La matrice CKM e la violazione di CP

La matrice CKM e la violazione di CP Massimo Lenti INFN-Firenze 2002 1

Sommario • • • Ø Ø • L’angolo di Cabibbo La matrice CKM Le Simmetrie P, C, T La violazione di CP Il sistema K 0 La violazione indiretta di CP: e La violazione diretta di CP: e´/e I triangoli di unitarietà Il sistema B 0 Fit al triangolo di unitarietà Misura di sin 2 b Conclusioni 2

L’angolo di Cabibbo • Le transizioni con cambiamento di stranezza sono molto soppresse L 0 gpe-ne, DS = 1 ngpe-ne, DS = 0 K+gm+nm, DS = 1 p+gm+nm, DS = 0 K+gp 0 e+ne, DS = 1 p+gp 0 e+ne, DS = 0 • • La soppressione è circa 1/20 (corretta per lo spazio delle fasi) Angolo di Cabibbo: l’autostato debole del quark di carica – 1/3 è: d´ = cosq d + sinq s, sinq @ 0. 22 3

Sperimentalmente sono molto soppresse le transizioni di corrente neutra con cambiamento di stranezza: es. K 0 gm+ms W n u d m+ W m- Occorre allora introdurre un altro quark di carica +2/3, il c Ed un altro autostato debole di carica – 1/3: s´ = cosq s - sinq d Se le masse dei quark sono uguali si ha una cancellazione delle SCNC (GIM) È stata poi scoperta la terza famiglia di quark: t e b Generalizzazione dell’angolo di Cabibbo 4

La lagrangiana d’interazione per le correnti cariche deboli si può scrivere: dove rappresenta uno dei tre doppietti left-handed dei quark Il settore di massa della lagrangiana non è diagonale: e sono due matrici : 5

Diagonalizzando con Uu e Ud matrici unitarie . Gli autostati di massa saranno allora: La lagrangiana d’interazione assumerà quindi la forma: dove 6

La matrice CKM Sperimentalmente sono osservabili le masse mu, mc, mt, md, ms, mb e la matrice unitaria: 7

I moduli degli elementi della VCKM si possono misurare da larghezze parziali di decadimento o da sezioni d’urto: n d n W eu u u d d p | Vud | dal decadimento beta dei nuclei (ngpe-ne oppure pgne+ne) paragonato al decadimento del leptone m: | Vud | = 0. 9735 0. 0008 8

n e+ W K+ s u u u p 0 | Vus | dal decadimento Ke 3 (K+gp 0 e+ne oppure K 0 gp-e+ne): | Vus | = 0. 2196 0. 0023 e- n W d c | Vcd | dalla produzione di charm per interazione di fasci di neutrini sui quark d di valenza del bersaglio: | Vcd | = 0. 224 0. 016 9

en W D- c s d d K 0 | Vcs | dal decadimento De 3 dei mesoni con charm (D-g. K 0 e-ne oppure D 0 g. K+e-ne): | Vcs | = 1. 04 0. 16 n e+ W B+ b c u u D 0 | Vcb | dai decadimenti semileptonici dei mesoni con bottom in un mesone con charm (B+g. D 0 e+ne oppure Bdg. D-e+ne) e dai decadimenti semileptonici “inclusivi” del quark b nel quark c (in cui stato iniziale e finale sono ricostruiti solo parzialmente): | Vcb | = 0. 0407 0. 0019 10

en W b c | Vub | dai decadimenti semileptonici inclusivi del quark b in cui l’impulso del leptone è superiore a quello permesso da un decadimento con un quark c associato: | Vub / Vcb | = 0. 089 0. 012 b Bd t W d d W t Bd b | Vtd | dalle oscillazioni dei mesoni Bd. Bd: la frequenza di oscillazione DMBd= 0. 489 0. 008 ps-1 dipende dal prodotto Vtb* Vtd attraverso un diagramma a box con il quark top | Vtb* Vtd | = 0. 0083 0. 016 11

b t Bs W s Bs t b | Vts | dalle oscillazioni dei mesoni Bs Bs: la frequenza di oscillazione DMBs> 14. 6 ps-1 (95% CL) per confronto con D MBd permette di stabilire il limite | Vtd / Vts | < 0. 24 en W t b | Vtb | dal rapporto tra decadimenti semileptonici di un quark t in un quark b e quelli con anche quark s e d (ossia quando viene identificato un adrone con b nello stato finale e quando questo non avviene, corretto per le efficienze di identificazione) | Vtb |2 + | Vts |2 + | Vtd |2 = 0. 99 0. 29 12

Dalle misure fatte (escludendo | Vts | e | Vtd | ) ed imponendo il vincolo di unitarietà (ed assumendo solo tre famiglie di quark), i limiti al 90% di livello di confidenza sui moduli degli elementi della matrice CKM sono: Se si permettono altre famiglie di quark i limiti diventano: 13

La matrice CKM: parametrizzazione Ø La matrice CKM è una matrice 3 x 3 unitaria in generale complessa Ø Su 18 parametri liberi iniziali le 9 condizioni di unitarietà portano a 9 parametri indipendenti Ø Una matrice unitaria 3 x 3 reale ha 3 parametri liberi (rotazioni in tre dimensioni g 3 angoli di Eulero). Gli altri 6 parametri liberi della matrice CKM possono quindi essere scelti come fasi complesse ( eifj ). Ø Le funzioni d’onda dei quark sono definite a meno di una fase: la fisica deve essere invariante per trasformazioni q g eifq q Ø Ridefiniamo le funzioni d’onda di ciascun quark con una fase, diversa per ciascun quark: 14

Gli autostati deboli trasformeranno allora come: e questo equivale a trasformare la matrice CKM in: Possiamo fattorizzare una fase, per esempio e-ifu, ottenendo: 15

Ø Una fase globale per tutta la matrice non comporta alcun vincolo per i parametri della matrice CKM Ø Le altre 5 fasi possono essere scelte arbitrariamente e tolgono altri 5 parametri liberi alla matrice CKM Ø I parametri indipendenti di VCKM sono allora 4: tre reali (angoli) ed una fase complessa Ø Nel caso di n famiglie di quark, con il vincolo di unitarietà restano n 2 parametri liberi Ø Una rotazione in uno spazio n-dimensionale può essere parametrizzata con n(n 1)/2 angoli Ø 2 n-1 fasi possono essere riassorbite dalla ridefinizione delle funzioni d’onda dei quark Ø Restano quindi (n-1)(n-2)/2 fasi complesse libere 16

Una matrice ortogonale può sempre essere scritta come il prodotto di tre matrici R 12, R 23 e R 31: Vi sono 12 combinazioni di prodotti per generare la generica matrice ortogonale 17

Vi sono 6 combinazioni con due rotazioni nello stesso piano (non consecutive) Vi sono 6 combinazioni con tutte e tre le rotazioni 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. R = R 12(q) R 23(s) R 12(q’) R = R 12(q) R 31(t) R 12(q’) R = R 23(s) R 12(q) R 23(s’) R = R 23(s) R 31(t) R 23(s’) R = R 31(t) R 12(q) R 31(t’) R = R 31(t) R 23(s) R 31(t’) R = R 12(q) R 23(s) R 31(t) R = R 12(q) R 31(t) R 23(s) R = R 23(s) R 12(q) R 31(t) R = R 23(s) R 31(t) R 12(q) R = R 31(t) R 12(q) R 23(s) R = R 31(t) R 23(s) R 12(q) 18

Le 12 combinazioni non sono tutte indipendenti: R 12(q) R 31(t) R 12(q’) = R 12(q+p/2) R 23(s=t) R 12(q’-p/2) R 23(s) R 31(t) R 23(s’) = R 23(q-p/2) R 12(q=t) R 23(s’+p/2) R 31(t) R 23(s) R 31(t’) = R 31(t+p/2) R 12(q=s) R 31(t’-p/2) Vi sono 9 combinazioni indipendenti: 1. , 3. , 5. , 7. -12. La fase complessa può essere introdotta in una matrice di rotazione in modo da ottenere una matrice unitaria Per esempio R 12 può diventare: oppure ed analogamente per R 23 e R 31. Scegliamo la seconda possibilità (le altre si ottengono da una ridefinizione delle fasi dei quark) Abbiamo quindi 9 parametrizzazioni possibili nelle quali la fase complessa è sempre posta 19 in una sottomatrice 2 x 2 mentre gli altri parametri sono reali:

P 1: V = R 12(q) R 23(s, f) R 12(q’)-1 = P 2: V = R 23(s) R 12(q, f) R 23(s’)-1 = P 3: V = R 23(s) R 31(t, f) R 12(q) = 20

P 4: V = R 12(q) R 31(t, f) R 23(s)-1 = P 5: V = R 31(t) R 12(q, f) R 31(t’)-1 = P 6: V = R 12(q) R 23(s, f) R 31(t) = 21

P 7: V = R 23(s) R 12(q, f) R 31(t)-1 = P 8: V = R 31(t) R 12(q, f) R 23(s) = P 9: V = R 31(t) R 23(s, f) R 12(q)-1 = 22

P 3 con le trasformazioni c g c e-if, t g t e-if e b g b e-if è stata scelta dal Particle Data Group come rappresentazione standard di VCKM: I simboli per gli angoli e la fase sono secondo il PDG 23

La matrice CKM: sviluppo di Wolfenstein Ø Sviluppiamo VCKM in serie di l = s 12 @ 0. 22 Ø Vcb = Al 2, con A di O(1); Vub = Al 3(r - ih), con r e h di O(1) Ø Trascurando elementi O(l 4) (sufficienti per studi di CP nei B) otteniamo: Ø Per la violazione di CP nei K occorre uno sviluppo fino a O(l 5): Ø Vud , Vus , Vcb e Vtb sono praticamente reali, Vcd e Vts sono leggermente complessi Ø Vtd e Vub sono complessi 24

Gli operatori P, T, C Ø In Fisica delle Particelle assumono particolare importanza gli operatori: Ø Parità: Ø Inversione Temporale: Ø Coniugazione di Carica: dove y è la funzione d’onda 25

Parità Ø Inversione Spaziale: è un operatore unitario Ø Gli autovalori di P sono ± 1 Ø Se y ha parità definita (è autostato di P) Funzione Pari Funzione Dispari Ø Esempi: Pari Dispari Non è autostato di P 26

Ø La Parità di un sistema si conserva se: dove H è l’hamiltoniana del sistema Ø Esempio: Funzioni d’onda dell’Atomo di Idrogeno Ø Le armoniche sferiche hanno parità (-1)l 27

Parità intrinseca delle particelle Ø I barioni p, n, … hanno P =+1 per convenzione (conservazione del numero barionico) Ø I mesoni p , p 0 , K 0 hanno P =-1 (pseudoscalari) Ø Vi sono mesoni: § Scalari (JP= 0+): a 0, f 0, … § Pseudoscalari (JP= 0 -): p , p 0 , K 0, h , h´ § Vettori (JP= 1 -): r , w , r 0 , f, K * , K 0* § Vettori Assiali (JP= 1+): h 1, b 1, … Ø Fermioni e Antifermioni hanno Parità opposta Ø Bosoni e Antibosoni hanno Parità uguale 28

Coniugazione di Carica Ø Gli autovalori di C sono ± 1 29

Esempio 1: pioni non sono autostati di C Esempio 2: neutrini P C vietato CP vietato Esempio 3: stati quark-antiquark • Scambio di fermioni: -1 • Simmetria di scambio degli stati di spin: (-1)S+1 • Inversione spaziale: (-1)L 30

Inversione Temporale Ø Antilineare: Ø Antiunitario: antilineare e unitario 31

Il Teorema CPT • Ø Ø Ø • • Una simmetria S è conservata se: l’operatore S commuta con l’hamiltoniana: [H, S] = 0 lascia invariante la lagrangiana: S L = L lo stato iniziale e finale hanno lo stesso autovalore di S Le interazioni e. m. e forti conservano sia P che C che T Le interazioni deboli violano sia P che C Si è osservata la violazione di CP nel sistema K 0 K 0 e B 0 Teorema CPT: tutte le interazioni sono invarianti sotto la successione di C, P, T applicate in qualunque ordine 32

La violazione di CP Ø Nel Modello Standard delle interazioni elettrodeboli la violazione di CP è spiegata dalla fase complessa della matrice CKM: Ø Per ottenere il coniugato hermitiano: Ø mentre applicando CP: Ø CP è conservata se e solo se V = V* ossia se VCKM è reale 33

Il sistema K 0 1. Il K 0(ds) ha stranezza +1, il K 0(sd) ha stranezza -1 2. K 0 e K 0 sono distinguibili solo dalla stranezza (conservata nelle interazioni e. m. e forti, non in quelle deboli) 3. K 0 e K 0 hanno canali di decadimento comuni: un K 0 si può trasformare in un K 0 e viceversa K 0 g 2 p, 3 p g K 0 4. L’equazione di evoluzione di un sistema di K 0 e K 0 è: dove H è l’hamiltoniana efficace del sistema. dove ora H è una matrice 2 x 2 non hermitiana dove M e G sono hermitiane ossia: M 21 = M 12*, G 21 = G 12*, mentre M 11, M 22, G 11 sono reali Ø se CPT è conservata allora M 11 = M 22 = M 0 e G 11 = G 22 = G 0 34

Ø La soluzione dell’equazione di evoluzione è: dove CS e CL sono delle costanti che dipendono dalle condizioni iniziali sono gli autovalori Ø Gli autostati di massa e vita media sono: 35

Ø Sperimentalmente: 36

Ø Se per t = 0 abbiamo uno stato puro di : 37

Violazione Indiretta di CP Ø Se l’Hamiltoniana commuta con CP: Ø Se le due ampiezze sono invece diverse allora abbiamo violazione di CP, chiamata violazione indiretta o dovuta al mixing Ø Definiamo il parametro e di violazione indiretta di CP: dove 38

Ø Riscriviamo gli autostati di massa: dove Ø K 1 e K 2 sono autostati di CP: Ø con la convenzione: Ø e è in generale complesso e la sua fase, con questa convenzione, risulta: 39

Gli stati a due o tre pioni sono autostati di CP: § p 0 CP=+1; § p+ p- CP=+1; § p 0 p 0 CP=-1; § p+ p- p 0 CP=-1 (tranne nel caso, soppresso, in cui il momento angolare tra coppie di pioni sia dispari) Se non vi è violazione di CP nel decadimento: da cui: mentre: 40

CP di pp e ppp Gli stati a due o tre pioni sono autostati di CP: § p 0 CP=+1; a C p 0 = +p 0; p 0 ggg § p+ p- CP=+1; a C(p+ p- ) = Scambio(p+ p- ) Pspaziale (p+ p- ) = (-1)I+L (-1)L I = isospin Ø i pioni sono bosoni (simmetrici nello scambio) Ø I+L pari, I+L = 2 L Ø P(p+p-) = (-1) Pspaziale(p+p-) Ø CP(p+ p-) = (-1)2 L = +1 § p 0 p 0 CP=-1; a L pari tra ogni coppia di p 0 § p+ p- p 0 CP=-1 (tranne nel caso, soppresso, in cui il momento angolare tra coppie di pioni sia dispari) Ø CP (p+ p- ) = (-1)2 L Ø CP (p 0) = -1 Ø Pspaziale((p+p-)p 0) = (-1)L Ø CP (p+ p- p 0 ) = (-1)3 L+1 41

Sperimentalmente: Se CP è conservata nel decadimento: Sperimentalmente: Nei decadimenti semileptonici del KL: Sperimentalmente: 42

Il parametro e s K 0 t, c, u W d d W t, c, u K 0 s Ø I diagrammi con u sono trascurabili (mu << mc, mt ) Ø Diagramma con c e c: Ø Diagramma con c e t: Ø Diagramma con t e t: Ø La parte reale è dominata dal diagramma con c e c Ø Per la parte immaginaria i tre contributi sono paragonabili 43

Ø più precisamente… Ø Il primo termine vale circa il 75%, il secondo il 37%, il terzo(negativo)il 12% 44

Sperimentalmente: 45

Violazione diretta di CP Ø CP puo’ essere violata anche nel decadimento: Ø Se CPT è conservata la larghezza totale di decadimento del K 0 deve essere uguale a quella del K 0: Ø e quindi Ø Se la violazione di CP è piccola: Ø Per simmetria di isospin: da cui: 46

Teorema di Watson Ø Se vale il teorema CPT Ø Se T è conservata nelle interazioni forti Ø Allora per ogni decadimento debole di un adrone i a spin nullo in uno stato finale f : dove d è la fase dovuta alla diffusione elastica (causata dalle interazioni forti) tra gli adroni nello stato finale f 47

Violazione diretta di CP (II) Ø Gli stati a due pioni possono essere scritti in funzione dell’isospin: Ø Dal teorema di Watson: Ø Da cui per KS e KL: 48

Ø La convenzione di Wu-Yang consiste nell’imporre Ø Definiamo: (dai rate sperimentali di decadimento di K 0 e K+): Ø Avremo: 49

Ø Analogamente: Con la convenzione di Wu-Yang: Ø Abbiamo: Ø R è chiamato il Doppio Rapporto 50

Ø Sperimentalmente: 51

Schema dei fasci di NA 48 I rivelatori di NA 48 Se i 4 decadimenti vengono raccolti contemporaneamente e nello stesso volume fiduciale:

u p+ d W W s u s p- K 0 d u, c, t g, g, Z K 0 d u u d d p+ p- d Ø Il BR è dominato dal primo diagramma: Ø e´ è dominato dal secondo diagramma con il top: Ø In realtà i calcoli sono molto complicati Ø I “pinguini” forti(B 6) ed elettrodeboli (B 8) tendono a cancellarsi 53

KLgp 0 nn Ø E’ il canale preferito per la violazione di CP Ø CP(p 0) = -1, CP(nn) = +1 Ø Pspaziale(p 0 (nn) ) = -1 L = -1 Ø CP(p 0 nn ) = +1 n n Z s d u, c, t K 0 p 0 W d d Ø la violazione indiretta di CP è trascurabile Ø il pinguino con il top è dominante: 54

Ø dove Ø sperimentalmente: 55

Triangoli di Unitarietà Ø La Matrice CKM è unitaria a vi sono 6 relazioni che devono essere uguali a zero: Ø Si rappresentano come triangoli nel piano complesso (triangoli di unitarietà) Ø I lati e gli angoli sono misurabili sperimentalmente e sono vincolati dalla teoria ØTutti i triangoli hanno area uguale: 56

Im Non in scala Re Im Re 57

Im Non in scala Re 58

Im Re Im Non in scala Re 59

Il sistema Bd Bd Ø Il sistema Bd Bd è analogo a quello K 0 ma: Ø Non possiamo cercare violazioni di CP come KLg 2 p Ø Si possono confrontare i decadimenti del Bd e del Bd in uno stato finale f. CP (che sia autostato di CP) in funzione del tempo: Ø p. Bd e q. Bd sono gli analoghi di p e q per i K 0 mentre 60

Ø Definiamo: Ø Se CP non fosse violata dove ± dipende dall’autovalore di CP di f. CP Ø Quindi: Ø L’asimmetria dipendente dal tempo sarà: 61

Ø e. Bd è l’analogo di e per i K 0: Ø Se vi è un solo diagramma dominante nel decadimento: Ø Quindi ossia: Ø è l’autovalore di CP di Ø è la fase del mixing Bd. Bd Ø è la fase debole dell’ampiezza di decadimento 62

b Bd t W d d W Bd t b Ø Il triangolo di unitarietà (2) “normalizzato” è: Im Ø Vtb, Vcd, Vcb, Vud sono reali Ø ftd= b Re 63

J/y KS Ø L’f. CP “d’oro” è J/y KS con k. CP = -1 Ø CP J/y = + J/y (stessi numeri quantici del fotone) Ø CP KS = + KS (e<<1) b Ø P l. J/y KS = -1 W Bd c c s d J/y KS d Ø f. D = 0 (diagrammi a pinguino trascurabili) 64

p+ pØ f. CP = p+p- con k. CP = +1 u p+ d Ø f. D = g W b u p- Bd d d Ø In realtà I diagrammi a pinguino non sono trascurabili 65

Il sistema Bs Bs Ø Vi è anche il sistema Bs Bs è analogo a quello K 0: al livello di qualche per cento b Bs t W s s W t Bs b Ø L’angolo g può essere misurato dalle oscillazioni: Ø Anche il trangolo di unitarietà (5) può essere studiato Ø Avremo angoli a´, b´, g´≡ g + dg Ø dg può essere misurato dalle oscillazioni: 66

Ø La relazione tra DMB e gli elementi della matrice CKM è: Ø Il rapporto tra il DMB del Bd e del Bs è: Ø dove possiamo sostituire: Ø e conosciamo con maggiore precisione il rapporto: 67

Fit al Triangolo di Unitarietà Ø Con I dati attuali: Ø da cui: 68

Misura Sperimentale di sin 2 b Ø Dall’asimmetria nelle oscillazioni di Bd e Bd con decadimento in J/y KS ed altri: 69

Il Triangolo di unitarietà: le misure dei lati e dell’angolo b sono per ora consistenti 70

LHCb funzionerà al collider LHC a partire dal 2007 E’ stato progettato per misurare i lati e gli angoli dei triangoli di unitarietà con grande precisione utilizzando i decadimenti dei mesoni B 71

Il Triangolo di unitarietà può essere misurato anche usando solo i K 72

Conclusioni Ø Ø Ø § § § La violazione di CP è stata osservata nei sistemi K 0 e Bd Bd Nel modello standard è generata dalla fase complessa nella matrice CKM La violazione di CP nei K 0 è giunta inaspettata La violazione di CP nei Bd Bdè stata predetta con notevole precisione Interrogativi aperti: Vi sono altre sorgenti di violazione di CP? La violazione di CP osservata è sufficiente per spiegare l’asimmetria barionica nell’Universo? La matrice di mescolamento dei neutrini (matrice MNS) può produrre violazione di CP nel settore leptonico? 73