Diagonalisation des endomorphismes rels dans un espace vectoriel

Diagonalisation des endomorphismes réels dans un espace vectoriel E de dimension finie n.

L’endomorphisme le plus simple est l’ homothétie. Une homothétie de E est une application qui à tout vecteur u de E associe λu Sa matrice est une matrice scalaire ( dans n’importe quelle base de E).

Problématique: f étant un endomorphisme de E Existe-t-il des sous espaces vectoriels F de E tels que la restriction de f à ces sous espaces vectoriels soit une homothétie?

Recherche des sous espaces vectoriels de dimension supérieure ou égale à 1 sur lesquels f se réduit à une homothétie. • Si F est un tel sous espace alors il existe un réel λ pour tout vecteur u de F, f(u)= λu λ est appelée valeur propre de f. Si u est non nul, u est appelé vecteur propre de f associé à la valeur propre λ. • F est inclus dans le noyau de (f- λId). Ker (f- λId) est appelé espace propre de f associé à la valeur propre λ.

Recherche des valeurs propres La proposition suivante : λ valeur propre de f est équivalente aux quatre propositions qui suivent: • • Ker (f- λId) est au moins de dimension 1. (f- λId) n’est pas inversible. rg(f- λId) < dim E. Det (f- λId) =0.

Le polynôme caractéristique Det (f- λId) est appelé polynôme caractéristique de f - Ce polynôme de variable λ est de degré n ( dim E). - Ses racines sont les valeurs propres de f.

Valeurs propres et Espaces propres • Une fois déterminées les valeurs propres, on connait leur multiplicité dans le polynôme caractéristique, on détermine une base de chaque espace propre.

Propriété importante des Espaces propres • Les espaces propres sont en somme directe. Cela signifie en particulier que la dimension de la somme des espaces propres est égale à la somme des dimensions des espaces propres. Cela signifie aussi que la réunion des bases différents espaces propres est toujours une famille libre de E.

Comment savoir si un endomorphisme f de E est diagonalisable? • Définition: f est diagonalisable si et seulement si il existe une base dans laquelle la matrice de f est diagonale. Cette base est en fait une base de vecteurs propres. • Autres façons d’exprimer ce qui précède: - La somme des dimensions des espaces propres est égale à la dimension de E. - La somme des espaces propres est égale à E.

Dimension d’un espace propre et multiplicité de la valeur propre dans le polynôme caractéristique. • Si λ est valeur propre de f avec une multiplicité de mλ dans le polynôme caractéristique alors la dimension de l’espace propre est inférieur ou égal à mλ. Conséquence: • Théorème fondamental: f endomorphisme de E (de dimension finie) est diagonalisable SSI: - Son et polynôme caractéristique est scindé -si pour chaque valeur propre, la multiplicité est égale à la dimension de l’espace propre associé.

Diagonalisation de l’endomorphisme f E, B A f f(x, y)= (x+y, 3 x-y) E, B

Recherche du polynôme caractéristique. Les valeurs propres sont donc 2 et -2 Le polynôme caractéristique est scindé.

Recherche des espaces propres • E-2 espace propre associé à la valeur propre -2 est le noyau de f+2 Id ou de la matrice A+2 I:

Recherche des espaces propres • E 2 espace propre associé à la valeur propre 2 est le noyau de f-2 Id ou de la matrice A-2 I:

f est diagonalisable : On vérifie bien les conditions du théorème fondamental. Autre façon de justifier le fait que f soit diagonalisable.

Matrice de passage • Notons B la base canonique et B la base de vecteurs propres définie précédemment 1 • . Dans cette base, la matrice de f s’écrit: E, B 1