UVOD U GOSPODARSKU STATISTIKU II dr sc Mirjana

UVOD U GOSPODARSKU STATISTIKU II dr. sc. Mirjana Radman-Funarić, prof. v. š.

LITERATURA: Obvezna literatura 1. Horvat, J. i Mijoč, J. (2012), Osnove statistike, Zagreb: Ljevak 2. Šošić I. (2004), Primijenjena statistika, Zagreb: Školska knjiga 3. Šošić I. (1998. ), Zbirka zadataka iz statistike, Zagreb: Ekonomski fakultet Zagreb

Dopunska literatura Šošić I. i Serdar, V. (2002), Uvod u statistiku, XII. Izdanje, Zagreb: Školska knjiga Šošić I. (2006. ), Statistika, Zagreb: Školska knjiga Newbold P. et al. (2003), Statistics for Business and Economics, Upper Sadle River: Prentice Hall

Još ……. . Žužul , Branica: STATISTIKA Šošić: STATISTIKA Boris Petz: OSNOVA STATISTIČKE METODE ZA NEMATIČARE

Obveze studenata Studentima su obvezni prisustvovati na minimalno 70% predavanja i 80% vježbi. O prisustvovanju studenata vodi se evidencija.

kriteriji za bodovanje dolazaka na predavanje/vježbe: Sudjelovanje u nastavi vrednuje se na sljedeći način: 80 – 81, 9% 4 boda 82 – 84, 9% 5 bodova 85 – 87, 9% 6 bodova 88 – 90, 9% 7 bodova 91 – 93, 9% 8 bodova 94 – 96, 9% 9 bodova 97 – 100% 10 bodova

Provjeravanje znanja v Kolokviji v Ispiti

Kolokviji se vrednuju na sljedeći način: 1. kolokvij 45 bodova 2. kolokvij 45 bodova Na svakom kolokviju potrebno je ostvariti minimalno ½ bodova za prolaz.

Vrednovanje obveza studenata Elementi ocjenjivanja: Sudjelovanje u nastavi 10 bodova Kolokviji 90 bodova Ukupno 100 bodova Problemski zadatak - jedna ocjena više od postignute pozitivne ocjene pri polaganju kolokvija ili ispita

Ispiti 1. Pismeni test (uvjet za usmeni ispit) 2. Usmeni ispit

Ispitni rokovi ? ? ? ? Web stranice 5 ECTS bodova 30 P+30 V

KOVARIJANCA

Kovarijacija Pri istraživanju međusobnih odnosa i veza dviju ili više pojava do prve informacije doći ćemo praćenjem varijacije njihovih obilježja. Stupanj suglasnosti više pojava

Kovarijacija pojava može biti funkcionalna Ø npr. vrijednost štednog uloga (zavisna varijabla) pri složenom ukamaćivanju (broj oročavanja-nezavisna varijabla) Ø P=a 2 ili P=ab statistička Ø npr. izdaci za prehranu (zavisna varijabla) u osnovi ovise o raspoloživom dohotku (nezavisna varijabla) Y=f(X)

Odstupanje od funkcionalnog odnosa posljedica je statističke promjenjivosti pojava čiji se odnos analizira. Težina osoba istog spola i iste dobi kovarira s visinom. Između težine i visine ne postoji funkcionalna ovisnost. Ovisnost između težine i visine je statistička. Za osobu istog spola i dobi može se očekivati da će imati u prosjeku istu težinu.

Pokazatelj koji nam to opisuje može biti jedan od pokazatelja kovarijacije: jednostavni indeks diferencijalne kovarijacije ponderirani indeks diferencijalne kovarijacije koeficijent tendencijalne kovarijacije kovarijanca

KORELACIJSKA ANALIZA Predočavanje odnosa među pojavama regresijskom metodom prati i mjerenje stupnja jakosti statističke povezanosti pojava. Stupanj povezanosti pojava predočenih vrijednostima numeričkih varijabli ispituje se metodama korelacijske analize.

Ispituje li se stupanj povezanosti (korelacije) pojava predočenih kvantitativnim varijablama, koristimo koeficijent korelacije. Prati li porast jedne pojave porast druge pojave ili ako pad jedne pojave prati pad druge pojave govorimo o pozitivnoj korelaciji. I obrnuto. Ako su pojave u linearnom statističkom odnosu, riječ je o koeficijentu linearne korelacije.

Polazna veličina za računanje koeficijenta korelacije je kovarijanca. KOVARIJANCA je broj koji pokazuje zajedničku promjenu dviju pojava predočenih vrijednostima numeričkih varijabli X i Y.

Na taj način se vrijednost kovarijance razlikuje od vrijednosti varijance koja opisuje promjene u vrijednosti jedne varijable (njezino osciliranje oko srednje vrijednosti).

KOVARIJANCA je aritmetička sredina umnožaka odstupanja varijabli X i Y od njihovih aritmetičkih sredina: μxy = 1Σ(xi-x)(yi-y) N

Razlike u izrazu za kovarijancu po predznaku su pozitivne ili negativne. Razlika je pozitivna ako je vrijednost varijable veća od njezine aritmetičke sredine, i obrnuto. Ako se jedna varijabla (pojava) ne mijenja, ako je jednaka konstanti i njena aritmetička sredina jednaka je konstanti. U tom je slučaju svaka razlika vrijednosti te varijable i aritmetičke sredine jednaka 0 te je njihov umnožak jednak 0.

S kovarijancom možemo mjeriti smjer linearne statističke povezanosti. Kovarijanca ovisi o mjernim jedinicama, a da bi se taj utjecaj odstranio dijeli se s standardnom devijacijom i dobije se kovarijanca standardiziranih vrijednosti spomenutih odstupanja – Pearsonov koeficijent korelacije.

KORELACIJA utvrđivanje međusobne povezanosti pojava koje se proučavaju te na osnovi jedne pojave predviđaju promjene i zbivanja u drugoj pojavi POVEZANOST MEĐU POJAVAMA MOŽE BITI uzročno-posljedična ( regresijski model y=a+bx) korelativna ( korelacijski model x=f(y) ili y=f(x) )

UZROČNO - POSLJEDIČNA POVEZANOST jednostavna - jedan uzrok jedna posljedica složena - jedan uzrok - više posljedica - više uzroka - jedna posljedica - više uzroka i više posljedica

KORELATIVNA POVEZANOST pojava postoji kada promjene u jednoj i drugoj pojavi mogu postojati paralelno, a da jedno nisu uzrok drugima proučavanjem korelativnih odnosa ne utvrđuju se uzročno-posljedični odnosi , ali se pridonosi boljem razumijevanju pojava i događaja koje istražujemo i njihovom boljem predviđanju

indikator povezanosti između pojava je KOEFICIJENT KORELACIJE ili KOEFICIJENT ASOCIJACIJE između varijabli pokazuje smjer i intenzitet povezanosti između promatranih, registriranih i mjerenih pojava koef. korelacije vrlo rijetko ukazuje na uzročno-posljedičnu povezanost , a puno češće ukazuje na korelativni odnos između promatranih pojava

KORELACIJSKA ANALIZA OBUHVAĆA 1. Utvrđivanje postojanja veze između pojava ili varijabli ( A i B ) 2. Utvrđivanje intenziteta i smjera povezanosti među varijablama 3. Utvrđivanje oblika veze među varijablama funkcionalna 4. Utvrđivanje jakosti veze među pojavama stohastička ili statistička

LINEARNA KORELACIJA postoji kada je porast jedne pojave (Y) praćen linearnim porastom ili padom druge pojave. DIJAGRAM RASIPANJA ( scatter diagram) – pruža informacije o obliku, smjeru i jakosti veze UKUPNA VARIJANCA= PROTUMAČENI DIO + NEPROTUMAČENI DIO 2 np 2 2 p

KOEFICIJENT DETERMINACIJE 2 ( r ) protumačeni dio odstupanja Koeficijent determinacije= ukupna odstupanja npr: r 2 = 0, 85 kaže da je 85% ukupnih kvadrata odstupanja protumačen vezom pojava x i y, te da je svega 15% ukupnih kvadrata odstupanja neprotumačeno ovom vezom, odnosno posljedica je drugih činitelja Kako je r 2 dan u drugom stupnju češće se koristi PEARSONOV KOEFICIJENT KORELACIJE ( r ) r = ± 1 ( je mjera jakosti samo za LINEARNU korelaciju )

VAŽNO !!! kod tumačenja koeficijenta korelacije ( r ) treba imati u vidu da je nastao iz koeficijenta determinacije ( r 2 ), te da npr. r = 0, 70 znači r 2 = 0, 49, da je tek 50 % ukupnih odstupanja objašnjivo s promatrane dvije pojave.

KRIVOLINIJSKA kada se veza među pojavama najbolje ilustrira krivom linijom prva orijentacija o krivolinijskoj regresiji se dobiva preko dijagrama rasipanja na temelju kojeg se odlučuje koja se matematička krivulja najbolje prilagođuje nacrtanim originalnim vrijednostima. Jakost krivolinijske veze mjeri se INDEKSOM KORELACIJE ( ro )

ODNOS KOEFICIJENTA DETERMINACIJE I KOEFICIJENTA LINEARNE KORELACIJE r 2 r Tumačenje 0 0 odsutnost korelacije 0, 00 -0, 25 0, 00 -0, 50 slaba korelacija 0, 25 -0, 64 0, 50 -0, 80 korelacija srednje jakosti 0, 64 -1, 00 0, 80 -1, 00 čvrsta korelacije 1 1 potpuna (perfektna) korelacija

PARCIJALNA KORELACIJA koristi se u slučaju utvrđivanja povezanosti između dviju pojava, eliminirajući utjecaj npr. neke treće zajedničke varijable KORELACIJA RANGA jakost veze između pojava promatranih po redoslijednom obilježju mjeri se koeficijentom korelacije ranga

1. 2. 3. Postupak izračunavanja je slijedeći: upare se vrijednosti redoslijednog obilježja za svaku statističku jedinicu jednom obilježju odredi se rang i poreda ga se po redoslijedu – drugo obilježje mu se pridružuje ne rasparujući prethodno stvorene parove ako se u nizu pojavi više jednakih vrijednosti njihovi se rangovi zbroje i podijele s brojem pojavljivanja, te se tako izračunana vrijednost pridružuje jednakim članovima niza

4. najniži rang pripada najnižoj vrijednosti obilježja, najviši rang najvišoj vrijednosti obilježja 5. izračuna se di=xri – yri kao razlika ranga za svaku statističku jedinicu 6. izračuna se kvadrat razlika di 2

Nedostaci: nije osobito precizna mjera primjenom ovog koeficijenta korelacije ne mogu se izračunati ostali pokazatelji kao što su koeficijent regresije, koeficijent determinacije, jednadžba analize varijance, jednadžba regresije.

STATISTIČKA ANALIZA VREMENSKIH NIZOVA

VREMENSKI NIZ…. § …se dobiva grupiranjem statističkih jedinica prema vremenskom obilježju, a vremensko obilježje je svojstvo statističke jedinice kojim je izraženo vrijeme na koje se odnosi statistička jedinica. § Kod vremenskog niza se statističke jedinice označavaju sa Yi, i = 1, …, N. Vremenska jedinica može biti: 1 godina, 1 dan, 1 sat, 1 petogodišnje razdoblje, …. § Razdoblje je širi pojam od vremenske jedinice i predstavlja skup vremenskih jedinica, razdoblje od 2000. do 2005. godine se odnosi na 2000. , 2001. , …, do uključivo 2005. godinu.

Vremenski nizovi § su nizovi istovrsnih podataka prikupljenih u uzastopnim vremenskim razmacima ili trenucima § namjena analize VN je promatrati vremenski razvoj pojava, tražiti zakonitosti pojava i predviđati dalji razvoj pojava ZADATAK DINAMIČKE ANALIZE: § ispitati promjene pojava kao funkciju vremena (otkriti pravilnosti i zakonitosti koje se očituju u varijaciji pojava tijekom vremena) y = f(t)

PROBLEM: § utvrđivanje homogenosti podataka tijekom promatranog razdoblja KOMPONENTE: § § sistematske, trend komponenta determinističke komp. – ciklička komponenta kovarijacije pojave koje se sezonska komponenta daju izraziti nekom slučajna varijabla funkcijom vremena

Vremenski niz kronološki uređenih vrijednosti (frekvencija) neke pojave intervalni – frekvencije se odnose na vremenske intervale i nastaju zbrajanjem, imaju svojstvo kumulativnosti (npr. zbrajanjem dnevnih proizvodnji dobivamo tjednu proizvodnju) trenutačni – frekvencije se odnose na neki trenutak vremena, frekvencije se ne smiju zbrajati (npr. isti iznos duga na tekućem računu u 2 uzastopna dana ne znači dvostruki iznos duga)

INTERVALNI VREMENSKI NIZ § Ako je neku statističku masu moguće promatrati samo u nekom vremenskom intervalu, zabilježiti će se frekvencije pojedinih vremenskih grupa, čijim nizanjem nastaje intervalni vremenski niz. § Vremenski intervalni nizovi imaju svojstvo kumulativnosti. § Za vremensko definiranje INTERVALNOG vremenskog niza uzimaju se najčešće kalendarska razdoblja: godina, mjesec, tjedan, dan; ali to mogu biti i neka druga razdoblja npr: sezona, školska (akademska) godina, kazališna ili športska sezona i sl.

TRENUTAČNI VREMENSKI NIZ § Neke pojave je moguće promatrati samo u presjeku vremena ili u određenome trenutku. Rezultati ovakvih promatranja biti će opet frekvencije, ali će pokazivati razinu pojave u određenom trenutku ("kritičnom trenutku"), a nizanjem rezultata takvih promatranja formirati će se trenutačni vremenski niz. Ovo se odnosi na sve one masovne pojave koje imaju dva smjera kretanja. § Frekvencije trenutačnog vremenskog niza nemaju svojstvo kumulativnsti.

OSIGURATI USPOREDIVOST FREKVENCIJA VN § Frekvencije vremenskog niza nužno moraju biti usporedive, što znači da se tijekom čitavog promatranog razdoblja pojmovna i prostorna definicija ne smijenjati. § Sljedeća pretpostavka usporedivosti frekvencija vremenskih intervalnih nizova je i jednakost intervala vremena promatranja.

nastavak. . . § Ako su vremenska razdoblja različita, potrebno je korigirati frekvencije prije uspoređivanja. § Kod trenutačnih vremenskih nizova razmaci između vremenskih točaka promatranja nisu bitni za usporedbu frekvencija

Vrste grafičkih prikaza INTERVALNI VREMENSKI NIZ: površinski grafikon- linijski grafikon TRENUTAČNI VREMENSKI NIZ: linijski grafikon

§ Površinski grafikon je vrsta grafičkog prikaza u kojem se stupac podiže iznad baze određene vremenske jedinice do visine koja je određena frekvencijom vremenskog niza. § Linijski grafikon je vrsta grafičkog prikaza koji predstavlja liniju dobivenu spajanjem točaka kod kojeg je svaka točka na grafikonu podignuta nad sredinom vremenske jedinice (ako je vremenski niz intervalni), odnosno iznad onog mjesta na apscisi koje se odnosi na trenutak kada je pojava snimljena (ako je vremenski niz trenutačni) do visine koja je određena frekvencijom vremenskog niza.

Tabela 1. sadrži dva vremenska niza, jedan intervalni i jedan trenutačni

§ Ako vremenska razdoblja na koja se odnose frekvencije intervalnog vremenskog niza nisu jednaka, potrebno je korigirati frekvencije, i to tako da se smanje frekvencije koje se odnose na veća vremenska razdoblja § Kod grafičke usporedbe dviju pojava na istom grafikonu uglavnom se koriste zajedničke koordinatne osi (moraju se odnositi na ista vremenska razdoblja i biti izražena u istim mjernim jedinicama)

Primjer usporedbe vremenskih nizova linijskim grafikonom uz korištenje aritmetičkog mjerila na obje koordinatne osi

§ • • • § • • INTERVALNI Broj prevezenih putnika po godinama Prodaja novih automobila u RH Noćenja turista po mjesecima TRENUTAČNI Godišnji prosjek zaposlenih Nezavršeni stanovi u RH stanje krajem godine • Stanje računa

PRIMJERI…

Primjer 1. Tablica: Stanje računa na kraju mjeseca (u kn) MJESEC TEKUĆI RAČUN ŽIRO RAČUN SIJEČANJ 1. 250 2. 560 VELJAČA 2. 650 554 OŽUJAK 930 891 TRAVANJ 230 1. 436 SVIBANJ 2. 680 2050 Vremenski niz prikažite grafički!

Primjer 2. Tablica: Prodaja novih automobila u autosalonu “X” GODINA BROJ PRODANIH AUTOMOBILA KUMULATIVNI NIZ BROJA PROD. AUTOM. 2002. 120 2003. 225 345 2004. 185 530 2005. 150 680 2006. 200 880 Vremenski niz prikažite grafički!

Primjer 2. Tablica: Broj upisnika na fakultet “X” po godinama i smjerovima GODINA RAČUNOVODSTV O TRGOVINA PODUZETNIŠTVO 2002. 65 40 25 2003. 75 35 35 2004. 55 25 45 2005. 70 30 50 2006. 65 35 55 Vremenski niz prikažite grafički!

INDEKSI VREMENSKIH NIZOVA

INDEKSI RELATIVNI BROJEVI DINAMIKE pokazuju odnos između stanja jedne te iste pojave ili skupine pojava na razl. mjestima ili u razl. vremenskim razdobljima VRSTE INDEKSA: v v INDIVIDUALNI (dinamika jedne pojave ) SKUPNI (odnosi stanja heterogene skupine pojava )

PODJELA INDEKSA o o o prema obuhvatu promatranih pojava: a) individualni indeksi b) skupni ili grupni indeksi s obzirom na bazu usporedbe: a) indeksi stalne i b) indeksi promjenjive baze SKUPNI indeksi mogu biti: a) indeksi cijena b) indeksi količina c) indeksi vrijednosti

PODJELA INDEKSI INDIVIDUALNI VERIŽNI INDEKSI NA STALNOJ BAZI(BAZNI INDEKSI) SKUPNI skupni indeksi količina skupni indeksi vrijednosti skupni indeksi cijena

INDIVIDUALNI INDEKSI. . . pomoću njih prati se dinamika jedne pojave dijele se na: verižne indekse - pokazuju relativne promjene pojave u razmatranom razdoblju u odnosu prema prethodnom razdoblju indekse na stalnoj bazi – odabrana frekvencija služi kao baza usporedbe razine pojave u različitim vremenima (oprez pri izboru baze!)

VERIŽNI INDEKSI - pokazuju relativne promjene pojave u razmatranom razdoblju u odnosu prema prethodnom razdoblju

VERIŽNI ILI LANČANI INDEKSI o o ako Y 1, Y 2, Y 3, . . . Yn, predstavljaju frekvencije nekog vremenskog niza , i potrebito je saznati kako se pojava mjenjala iz razdoblja u razdoblje, koriste se VERIŽNI ILI LANČANI INDEKSI to su indeksi na PROMJENJIVOJ BAZI , a dobiju se dijeljenjem svakog člana vremenskog niza prethodnim članom te množenjem dobivenog rezultata sa 100 svaka originalna vrijednost javlja se kao: - tekuća vrijednost koja se uspoređuje - baza uspoređivanja iznimke: prva i posljednja orig. vrijednost VN - prva orig. vrij. –samo kao baza uspoređivanja - posljednja orig. vrij. –samo kao tekuća vrij.

Verižni indeksi ne mogu biti negativne veličine, jer su frekvencije vremenskog niza uvijek pozitivne. Za verižne indekse vrijede sljedeće relacije: o o Yt > Y t-1 Yt < Y t-1 Yt = Y t-1 Vt > 100 Vt < 100 Vt = 100 Verižni indeks Vt pokazuje koliko jedinica pojave u vremenu t dolazi na svakih 100 jedinica u vremenu t-1. On govori o relativnoj promjeni neke pojave uvijek u odnosu na pojavu iz prethodnog perioda. Intenzitet promjene izražen u postotku dobije se kao razlika indeksa Vt i veličine 100 ( St=Vt-100 ).

Grafičko prikazivanje verižnih indeksa o o o specifična vrsta linijskog grafikona promjenjiva baza verižnih indeksa zahtjeva prikazivanje svakog verižnog indeksa posebnom linijom ishodište apscise (koja označava vrijeme) je na ordinati označeno vrijednošću 100 verižni indeksi >100 –od apscise prema vrhu ordinate, unutar ili u sredini intervala jedne godine verižni indeksi < 100 –od apscise prema nižim vrijednostima ordinate nagib ucrtane linije – intenzitet relativne promjene

Prikaz verižnih indeksa površinskim grafikonom za broj nezaposlenih osoba

1. ZADATAK Izračunajte verižne indekse u sljedećoj tablici u 000 GODINA IZVOZ VERIŽNI INDEKS UVOZ 2000 4. 432 7. 887 2001 4. 666 9. 147 2002 4. 904 10. 722 2003 6. 187 14. 209 2004 8. 024 16. 589 2005 8. 773 18. 560 2006 10. 377 21. 502 VERIŽNI INDEKS

Rješenje. . u 000 GODINA IZVOZ VERIŽNI INDEKS 2000 4. 432 Y 1 2001 4. 666 Y 2 105, 28 2002 4. 904 2003 UVOZ VERIŽNI INDEKS 7. 887 V 2 9. 147 115, 98 105, 10 10. 722 117, 22 6. 187 126, 16 14. 209 132, 52 2004 8. 024 129, 69 16. 589 116, 75 2005 8. 773 109, 33 18. 560 111, 88 2006 10. 377 118, 28 21. 502 115, 85 Izvor: SLJRH 2007, str 376.

Primjer: Punoljetni počinitelji krivičnih djela u RH za 1997. – 2001. Godina Broj počinitelja 1997. 51 146 1998. 53 892 1999. 50 947 2000. 44 319 2001. 60 812 a) izračunajte indekse na bazi 1999. god. prebacite ih u verižne te ih grafički prikažite

Primjer: ( ZA VJEŽBE) 1994. godine promet poduzeća A je iznosio 40000 tona, 1995. godine 52 000 tona, 1996. godine 60 000 tona, 1997. godine 68 000 tona, a 1998. godine 80 000 tona. a) b) c) d) zaključite koliko je promet varirao u promatranom razdoblju, s obzirom na visinu prometa 1996. godine izračunajte verižne indekse i protumačite barem jedan izračunati pokazatelj izračunajte indekse kojima će baza biti “prosjek prometa u cijelom promatranom razdoblju” grafički prikažite sve izračunate indekse

STOPA PROMJENE o Stopa promjene st – relativna pojedinačna mjera promjena razine pojava u uzastopnim razdobljima izražena postotno o Prosječna stopa promjene (reprezentativna je ako ne postoje velike varijacije pojedinačnih stopa):

2. ZADATAK u Izračunajte stope promjena podataka iz sljedeće tablice 0 0 0 GODINA PRIHOD 2000 250. 500 2001 320. 550 2002 352. 700 2003 312. 2004 365. 250 2005 460. 750 2006 542. 500 VERIŽNI INDEKS STOPA PROMJENE

Rješenje… GODINA PRIHOD VERIŽNI INDEKSI STOPA PROMJENE 2000 250. 500 2001 320. 550 127, 96 2002 352. 700 110, 03 2003 312. 200 88, 52 -11, 48 2004 365. 250 116, 99 2005 460. 750 126, 15 2006 542. 500 117, 74

INDEKSI NA STALNOJ BAZI

INDIVIDUALNI INDEKSI STALNE BAZE o o prati se dinamika samo jedne pojave pomoću indeksnih brojeva kroz nekoliko vremenskih razdoblja POSTUPAK: izabiranje baze usporedbe * jedan član VN * neka druga vrijednost: - veličina promatrane pojave iz proteklog vremenskog razdoblja koje nije obuhvaćeno intervalom promatranja - AS vrijednosti pojave kada su varijacije pojave znatne (u oba smjera). Baza usporedbe – prosjek varijacija VN

o o svi članovi originalnog VN se stavljaju u odnos prema izabranoj bazi usporedbe kvocjente pomnožiti sa 100 (radi tumačenja) Baznim indeksima izražavaju se relativne varijacije između dva stanja istog VN, od kojih je jedna pojava bazna veličina Vrijednost kvocjenta pokazuje koliko jedinica uspoređenih pojava odgovara svakoj jedinici baznog stanja

o kod određivanja stalne baze, treba izabrati reprezentativan član (npr. najčešći član u nizu) , a ne najnižu ili najvišu vrijednost u nizu. Yt KOEFICIJENT PROMJENE Yb Yt It = * 100 INDEKS PROMJENE Yb St = It – 100 STOPA PROMJENE (+ rast - pad )

Ako je: o Yt = Yb It=100 Yt > Yb It>100 It je UVIJEK pozitivan o Yt < Yb It<100 o

INDIVIDUALNI INDEKSI NA BAZI SREDNJE VRIJEDNOSTI PROMATRANE POJAVE uspoređivanje dva ili više VN mjerenih raznorodnim obilježjima o grafički se prikazuju i površinskim i linijskim grafikonima o baza usporedbe – srednja vrijednost promatrane pojave Yi o I yi = * 100 i=1, 2, . . . , N Y o

PRIMJER: Za podatke o broju polaznika i instruktora auto-škole “ Brzina” u razdoblju od 1992. do 1998. godine, potrebito je izračunati indekse kojima je stalna baza prosječna vrijednost pojave, te iste prikazati grafički. Godine Polaznici Instruktori 1992. 1555 32 1993. 1755 54 1994. 1421 48 1995. 2044 50 1996. 1657 37 1997. 1898 41 1998. 1954 43 Ukupno 12284 305

Pravila za indekse na stalnoj bazi : n n niz originalnih vrijednosti VN upravno je proporcionalan nizu indeksa na stalnoj bazi prikazuju se uglavnom površinskim grafikonima (ordinata-indeksi u artm. mjerilu; ishodište = 100 na ordinati). Grafikon se čita u odnosu na bazu. usporedba varijacija različitih VN, ako svi VN imaju jednaku bazu. izražavaju relativne promjene VN, neovisne o sustavima i brojčanim razinama mjerenja u kojima su izražene originalne vrijednosti originalnih VN.

Prikaz indeksa na stalnoj bazi (2000=100) za broj nezaposlenih osoba

3. ZADATAK Izračunajte bazne indekse ako je baza 2003 godina i verižne indekse Godina Prosječan broj nezaposlenih 2000. 357. 872 2001. 380. 195 2002. 389. 741 2003. 329. 799 2004. 309. 875 2005. 308. 738

Rješenje… Godina Prosječan broj nezaposlenih Bazni indeksi Verižni indeksi 2000. 357. 872 108, 51 2001. 380. 195 115, 28 106, 24 2002. 389. 741 118, 18 102, 51 2003. 329. 799 100, 00 84, 62 2004. 309. 875 93, 96 2005. 308. 738 93, 61 99, 63

GRAFIČKO PRIKAZIVANJE INDEKSA Verižni indeksi, stope promjene i indeksi na stalnoj bazi grafički se prikazuju: jednostavnim stupcima i linijskim grafikonom

4. ZADATAK a) izračunajte indekse proizvodnje kukuruza kojima je bazna proizvodnja 1994. godina. Indekse prikažite grafički. b) izračunajte verižne indekse proizvodnje pšenice i verižne indekse proizvodnje kukuruza, te ih prikažite grafički.

Rješenje…

Preračunavanje indeksa je prevođenje baznih indeksa u verižne i obrnuto ili prevođenje baznih s jedne vremenske jedinice na drugu o verižni indeksi u bazne indekse na bazi prve vremenske jedinice: o bazni indeksi (na bazi prve vremenske jedinice) na bazu neke druge vremenske jedinice o bazni indeksi (na bazi prve vremenske jedinice) verižne indekse

5. ZADATAK Izračunajte bazne indekse ako je baza 2002 godina i verižne indekse Godina Prosječan broj noćenja 2000 39. 183 2001 43. 405 2002 44. 692 2003 46. 635 2004 47. 797 2005 51. 421

Rješenje… Godina Prosječan broj noćenja 2000 39. 183 87, 67 2001 43. 405 97, 12 110, 78 2002 44. 692 100, 00 102, 97 2003 46. 635 104, 35 2004 47. 797 106, 95 102, 49 2005 51. 421 115, 06 107, 58 bazni verižni

6. ZADATAK Pomoću baznih indeksa izračunajte koliki je prihod poduzeće ostvarilo za svaku pojedinu godinu iz tablice ako je prihod u 2002 iznosio 352. 700 kn. Također izračunati verižne indekse. GODINA BAZNI INDEKSI 2000 71, 02 2001 90, 88 2002 100, 00 2003 88, 52 2004 103, 56 2005 130, 64 2006 153, 81 PRIHOD 352. 700 VERIŽNI INDEKSI

Rješenje… GODINA BAZNI INDEKSI PRIHOD VERIŽNI INDEKSI 2000 71, 02 250. 488 2001 90, 88 320. 534 127, 96 2002 100, 00 352. 700 110, 03 2003 88, 52 312. 210 88, 52 2004 103, 56 365. 256 116, 99 2005 130, 64 460. 767 126, 15 2006 153, 81 542. 487 117, 74

PRERAČUNAVANJE INDIVIDUALNIH INDEKSA

PRERAČUNAVANJE INDIVIDUALNIH INDEKSA 1. - Preračunavanje baznih indeksa u verižne postupnim dijeljenjem baznih indeksa (*100) kao da je riječ o originalnim frekvencijama VN Y Y t It= * 100, Y b Vt = t * 100, t=2, 3, . . . , N Y t-1

Primjer: a) b) Godine Kaznene prijave 1997 69 244 1998 53 289 1999 46 451 2000 47 399 2001 43 203 Izračunajte indekse na bazi 1997. god. I preračunajte ih na niz verižnih indeksa bez uporabe originalnih vrijednosti izračunate verižne indekse preračunajte na niz baznih indeksa (1999=100) bez uporabe originalnih vrijednosti, te bazne indekse prikažite grafički

2. Preračunavanje verižnih indeksa u bazne a) ako je bazno razdoblje prvo u nizu– postupnim množenjem: I t-1 * Vt t=2, 3, . . . , N It = 100 b) ako bazno razdoblje nije prvo u nizu - bazni indeks za razdoblja koja prethode baznom: Dakle: I t-1 * Vt It = ; kada je t > b 100 I = t-1 It *100 ; kada je t < b V t I t = 100 ; kada je t = b

Primjer: Godina Pojava Vt It 96. =100 1996. 1448 - 100 1997. 1425 98. 41 1998. 1797 126. 1 124. 08 1999. 1721 95. 77 118. 81 2000. 1615 93. 84 111. 51 It 00. =100 It 97. =100 100

SKUPNI INDEKSI

SKUPNI INDEKSI SU… Relativni brojevi kojima se mjere relativne promjene skupine pojava u vremenu o o Najčešće se računaju 3 vrste skupnih indeksa: n skupni indeksi količina, n skupni indeksi cijena, n skupni indeksi vrijednosti Kako je broj podataka u pojedinim skupinama često golem, izabire se njihov uzorak, odnosno reprezentativni dio skupine, a dinamika se prati na podacima iz uzorka

o Kod skupnih indeksa se javlja mogućnost da se usporedi više frekvencija jedne vremenske jedinice sa više frekvencija druge vremenske jedinice. Te se frekvencije odnose na više pojava, ali samo onih čije uspoređivanje ima smisla. Primjeri skupnih indeksa: Tone x kilometri = tkm Putnici x kilometri = pkm

Laspeyresov indeks cijena … pokazuje kolike su prosječne relativne promjene cijena skupine k pojava koje čine neku logičnu cjelinu (potrošnja, proizvodnja, izvoz, . . . ) polazeći od količina odabranog baznog razdoblja 0 - veličine baznog razdoblja 1 - veličine tekućeg razdoblja q – količine p - cijene qi 0 pi 0 - produkti količina i cijena (čine vrijednosti baznog razdoblja)

Laspeyresov indeks količina o – pokazuje kolike su prosječne relativne promjene količina skupine k pojava koje čine neku logičnu cjelinu (potrošnja, proizvodnja, izvoz, . . . ) polazeći od cijena odabranog baznog razdoblja 0 - veličine baznog razdoblja 1 - veličine tekućeg razdoblja q – količine p - cijene qi 0 pi 0 - produkti količina i cijena (čine vrijednosti baznog razdoblja)

Paascheov indeks količina: Paascheov indeks cijena:

o Indeks vrijednosti: o Fischerovi indeksi cijena i količina nazivaju se i idealnim skupnim indeksima – geometrijska sredina odgovarajućeg Laspeyresova i Paascheova indeksa

o Za potrebe ekonomskih analiza u statističkim se zavodima računaju različiti posebni oblici skupnih indeksa o Od posebne je važnosti skupni indeks troškova života – pri njegovu se računanju prate promjene cijena samo artikala i usluga potrebnih za svakodnevni život – služi za izračunavanje realnih plaća i indeksa realnih plaća:

7. ZADATAK Cijene izabranih proizvoda i nabavljene količine PROIZVOD Cijene u prosincu 2006 Cijene u prosincu 2007 Količine u prosincu 2006 Količine u prosincu 2007 pi 0 pi 1 qi 0 qi 1 Jabuke 1 kg 3, 5 4, 5 350 320 Kruške 1 kg 18, 5 22, 0 130 150 Banane 1 kg 5, 5 6, 2 460 440 Naranče 1 kg 7, 2 8, 5 250 280 Izračunajte: a) Laspeyresov, Paascheov i Fisherov indeks cijena b) Laspeyresov, Paascheov i Fisherov indeks i količina c) Skupni indeks vrijednosti

Rješenje….

Laspreyresov indeks cijena PROIZVOD Cijene u prosincu 2006 Cijene u prosincu 2007 Količine u prosincu 2006 Količine u prosincu 2007 pi 0 pi 1 qi 0 qi 1 pi 1/ pi 0*qi 0 pi 1*qi 0 Jabuke 1 kg 3, 5 4, 5 350 320 128, 57 1. 225 1. 575 Kruške 1 kg 18, 5 22, 0 130 150 118, 95 2. 405 2. 860 Banane 1 kg 5, 5 6, 2 460 440 112, 73 2. 530 2. 852 Naranče 1 kg 7, 2 8, 5 250 280 118, 06 1800 2. 125 7. 960 9. 412 UKUPNO Laspeyresov indeks cijena Indeks pokazuje da su se cijene povećale za 18, 24% u odnosu na prosinac 2006 godine. Za iste vrste i količine proizvoda u 2006 trebalo je izdvojiti 7. 960 kn, a godinu dana kasnije 9. 412 kn.

Paascheov indeks cijena PROIZVOD Cijene u prosincu 2006 Cijene u prosincu 2007 Količine u prosincu 2006 Količine u prosincu 2007 pi 0 pi 1 qi 0 qi 1 pi 1/ pi 0*qi 0 pi 1*qi 1 pi 0*qi 1 Jabuke 1 kg 3, 5 4, 5 350 320 128, 57 1. 225 1. 575 1. 440 1. 120 Kruške 1 kg 18, 5 22, 0 130 150 118, 95 2. 405 2. 860 3. 300 2. 775 Banane 1 kg 5, 5 6, 2 460 440 112, 73 2. 530 2. 852 2. 728 2. 420 Naranče 1 kg 7, 2 8, 5 250 280 118, 06 1800 2. 125 2. 380 2. 016 7. 960 9. 412 9. 848 8. 331 UKUPNO Paascheov indeks cijena Indeks pokazuje da su se cijene povećale za 18, 21% u odnosu na prosinac 2006 godine.

Fisherov indeks cijena PROIZVOD Cijene u prosincu 2006 Cijene u prosincu 2007 Količine u prosincu 2006 Količine u prosincu 2007 pi 0 pi 1 qi 0 qi 1 pi 1/ pi 0*qi 0 pi 1*qi 1 pi 0*qi 1 Jabuke 1 kg 3, 5 4, 5 350 320 128, 57 1. 225 1. 575 1. 400 1. 120 Kruške 1 kg 18, 5 22, 0 130 150 118, 95 2. 405 2. 860 3. 300 2. 775 Banane 1 kg 5, 5 6, 2 460 440 112, 73 2. 530 2. 852 2. 728 2. 420 Naranče 1 kg 7, 2 8, 5 250 280 118, 06 1800 2. 125 2. 380 2. 016 7. 960 9. 412 9. 848 8. 331 UKUPNO Indeks pokazuje da su se cijene povećale za 18, 22% u odnosu na prosinac 2006 godine.

Laspreyresov indeks količina PROIZVOD Cijene u prosincu 2006 Cijene u prosincu 2007 Količine u prosincu 2006 Količine u prosincu 2007 pi 0 pi 1 qi 0 qi 1 pi 1/ pi 0*qi 0 pi 1*qi 1 pi 0*qi 1 Jabuke 1 kg 3, 5 4, 5 350 320 128, 57 1. 225 1. 575 1. 400 1. 120 Kruške 1 kg 18, 5 22, 0 130 150 118, 95 2. 405 2. 860 3. 300 2. 775 Banane 1 kg 5, 5 6, 2 460 440 112, 73 2. 530 2. 852 2. 728 2. 420 Naranče 1 kg 7, 2 8, 5 250 280 118, 06 1800 2. 125 2. 380 2. 016 7. 960 9. 412 9. 848 8. 331 UKUPNO Indeks pokazuje da su se nabavljene količine prosječno povećale za 4, 66% u 2007 u odnosu na 2007 godinu.

Paascheov indeks količina PROIZVOD Cijene u prosincu 2006 Cijene u prosincu 2007 Količine u prosincu 2006 Količine u prosincu 2007 pi 0 pi 1 qi 0 qi 1 pi 1/ pi 0*qi 0 pi 1*qi 1 pi 0*qi 1 Jabuke 1 kg 3, 5 4, 5 350 320 128, 57 1. 225 1. 575 1. 400 1. 120 Kruške 1 kg 18, 5 22, 0 130 150 118, 95 2. 405 2. 860 3. 300 2. 775 Banane 1 kg 5, 5 6, 2 460 440 112, 73 2. 530 2. 852 2. 728 2. 420 Naranče 1 kg 7, 2 8, 5 250 280 118, 06 1800 2. 125 2. 380 2. 016 7. 960 9. 412 9. 848 8. 331 UKUPNO Indeks pokazuje da su se nabavljene količine prosječno povećale za 4, 63% u 2007 u odnosu na 2007 godinu.

Fisherov indeks količina PROIZVOD Cijene u prosincu 2006 Cijene u prosincu 2007 Količine u prosincu 2006 Količine u prosincu 2007 pi 0 pi 1 qi 0 qi 1 pi 1/ pi 0*qi 0 pi 1*qi 1 pi 0*qi 1 Jabuke 1 kg 3, 5 4, 5 350 320 128, 57 1. 225 1. 575 1. 400 1. 120 Kruške 1 kg 18, 5 22, 0 130 150 118, 95 2. 405 2. 860 3. 300 2. 775 Banane 1 kg 5, 5 6, 2 460 440 112, 73 2. 530 2. 852 2. 728 2. 420 Naranče 1 kg 7, 2 8, 5 250 280 118, 06 1800 2. 125 2. 380 2. 016 7. 960 9. 412 9. 848 8. 331 UKUPNO Indeks pokazuje da su se naručene količine u 2007 prosječno povećale za 4, 64% u odnosu na prosinac 2006 godine.

Skupni indeks vrijednosti PROIZVOD Cijene u prosincu 2006 Cijene u prosincu 2007 Količine u prosincu 2006 Količine u prosincu 2007 pi 0 pi 1 qi 0 qi 1 pi 1/ pi 0*qi 0 pi 1*qi 1 pi 0*qi 1 Jabuke 1 kg 3, 5 4, 5 350 320 128, 57 1. 225 1. 575 1. 400 1. 120 Kruške 1 kg 18, 5 22, 0 130 150 118, 95 2. 405 2. 860 3. 300 2. 775 Banane 1 kg 5, 5 6, 2 460 440 112, 73 2. 530 2. 852 2. 728 2. 420 Naranče 1 kg 7, 2 8, 5 250 280 118, 06 1800 2. 125 2. 380 2. 016 7. 960 9. 412 9. 848 8. 331 UKUPNO Indeks pokazuje da se vrijednost izdataka za navedene proizvode povećala u prosincu 2007 za 23, 72 % u odnosu na prosinac 2006.

Odnosi skupnih indeksa INDEKSI Ic(L) Ic(P) Ic(F) IZNOS 118, 24 118, 21 118, 22 Ik(L) Ik(P) Ik(F) 104, 66 104, 63 104, 64 ili Indeks vrijednosti jednak je umnošku Laspeyresova indeksa cijena i Paascheova indeksa količina ili umnošku Laspeyresova indeksa količina i Paascheova indeksa cijena

8. ZADATAK U supermarketu A zabilježen je u 2 godine sljedeći promet triju vrsta robe: Izračunajte: a) Laspeyresove indekse količina i cijena, b) Paascheove indekse količina i cijena, c) Fisherove indekse količina i cijena.

Rješenje… a) Laspeyresov indeks količina Količine navedenih triju vrsta robe povećane su 2000. godine u odnosu prema prethodnoj 1999. godini za 5. 5% u prosjeku, izračunato po cijenama 1999. godine

a) Laspeyresov indeks cijena Cijene navedenih triju vrsta robe povećane su 2000. godine u odnosu prema prethodnoj 1999. godini za 0. 9% u prosjeku, izračunato po količinama 1999. godine

b) Paascheov indeks količina Količine navedenih triju vrsta robe povećane su 2000. godine u odnosu prema prethodnoj 1999. godini za 3. 9% u prosjeku, izračunato po cijenama 2000. godine

b) Paascheov indeks cijena Cijene navedenih triju vrsta robe smanjene su 2000. godine u odnosu prema prethodnoj 1999. godini za 0. 5% u prosjeku, računano po količinama 2000. godine

c) Fischerov skupni indeks računamo kao geometrijsku sredinu dvaju indeksa količina (odnosno cijena), od kojih je jedan Laspeyresov, a drugi Paascheov

Burzovni indeks vrijednosti Zbroj tržišnih vrijednosti k vrijednosnica u tekućem razdoblju (umnožak zaključnih cijena i vrijednosnica u prometu) Vrijednost vrijednosnica u bazičnom razdoblju

SREDNJE VRIJEDNOSTI VREMENSKIH NIZOVA

SREDNJE VRIJEDNOSTI VREMENSKIH NIZOVA Srednja vrijednost je frekvencija vremenskog niza koja reprezentira sve pojedinačne vrijednosti vremenskog niza i izražena je u onim jedinicama mjere u kojima su zadane frekvencije. o o o aritmetička sredina intervalnog vremenskog niza kronološka sredina trenutačnog vremenskog niza geometrijska sredina (upotrebljava se u analizi intervalnog i trenutačnog vremenskog niza)

VRSTE SREDNJIH VRIJEDNOSTI ☺ ☺ ☺ ARITMETIČKA SREDINA INTERVALNOG NIZA KRONOLOŠKA SREDINA GEOMETRIJSKA SREDINA Uporaba pojedine srednje vrijednosti ovisi o tendenciji kretanja frekvencija i vrsti vremenskog niza Vrsta Tendencija rasta vremenskog niza Oscilirajući ili pada INTERVALNI TRENUTAČNI Aritmetička sredina Intervalnog niza Kronološka sredina Geometrijska sredina

ARITMETIČKA SREDINA INTERVALNOG NIZA …se izračunava po formuli za jednostavnu aritmetičku sredinu. To je prosječna vrijednost frekvencije po jednoj zadanoj vremenskoj jedinici (godina, …), a koristi se za oscilirajuće intervalne vremenske nizove: Primjer: Y = prosječan broj jedinica/ 1 vremenskoj jedinici Y = prosječan broj putnika/godišnje prevezen u gradskom i zračnom prijevozu…

Izbor srednje vrijednosti o o Ako vremenski niz ne sadrži trend, odnosno ako njegove vrijednosti ne padaju i ne rastu s vremenom ima smisla računati: aritmetičku sredinu (za intervalni vremenski niz), kronološku sredinu (za trenutačni vremenski Ako vremenski niz ima trend izračunava se geometrijska sredina

MJERE RASPRŠENOSTI NIZA o o o Reprezentativnost aritmetičke sredine vremenskog niza ocjenjuje se: a) varijancom i standardnom devijacijom (apsolutni pokazatelji) b) koeficijentom varijacije (relativni pokazatelj).

MJERE RASPRŠENOSTI NIZA w. Varijanca intervalnog vremenskog niza je: Standardna devijacija vrijednosti intervalnog vremenskog niza je: Koeficijent varijacije vremenskog niza je % stand. devijacije od aritmetičke sredine Što je u vremenskom nizu trend (pozitivan ili negativan) jače izražen, to su ovi pokazatelji veći, odnosno veća su odstupanja vrijednosti vremenskog niza od aritmetičke sredine.

Primjer 1: U tablici su dani podaci o visini dobiti poduzeća “X” od 2000 -2005 godine Godina Dobit poduzeća (u 000) Yt 2000 198 2001 2002 216 2003 2004 184 2005 198 Ukupno 1. 197 Izračunajte: aritmetičku sredinu, varijancu, standardnu devijaciju i koeficijent varijacije vremenskog niza

KRONOLOŠKA SREDINA o Kronološka sredina je prosječno stanje pojave trenutačnog vremenskog niza u vremenskom trenutku. pi = ponder o Svaka frekvencija niza množi se vremenskim ponderom tj. dužinom razdoblja za koje se pretpostavlja da ima frekvenciju na razini koju pokazuje pojava u definiranom trenutku vremena.

PONDER o Pri određivanju pondera uzima se pretpostavka da je razina pojave u trenutku snimanja t ista do polovine intervala t+1 odnosno do polovine intervala t-1 s tim da ti intervali mogu biti međusobno jednaki ili nejednaki.

Primjer: Stanje određenog dana Br. osoba (x) Vremenski interval (f) 31. 12. 1998. 5 422 31. 03. 1999. 6 224 3 mj. 31. 04. 1999. 7 934 1 mj. 31. 07. 1999. 9 681 3 mj. 30. 09. 1999. 9 802 2 mj. Korigirani ponderi f*x 1, 5 8 133 2, 0 12 448 2, 5 24 202, 5 1, 0 9 802 15 868 39 063 Kronološka se sredina izračunava prema formuli za vaganu X : f*x X= f 70 453, 5 = = 7 282, 16 radnika 9

Računanje pondera vremena pi o o Ako su vremenski intervali jednaki Godina prvi i zadnji ponder iznose 0, 5, a svi ostali su jednaki 1 Ako su vremenski intervali različiti Prvo se računaju dužine razdoblja od zadnjeg do prvog razdoblja oduzimajući od trenutnog slijedeće razdoblje (veće od manjeg). Ponder će biti zbroj polovice prethodne i slijedeće vrijednosti intervala o P = ((t+1)/2) + ((t-1)/2) o Zbroj stupca razdoblja i pondera mora biti jednak Yi pi 1999 200 0, 5 2000 250 1 2001 300 1 2002 400 1 2003 250 1 2004 350 0, 5 Godine Razdoblj a pi 0 2000 1 2 2002 1, 5 1 2003 1 1 2004 0, 5 0 4 4

II način izračuna Ako se vrijednosti trenutačnog vremenskog niza promatraju u jednako udaljenim točkama vremena, tj. ekvidistantno (na primjer, svaki mjesec ili svaku godinu), kronološka sredina se računa na slijedeći način: Y 1 = Prva vrijednost vremenskog niza YN = zadnja vrijednost vremenskog niza = suma frekvencija vremenskog niza između prve i zadnje vrijednosti

MJERE RASPRŠENOSTI VARIJANCA STANDARDNA DEVIJACIJA KOEFICIJENT VARIJACIJE Što je u vremenskom nizu trend (pozitivan ili negativan) jače izražen, to su i ovdje pokazatelji veći, odnosno veća su odstupanja vrijednosti vremenskog niza od kronološke sredine.

Primjer 2: Pomoću podataka iz tablice…. Godina Broj zaposlenih 2003, 4. mjesec 1. 082 2003, 7. mjesec 1. 104 2003, 10. mjesec 1. 098 2003, 12. mjesec 1. 085 2004 , 1. mjesec 1. 078 5. 447 Izračunajte: kronološku sredinu, varijancu, standardnu devijaciju u koeficijent varijacije vremenskog niza

GEOMETRIJSKA SREDINA Srednja vrijednost verižnih indeksa ( prosječan tempo promjene) o o o Gs je srednja vrijednost koja se izračunava za bilo intervalne ili trenutačne nizove koji pokazuju tendenciju rasta ili pada Geometrijska sredina je broj kojim se određuje veličina rasta ili pada za promatranu vremensku jedinicu. To je srednja vrijednost koja predstavlja prosječnu stopu kretanja promatranog vremenskog niza i koja se odnosi na promatranu vremensku jedinicu.

Primjena: a) b) u analizi vremenskih nizova negrupiranih i grupiranih podataka (“prosječan tempo promjene”) kao srednja vrijednost numeričkih nizova za nizove sa asimetričnim rasporedom podataka PRIMJERI: o za nizove koji predstavljaju pojave koje se ponašaju približno po geometrijskoj progresiji, o priraštaj pučanstva, o ekonomska ulaganja, o investicije, o štedni ulozi. . .

Izračunavanje: JEDNOSTAVNA, NEPONDERIRANA GEOMETRIJSKA SREDINA VAGANA, PONDERIRANA GEOMETRIJSKA SREDINA Logaritam geometrijske sredine jednak je aritmetičkoj sredini logaritama promatrane varijable, odnosno, aritmetičke sredine logaritama elemenata vremenskog niza ili numeričkog niza.

Prognoziranje s pomoću geometrijske sredine Označe li se verižni indeksi simbolom Vi, geometrijska sredina se računa na slijedeći način: G= Kada se umjesto simbola za verižne indekse uvrste originalne vrijednosti članova promatranog niza, izraz za izračunavanje geometrijske sredine ima slijedeći oblik: (N-1) = k -broj članova niza umanjen za 1, tj. broj verižnih indeksa

Navedeni izraz također je moguće riješiti logaritmiranjem: log. G = Pomoću Gs mogu se dobiti važne informacije, te se tako uz poznatu stopu promjene može dati odgovor kada će određena pojava dostići, dvostruku, trostruku ili neku drugu vrijednost.

Transformacija formule Gs Osnovna formula Ako je: i onda slijedi izraz ili Ako je k = x, onda vrijedi:

Primjer 3: Pomoću podataka iz tablice: GODINA Broj proizvoda 2000 31 2001 34 2002 35 2003 37 2004 38 2005 40 Izračunajte: a) Prosječan tempo prodaje proizvoda (pomoću originalnih vrijed. i verižnih indeksa) b) Za koliko će se godina broj prodanih proizvoda udvostručiti

Primjer 4: Izračunajte stopu promjene broja prometnih nesreća za županiju X za period od 2000 - 2004 god a) b) c) Godina Broj prometnih nesreća 2000 325 2001 315 2002. 288 2003. 254 2004. 190 preko verižnih indeksa preko originalnih vrijednosti za koliko će godina broj nesreća pasti na pola

Primjer 5: Godina Broj osobnih automobila 2000 646 2002 711 2003 836 2005 1. 000 2006 1. 064 2007 1. 125 Ukupno a) b) Pomoću podataka iz tablice: 5. 382 Procijenite broj registriranih osobnih automobila 2014. godine na temelju prosječne godišnje stope Koje godine se očekuje da će broj registriranih osobnih automobila trostruko porasti u odnosu na 2000 godinu.

TREND n Ovisno o karakteru čimbenika koji djeluju u vremenu na neku pojavu, vremenski niz čine slijedeće komponente: a) trend ili osnovna tendencija kretanja neke pojave kroz vrijeme sezonske oscilacije, koje se pojavljuju unutar jedne godine ciklične komponente slučajne komponente, koje čine slučajni, teško predvidivi događaji b) c) d)

TREND n n Trend je niz prosječnih, teorijskih točaka i vrijednosti kroz koje bi promatrana pojava prolazila da nije bilo sezonskih ili slučajnih čimbenika koji su utjecali na njezino kretanje. Ekstrapolacijom trenda moguće je predviđati buduća kretanja pojave.

METODE UTVRĐIVANJA TRENDA n i metode neparametrijske metoda prostom rukom metoda najmanjih kvadrata metoda poluprosjeka metoda pomičnih prosjeka

Metoda najmanjih kvadrata (pravca regresije) n n n izračunava se jednadžba linije kod koje će suma odstupanja između originalnih vrijednosti vremenskog niza i utvrđenih trend podataka biti jednaka 0 Označe li se podaci sa Yi, a trend podatke sa Yci, te primjeni li se metoda najmanjih kvadrata, vrijedi sljedeće: (Yi – Yci)=0 Nadalje vrijedi sljedeće: I i II svojstvo X (Yi – Yci)2=min

Da bi se uočila tendencija razvoja pojave dobro je: - imati što veći vremenski niz (više frekvencija) - grafički prikazati pojavu – gdje se iz približnog izgleda nacrtane funkcije donosi sud o mogućem obliku osnovne tendencije razvoja ili tipu trenda Ako su promatranja po: - jednakim intervalima i - ako su prve diferencije frekvencija približno konstantne (u apsolutnom izrazu) osnovna tendencija je linearna, linearni trend je polinom prvog stupnja f(x) = a+bx

Jednadžba linearnog trenda Yci=a+bx bx i=1, 2, . . . k § § yci - zavisna varijabla (trend vrijednosti), xi - oznaka za vrijeme, parametar a - vrijednost trenda u ishodištu, parametar b - koeficijent smjera pravca

Procjene parametara a i b (ishodište na početku razdoblja) n Kada se izračunava linearni trend kojemu je ishodište u prvoj godini vremenskog niza, parametri se izračunavaju na sljedeći način: Parametar b Parametar a Suma trend vrijed. mora biti jednaka sumi originalnih vrijednosti promatranog niza

Izračunavanje parametara a i b za jednadžbu linearnog trenda može se pojednostaviti tako da se ishodište jednadžbe premjesti u sredinu čitavog promatranog razdoblja U tom slučaju će suma vrijednosti xi biti jednaka nuli, pa će i aritmetička sredina biti jednaka nuli. Ako je normalne jednadžbe se mogu pojednostaviti Prva normalna jednadžba se transformira u: a druga normalna jednadžba poprima oblik: ovih normalnih jednadžbi slijede dalje novi izrazi za izračunavanje parametara a i b:

Procjene parametara a i b (ishodište u sredini razdoblja) Parametar b n Parametar a Kada se izračunava linearni trend kojemu je ishodište u sredini vremenskog niza, parametri se izračunavaju na sljedeći način: Suma trend vrijed. mora biti jednaka sumi originalnih vrijednosti promatranog niza

Grafički prikaz trenda n Na temelju izračunatih vrijednosti trenda moguće je nacrtati liniju trenda. Kod linearnog trenda je dovoljno ucrtati dvije trend vrijednosti (primjerice, vrijednost trenda prvoga razdoblja i vrijednost trenda drugoga razdoblja niza), jer je pravac određen sa dvije točke. n Pravac, koji predstavlja trend, mora prolaziti i kroz točku određenu vrijednostima. x i. y.

Isto dobijemo i kad u Excel dijagramu dodamo crtu linearnog trenda:

PRERAČUNAVANJE IZ GODIŠNJIH U KRAĆA VREMENSKA RAZDOBLJA - TRENUTAČNI NIZ n U jednadžbi linearnog trenda nekog trenutačnog vremenskog niza parametar b predstavlja apsolutnu promjenu pojave u jednoj jedinici vremena. Ako se godišnja apsolutna promjena podijeli sa 12, dobiti će se mjesečna apsolutna promjena. Parametar a predstavlja vrijednost pojave prema trendu u ishodištu. S obzirom da su podaci trenutačnog vremenskog niza nastali sagledavanjem razine pojave u trenutku, parametar a ostaje isti u bilo kojoj jednadžbi linearnog trenda koja ima isto ishodište. Godišnja jednadžba se preračunava u mjesečnu na slijedeći način:

PRERAČUNAVANJE IZ GODIŠNJIH U KRAĆA VREMENSKA RAZDOBLJA – INTERVALNI NIZ n Pri preračunavanju godišnje jednadžbe linearnog trenda intervalnog vremenskog niza u mjesečnu, treba uzeti u obzir kako se podaci odnose na čitavo analizirano vremensko razdoblje. Parametar a se u godišnjoj jednadžbi linearnog trenda odnosi na čitavu godinu dana. Ako se parametar a podijeli sa 12, kvocijent će predstavljati vrijednost trenda u ishodištu, koja se odnosi na mjesec dana. Podijeli li se parametar b godišnje jednadžbe linearnog trenda sa 12, dobiti će se prosječna mjesečna vrijednost godišnje promjene. Kako bi se izračunala prosječna mjesečna vrijednost mjesečne promjene, potrebno je parametar b još jednom podijeliti sa 12.

PRETVARANJE GODIŠNJEG U MJESEČNI TREND INTERVALNI TRENUTNI VREMENSKI NIZ neparan broj razdoblja (GODIŠNJI) (neparan broj razdoblja) (GODIŠNJI) parni broj razdoblja (POLUGODIŠNJI)

Primjer 1: Godine 2000 2001 2002 2003 2004 Ukupno PRIHODI (u 000) 89 57 53 57 65 321 Za zadani niz izračunajte: a) linearni trend s ishodištem u prvoj godini niza, b) koeficijent varijacije linearnoga trenda, c) linearni trend s ishodištem u sredini vremenskoga niza, d) preračunajte godišnju jednadžbu linearnoga trenda s ishodištem u sredini vremenskoga niza u mjesečnu jednadžbu trenda, e) liniju trenda, kao i originalne podatke prikažite grafički

Primjer 2: Godina Stanje na računu 2000 4. 638 2001 5. 313 2002 5. 556 2003 5. 712 2004 5. 526 2005 5. 994 Ukupno 32. 739 Za zadani niz izračunajte a) linearni trend s ishodištem u prvoj godini niza, b) koeficijent varijacije linearnoga trenda, c) linearni trend s ishodištem u sredini vremenskoga niza, d)preračunavanje polugodišnje jednadžbe linearnoga trenda s ishodištem u sredini vremenskoga niza u godišnju jednadžbu trenda e) preračunavanje godišnje jednadžbe linearnoga trenda s ishodištem u sredini vremenskoga niza u mjesečnu jednadžbu trenda f) liniju trenda, kao i originalne podatke prikažite grafički