II nedelja Pojam determinante i njihovo izraunavanje 1

II nedelja Pojam determinante i njihovo izračunavanje 1

Determinante Svaka kvadratna matrica A ima svoju determinantu koju obeležavamo sa: 2

Izračunavanje determinanti Determinanta ima svoju vrednost koju možemo izračunati 3

Determinante trećeg reda Sarusovo pravilo 4

Primer 5

Teorema o razvijanju determinante Laplasov razvoj determinante 6

Primer Izračunati vrednost determinante matrice 7

Inverzna matrica Kvadratna matrica ima svoju inverznu matricu ako je det. A≠ 0. A A-1 = A-1 A=I. Sa A-1 je označena inverzna matrica. Matrica koja ima svoju inverznu matricu naziva se regularnom matricom. 8

Izračunavanje inverzne matrice A* je adjungovana matrice A 9

Primer Odrediti inverznu matrice Determinanta matrice je pa ova matrica ima inverznu. Sada ćemo odrediti elemente adjungovane matrice 10

Primer Odrediti inverznu matrice pa ova matrica ima inverznu. Sada ćemo odrediti elemente adjungovane matrice 11

Primer Konačno 12

Rang matrice je jednak najvećem prirodnom broju (redu), za koji postoji minor različit od 0, i svi minori višeg reda posmatrane matrice su jednaki nuli Rang matrice se obeležava sa rang(A) 13

Teorema o rangu ekvivalentnih matrica Ako su dve matrice ekvivalentne, tada su rangovi ovih matrica jednaki Rang matrice može se koristiti pri analizi i rešavanju sistema linearnih jednačina 14

Primer Odrediti rang matrice Koristićemo elementarne transformacije matrice A Najpre smo prvu vrstu množili sa (-2) i sabrali sa drugom a zatim prvu vrstu pomnožili sa (-1) i sabrali sa trećom. U drugom koraku smo sabrali drugu i treću vrstu. Podmatrica ima determinantu jednaku -1, a sve podmatrice reda 3, imaju determinante jednake 0, pa je rang A=2. 15