I S TUYN TNH V NG DNG CHNG

ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH VÀ ỨNG DỤNG CHƯƠNG 1

ĐỊNH NGHĨA MA TRẬN Một ma trận A cấp mxn là một bảng số hình chữ nhật gồm mxn phần tử, gồm m hàng và n cột.

ĐỊNH NGHĨA MA TRẬN Ký hiệu ma trận: Ví dụ: Đây là ma trận thực cấp 3 x 4. Gồm có 3 hàng và 4 cột Các phần tử

MA TRẬN VUÔNG Nếu m=n ta nói A là ma trận vuông cấp n. Đường chéo chính gồm các phần tử:

MA TRẬN KHÔNG Tất cả các phần tử đều bằng 0. Ký hiệu: 0 hay 0 mxn

MA TRẬN HÀNG, CỘT Ma trận hàng: chỉ có một hàng Ma trận cột: chỉ có một cột

MA TRẬN TAM GIÁC TRÊN Ma trận vuông Các phần tử dưới đường chéo chính bằng 0

MA TRẬN TAM GIÁC DƯỚI Ma trận vuông Các phần tử trên đường chéo chính bằng 0

MA TRẬN CHÉO Ma trận vuông Tam giác trên: dưới đường chéo chính bằng 0 Tam giác dưới: trên đường chéo chính bằng 0

MA TRẬN ĐƠN VỊ Ma trận chéo Các phần tử chéo đều bằng 1. Ký hiệu: In là ma trận đơn vị cấp n

MA TRẬN BẬC THANG Phần tử khác 0 đầu tiên của một hàng kể tử bên trái gọi là phần tử cơ sở của hàng đó. Ma trận bậc thang: Hàng không có phần tử cơ sở (nếu tồn tại) thì nằm dưới cùng. Phần tử cơ sở của hàng dưới nằm về bên phải (không cùng cột) so với phần tử cơ sở của hàng trên.

VÍ DỤ 1 Không là bậc thang

VÍ DỤ 2 bậc thang

MA TRẬN CHUYỂN VỊ

MA TRẬN ĐỐI XỨNG – PHẢN ĐỐI XỨNG

CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI SƠ CẤP 1. Đổi chỗ hai hàng với nhau 2. Thay một hàng bởi hàng đó nhân với một số khác 0 3. Thay một hàng bởi hàng đó cộng với hàng khác nhân với một số. 4. Tổng hợp: Tương tự ta có các phép bđsc trên cột.

VÍ DỤ 3 Thực hiện phép biến đổi ma trận: Ma trận A’ gọi là ma trận tương đương hàng với ma trận A. Ký hiệu: A’ ~ A

ĐƯA MA TRẬN VỀ DẠNG BẬC THANG Định lý. Mọi ma trận đều có thể đưa về dạng bậc thang bằng các phép biến đổi sơ cấp đối với hàng. Chú ý. Khi dùng các phép biến đổi sơ cấp đối với hàng ta thu được nhiều ma trận bậc thang khác nhau

CÁC PHÉP TOÁN TRÊN MA TRẬN 1. Ma trận bằng nhau 2. Cộng hai ma trận cùng cấp 3. Nhân một số với ma trận 4. Nhân hai ma trận 5. Lũy thừa của một ma trận

HAI MA TRẬN BẰNG NHAU Hai ma trận bằng nhau nếu các phần tử tương ứng bằng nhau.

CỘNG HAI MA TRẬN Cộng các phần tử tương ứng với nhau Điều kiện: hai ma trận phải cùng cấp

CỘNG HAI MA TRẬN Điều kiện: hai ma trận phải cùng cấp

NH N MỘT SỐ VỚI MA TRẬN Nhân một số với ma trận ta lấy số đó nhân vào tất cả các phần tử của ma trận. Ví dụ.

TÍNH CHẤT

PHÉP NH N HAI MA TRẬN Cho 2 ma trận: Khi này ma trận A nhân được với ma trận B Điều kiện: số cột ma trận trước bằng số dòng ma trận sau.

VÍ DỤ 5 Các ma trận nào nhân được với nhau?

QUI TẮC NH N Phần tử nằm ở vị trí ij của ma trận mới bằng hàng i của ma trận đầu nhân với cột j của ma trận sau. Ví dụ. Muốn tìm phần tử c 23 ta lấy hàng 2 của A nhận với cột 3 của B. (giống nhân tích vô hướng các vecto)

TÍNH CHẤT

LŨY THỪA CỦA MA TRẬN

VÍ DỤ 10

VÍ DỤ 11

HẠNG CỦA MA TRẬN Định nghĩa. Giả sử Amxn tương đương hàng (cột) với ma trận bậc thang E. Khi đó ta gọi hạng của ma trận A là số các hàng khác không của ma trận bậc thang Ký hiệu: r(A) hay rank(A) r(A) = số hàng khác không của ma trận bậc thang E Ma trận bậc thang của A: A→. . bđsc theo dòng… →A’ (có dạng bậc thang)

VÍ DỤ 12

VÍ DỤ 13 Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp tìm hạng các ma trận sau.

VÍ DỤ 14 Tìm hạng của ma trận

TÍNH CHẤT

VÍ DỤ 15

VÍ DỤ 16

MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO Ma trận vuông A được gọi là ma trận khả nghịch nếu tồn tại ma trận B sao cho: A. B=I=B. A Khi đó B được gọi là nghịch đảo của ma trận A. Kí hiệu: B=A-1

CHÚ Ý § Chỉ ma trận vuông mới có thể khả nghịch § Không phải bất kỳ ma trận vuông A nào cũng khả nghịch. Có rất nhiều ma trận vuông khả nghịch § Ma trận khả nghịch được gọi là ma trận không suy biến. § Ma trận không khả nghịch được gọi là ma trận suy biến.

SỰ TỒN TẠI MA TRẬN KHẢ NGHỊCH

MA TRẬN SƠ CẤP Ma trận thu được từ ma trận đơn vị I bằng đúng 1 phép biến đổi sơ cấp được gọi là ma trận sơ cấp. Ví dụ.

CHÚ Ý § Một phép biến đổi sơ cấp đối với hàng của ma trận A đồng nghĩa với nhân bên trái A với ma trận sơ cấp tương ứng. § Một phép biến đổi sơ cấp đối với cột của ma trận A đồng nghĩa với nhân bên phải A với ma trận sơ cấp tương ứng.

VÍ DỤ 17

BIẾN ĐỔI SƠ CẤP TÌM MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO Ta có:

VÍ DỤ 18 - TÌM MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO

VÍ DỤ 18 - TÌM MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO

TÍNH CHẤT Cho hai ma trận A, B đều khả nghịch. Ta có:

VÍ DỤ 19 Tìm m để các ma trận sau khả nghịch.

TỔNG HỢP Ma trận là gì? Phân loại? Các phép toán với ma trận? Hạng của ma trận? Ma trận khả nghịch?

BÀI 1

BÀI 2

BÀI 3

BÀI 4

BÀI 5

BÀI 6

ĐỊNH THỨC Cho ma trận A vuông, cấp n. Định thức của ma trận A, ký hiệu: Đây là một số thực, được xác định như sau:

ĐỊNH THỨC CẤP N≥ 3 Dùng phần bù đại số Gọi Mij là ma trận nhận được từ ma trận A bằng cách bỏ đi hàng thứ i và cột thứ j. Phần bù đại số của phần tử aij ký hiệu và xác định như sau:

VÍ DỤ 1 Cho ma trận: M 23=? ? ? A 23=? ? ?

KHAI TRIỂN ĐỊNH THỨC Định thức của ma trận vuông cấp n: Đây là khai triển theo dòng 1. Ta có thể khai triển dòng bất kỳ hoặt cột bất kỳ.

TỔNG QUÁT

VÍ DỤ 2 Tính định thức sau: Khai triển theo dòng 1: Khai triển theo dòng 2: Khai triển theo cột 1, cột 2 cũng cho kết quả tương tự.

VÍ DỤ 3 Tính định thức sau: Khai triển theo dòng 1: Khai triển theo cột 1. Nên chọn cột có nhiều số 0 để khai triển.

ĐỊNH THỨC CỦA MA TRẬN TAM GIÁC Định thức của ma trận tam giác bằng tích các số trên đường chéo chính. Định thức của ma trận chéo?

TÍNH ĐỊNH THỨC BẰNG BIẾN ĐỔI SƠ CẤP

TÍNH ĐỊNH THỨC BẰNG BĐSC

NGUYÊN TẮC TÍNH BẰNG BĐSC 1. Chọn 1 hàng (cột) tùy ý 2. Chọn một phần tử khác 0 của hàng (cột). Khử tất cả các phần tử khác bằng biến đổi sơ cấp. 3. Khai triển theo hàng (cột) đã chọn.

VÍ DỤ 6 Tính định thức ma trận sau:

QUY TẮC TÍNH ĐỊNH THỨC CẤP 3 Ta có quy tắc Sarrus.

VÍ DỤ 7 Tính các định thức sau bằng quy tắc Sarrus

TÍNH CHẤT CỦA ĐỊNH THỨC 1. det(A)=det(AT) 2. det(AB)=det(A). det(B) 3. det(k. A)=kndet(A) 4. Ma trận có 1 hàng hay 1 cột bằng không thì det. A=0 5. Ma trận có hai hàng (hai cột) tỷ lệ nhau thì det. A=0. 6. Chú ý: det(A+B) ≠ det. A + det. B 7. Ma trận A khả nghịch khi và chỉ khi det. A ≠ 0 8. Tách định thức: một dòng (cột) là tổng của hai số hạng thì tách tổng 2 định thức

TÍNH CHẤT TÁCH ĐỊNH THỨC Tách định thức: một dòng (cột) là tổng của hai số hạng thì tách tổng 2 định thức

ĐỊNH THỨC VÀ HẠNG CỦA MA TRẬN Định thức con của ma trận: Cho A là ma trận cấp mxn. Chọn các phần tử nằm trên giao của k dòng và k cột của A ta được một ma trận vuông cấp k. Định thức của ma trận vuông cấp k này ta gọi là định thức con cấp k của A. Hỏi. Có bao nhiêu định thức con cấp k trong 1 ma trận A cấp mxn - Chọn k dòng - Chọn k cột

VÍ DỤ 8 Cho ma trận A. Hãy lập các định thức con cấp 1; cấp 2; cấp 3? Định thức con cấp mấy lớn nhất?

HẠNG CỦA MA TRẬN Định nghĩa: Cho A là ma trận cấp m. n khác O. Hạng của ma trận A, kí hiệu rank(A) hay r(A) là cấp cao nhất trong các định thức con khác 0 của ma trận A. Vậy hạng của A, rank(A)=r thỏa a) Tồn tại ít nhất một định thức con cấp r khác 0 của A . b) Mọi định thức con của A cấp lớn hơn r (nếu có) thì phải bằng 0.

ĐIỀU KIỆN KHẢ NGHỊCH & TÍNH CHẤT Cho ma trận A vuông cấp n. Ta có: Nếu ma trận A khả nghịch thì:

PHƯƠNG PHÁP ĐỊNH THỨC TÌM MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO Cho A là ma trận khả nghịch. Ta có: Với PA là ma trận chứa các phần bù đại số của A. Ma trận PA gọi là ma trận phụ hợp của ma trận A

VÍ DỤ 9 Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận sau nếu có

VÍ DỤ 9 Bước 1. Tính det. A Ta có: det. A≠ 0 nên ma trận A khả nghịch. Ta tìm các phần bù đại số và lập ma trận phụ hợp PA

VÍ DỤ 9 Ta có:

VÍ DỤ 13 Ta có:

BÀI 1 Tính định thức của ma trận A nếu:

BÀI 2

BÀI 3

BÀI 3

BÀI 4

BÀI 5

BÀI 6

BÀI 7

GIẢI TOÁN MA TRẬN BẰNG FX 570 ES 1. Nhập ma trận. Nhấn Mode 6 (Matrix) Chọn 1( mat. A) Chọn matrix có số dòng và cột tương ứng cần tính toán. Nhập kết quả vào bằng phím =, Sau khi nhập xong ma trận A, có thể nhập thêm ma trận B bằng cách: Nhấn Shift 4 (Matrix) 1 (Dim) 2 (Mat. B) Lập lại tương tự cho Mat. C. Lưu ý: nên nhập qua Shift +4 +1 để đỡ bị lỗi

GIẢI TOÁN MA TRẬN BẰNG FX 570 ES 2. Tính định thức Thao tác như sau để tính định thức cho Mat. A: Shift 4 (Matrix) 7 (Det) Shift 4 (Matrix) 3 (Mat. A) = 3. Tìm ma trận nghịch đảo Thao tác như sau để tìm ma trận nghịch đảo của Mat. A: Shift 4 (Matrix) 3 (Mat. A) x-1 (x-1: là phím nghịch đảo của máy tính, dưới Mode) 4. Giải phương trình: AX = B Thao tác theo các bước bên trên để tính: Mat. A x-1 x Mat. B để cho kết quả của X.

KIỂM TRA 20 PH Bài 1. Cho hai ma trận: Tìm: Bài 2. Tìm r(A) và ma trận nghịch đảo của A nếu có: