessi, fino a mettere in comune i punti di applicazione 2 - si tracciano le parallele ai vettori che passano per le punte delle “frecce” 3 - si traccia la diagonale che congiunge i punti di applicazione allo spigolo opposto del parallelogramma

Si può procedere anche in un altro modo V P

Si può procedere anche in un altro modo Come si procede 1 - si spostano i vettori parallelamente a sé stessi, fino a metterli in fila, come a costruire una catena V P

Si può procedere anche in un altro modo V Come si procede 1 - si spostano i vettori parallelamente a sé stessi, fino a metterli in fila, come a costruire una catena P

Si può procedere anche in un altro modo V Come si procede 1 - si spostano i vettori parallelamente a sé stessi, fino a metterli in fila, come a costruire una catena P 2 - si congiunge il punto di applicazione del primo vettore con la “freccia” dell’ultimo

Si può procedere anche in un altro modo Come si procede 1 - si spostano i vettori parallelamente a sé stessi, fino a metterli in fila, come a costruire una catena V P S 2 - si congiunge il punto di applicazione del primo vettore con la “freccia” dell’ultimo

Si può procedere anche in un altro modo Come si vede il risultato è identico al precedente V Come si procede 1 - si spostano i vettori parallelamente a sé stessi, fino a metterli in fila, come a costruire una catena P S 2 - si congiunge il punto di applicazione del primo vettore con la “freccia” dell’ultimo

Si può procedere anche in un altro modo Come si vede il risultato è identico al precedente V V P S S P Come si procede 1 - si spostano i vettori parallelamente a sé stessi, fino a metterli in fila, come a costruire una catena 2 - si congiunge il punto di applicazione del primo vettore con la “freccia” dell’ultimo

Questo procedimento si chiama: “poligono funicolare”, ed è comodo quando i vettori sono molti V Come si procede 1 - si spostano i vettori parallelamente a sé stessi, fino a metterli in fila, come a costruire una catena P S 2 - si congiunge il punto di applicazione del primo vettore con la “freccia” dell’ultimo

Questo procedimento si chiama: “poligono funicolare”, ed è comodo quando i vettori sono molti Come si procede 1 - si spostano i vettori parallelamente a sé stessi, fino a metterli in fila, come a costruire una catena 2 - si congiunge il punto di applicazione del primo vettore con la “freccia” dell’ultimo

Questo procedimento si chiama: “poligono funicolare”, ed è comodo quando i vettori sono molti Come si procede 1 - si spostano i vettori parallelamente a sé stessi, fino a metterli in fila, come a costruire una catena 2 - si congiunge il punto di applicazione del primo vettore con la “freccia” dell’ultimo

Questo procedimento si chiama: “poligono funicolare”, ed è comodo quando i vettori sono molti Come si procede 1 - si spostano i vettori parallelamente a sé stessi, fino a metterli in fila, come a costruire una catena 2 - si congiunge il punto di applicazione del primo vettore con la “freccia” dell’ultimo

Questo procedimento si chiama: “poligono funicolare”, ed è comodo quando i vettori sono molti Come si procede 1 - si spostano i vettori parallelamente a sé stessi, fino a metterli in fila, come a costruire una catena 2 - si congiunge il punto di applicazione del primo vettore con la “freccia” dell’ultimo

Questo procedimento si chiama: “poligono funicolare”, ed è comodo quando i vettori sono molti S Come si procede 1 - si spostano i vettori parallelamente a sé stessi, fino a metterli in fila, come a costruire una catena 2 - si congiunge il punto di applicazione del primo vettore con la “freccia” dell’ultimo

I VETTORI SI SOTTRAGGONO

Basta considerare che:

Basta considerare che: +V

Basta considerare che: +V -V

Prova da solo, per esercizio, a determinare il vettore: S=A-B B A

Prova da solo, per esercizio, a determinare il vettore: S = A + ( - B) B A

Prova da solo, per esercizio, a determinare il vettore: S = A + ( - B) -B A

Prova da solo, per esercizio, a determinare il vettore: S = A + ( - B) -B A

Prova da solo, per esercizio, a determinare il vettore: S = A + ( - B) -B A

Prova da solo, per esercizio, a determinare il vettore: S = A + ( - B) -B S A

I VETTORI SI SCOMPONGONO

PROBLEMA 1 SCOMPORRE UN NUMERO IN DUE NUMERI TALI CHE LA LORO SOMMA DIA IL NUMERO DI PARTENZA

PROBLEMA 1 SCOMPORRE UN NUMERO IN DUE NUMERI TALI CHE LA LORO SOMMA DIA IL NUMERO DI PARTENZA 50 +

PROBLEMA 1 SCOMPORRE UN NUMERO IN DUE NUMERI TALI CHE LA LORO SOMMA DIA IL NUMERO DI PARTENZA 50 + QUANTE SOLUZIONI CI SONO?

PROBLEMA 1 SCOMPORRE UN NUMERO IN DUE NUMERI TALI CHE LA LORO SOMMA DIA IL NUMERO DI PARTENZA 50 +

PROBLEMA 1 SCOMPORRE UN NUMERO IN DUE NUMERI TALI CHE LA LORO SOMMA DIA IL NUMERO DI PARTENZA 50 30 + 20

PROBLEMA 1 SCOMPORRE UN NUMERO IN DUE NUMERI TALI CHE LA LORO SOMMA DIA IL NUMERO DI PARTENZA 50 12 + 38

PROBLEMA 1 SCOMPORRE UN NUMERO IN DUE NUMERI TALI CHE LA LORO SOMMA DIA IL NUMERO DI PARTENZA 50 100 + -50

PROBLEMA 1 SCOMPORRE UN NUMERO IN DUE NUMERI TALI CHE LA LORO SOMMA DIA IL NUMERO DI PARTENZA 50 0 + 50

PROBLEMA 1 SCOMPORRE UN NUMERO IN DUE NUMERI TALI CHE LA LORO SOMMA DIA IL NUMERO DI PARTENZA 50 + CI SONO INFINITE SOLUZIONI

PROBLEMA 2 SCOMPORRE UN NUMERO IN DUE NUMERI TALI CHE LA LORO SOMMA DIA IL NUMERO DI PARTENZA E CHE UNO DEI DUE SIA 40 50 +

PROBLEMA 2 SCOMPORRE UN NUMERO IN DUE NUMERI TALI CHE LA LORO SOMMA DIA IL NUMERO DI PARTENZA E CHE UNO DEI DUE SIA 40 50 40 + 10

PROBLEMA 2 SCOMPORRE UN NUMERO IN DUE NUMERI TALI CHE LA LORO SOMMA DIA IL NUMERO DI PARTENZA E CHE UNO DEI DUE SIA 40 50 40 + 10 1 SOLA SOLUZIONE!

PROBLEMA 3 SCOMPORRE UN VETTORE IN DUE VETTORI TALI CHE LA LORO SOMMA DIA IL VETTORE DI PARTENZA

a

a

a

a

a ANCHE QUI CI SONO INFINITE SOLUZIONI

PROBLEMA 4 SCOMPORRE UN VETTORE IN DUE VETTORI TALI CHE LA LORO SOMMA DIA IL VETTORE DI PARTENZA E CHE LE LORO DIREZIONI SIANO NOTE

IN QUESTO CASO C’E’ UNA SOLUZIONE [2] a [1]

IN QUESTO CASO C’E’ UNA SOLUZIONE VEDIAMO COME SI PROCEDE [2] a [1]

a) si manda la parallela alla direzione [1] che passa per la “punta” del vettore a [2] a [1]

a) si manda la parallela alla direzione [1] che passa per la “punta” del vettore a [2] a [1]

b) si manda la parallela alla direzione [2] che passa per la “punta” del vettore a [2] a [1]

b) si manda la parallela alla direzione [2] che passa per la “punta” del vettore a [2] a [1]

In questo modo si costruisce un parallelogramma i cui lati coincidono con le direzioni [1] e [2] e la cui diagonale è a [2] a [1]

In questo modo si costruisce un parallelogramma i cui lati coincidono con le direzioni [1] e [2] e la cui diagonale è a [2] a [1]

Per cui questi sono i vettori componenti [2] a [1]

Per cui questi sono i vettori componenti a 2 [2] a a 1 [1]

ESERCIZIO

NEL DESERTO, UN TIZIO PARTE DAL PUNTO A E PERCORRE 30 KM VERSO NORD A

NEL DESERTO, UN TIZIO PARTE DAL PUNTO A E PERCORRE 30 KM VERSO NORD B 30 Km A

N NE NO E O S UN SUO AMICO, PARTENDO SEMPRE DA A, SI B MUOVE PRIMA IN DIREZIONE NORD-EST, POI , ESSENDOSI 30 Km ACCORTO DI AVER SBAGLIATO STRADA, IN DIREZIONE NORD-OVEST A

QUANDO I DUE SI INCONTRANO, IN B, QUANTA STRADA HA PERCORSO L’AMICO? B 30 Km N NE NO E O A S

SOLUZIONE

30 Km N NE NO E O A S

NE 30 Km N NE NO E O A S

NO NE 30 Km N NE NO E O A S

NO NE 30 Km N NE NO E O A S

NO NE 30 Km N NE NO E O A S

NO NE 30 Km N NE NO E O A S

NO NE 30 Km N NE NO E O A S

NO NE 30 Km N NE NO E O A S

NO NE 30 Km N NE NO E O A S

NO NE 30 Km N NE NO E O A S

NO NE 30 Km N NE NO E O A S

NO NE 30 Km N NE NO E O A S

NO NE 30 Km N NE NO E O A S

NO NE 30 Km N NE NO E O A S

NO NE l 30 Km N NE NO E O A S

NO NE l 30 Km N NE NO E O A S Poiché è 90°, e è 45°, questa è la metà di un quadrato

NO NE Per il teorema di Pitagora: l l 2 + l 2 = 302 30 Km N NE NO E O A S Poiché è 90°, e è 45°, questa è la metà di un quadrato

NO NE Per il teorema di Pitagora: l l 2 + l 2 = 302 2 l 2 =N 900 30 Km NE NO E O A S Poiché è 90°, e è 45°, questa è la metà di un quadrato

NO NE Per il teorema di Pitagora: l l 2 + l 2 = 302 2 l 2 =N 900 NO l 2 = 30 Km NE 450 E O A S Poiché è 90°, e è 45°, questa è la metà di un quadrato

NO NE Per il teorema di Pitagora: l l 2 + l 2 = 302 2 l 2 =N 900 NO l 2 = Ol 30 Km NE 450 ~ 21, 21 Km E A S Poiché è 90°, e è 45°, questa è la metà di un quadrato

NO L’amico percorre in tutto circa 42, 4 Km. NE Per il teorema di Pitagora: l l 2 + l 2 = 302 2 l 2 =N 900 NO l 2 = Ol 30 Km NE 450 ~ 21, 21 Km E Poiché è 90°, e è 45°, questa è la metà di un quadrato A S fine